基于邊緣信息與偏移場矯正的多相Chan-Vese圖像分割模型

周三平, 滕炯華, 黃保山, 徐婧林

(西北工業(yè)大學 自動化學院, 陜西 西安 710172)

傳統(tǒng)的基于幾何活動輪廓的水平集方法僅利用了圖像的局部信息,在分割邊緣模糊或者含有噪聲的圖像時,通常不能得到令人滿意的結果。而基于Chan-Vese模型的水平集分割方法[1],依賴的是同質區(qū)域的全局信息,能夠有效分割邊緣模糊的圖像。Chan-Vese模型屬于單項水平集二相圖像分割模型,不能將1幅圖像中的多個目標同時分割開來,為了彌補這個不足,2002年Chan和Vese提出了多相Chan-Vese模型[2]。多相Chan-Vese模型在分割1幅圖像的多個目標時得了極大成功,并且對噪聲不敏感。但是,該模型存在如下缺點:1)不能分割灰度不均勻的圖像[3],因為模型假設圖像灰度在各個區(qū)域上是分段常值的,所以在分割灰度不均勻的圖像時,演化曲線通常不能逼近目標的真實邊緣;2)對初始輪廓線的位置比較敏感,在分割稍微復雜的圖像時,曲線的演化結果嚴重依賴初始輪廓曲線的位置,不同的初始輪廓線可能會得到不同的分割結果,甚至會導致分割失敗;3)重新初始化問題[4],為了保證水平集函數在演化的過程中保持光滑性和符號距離函數的特性,需要定期地將水平集函數重新初始化為符號距離函數,消耗了大量的時間。

為了解決這些問題,很多改進的模型不斷地被提出。Li Chunming等[5]提出利用核函數將圖像的局部信息加入到圖像分割模型中,提出了LBF模型,增強了模型分割灰度不均勻圖像的能力。Wang Li等[6]綜合運用了Chan-Vese模型中的全局信息和LBF模型中的局部信息,提出了LGIF模型,提高了模型對初始輪廓的適應的能力。無論是LBF模型,還是LGIF模型,都是Chan-Vese模型在圖像二相分割方面的改進,不能夠同時將圖像中的多個目標分割開來。

本文提出了一種基于邊緣信息與偏移場矯正的圖像多相分割模型。首先,利用對數變換將乘性偏移場轉化成線性偏移場,然后通過核函數引入局部灰度信息,最后利用變分法建立了基于區(qū)域信息的偏移場矯正模型。此外,利用水平集函數與圖像梯度的方向信息對傳統(tǒng)的邊緣指示函數[7]進行了改進,綜合利用了圖像的梯度信息,重建了邊緣指示函數。對比實驗表明我們提出的模型能夠取得令人滿意的分割結果。

1 多相Chan-Vese模型

1.1 區(qū)域特征函數

Chan-Vese模型是屬于單項水平集的二相圖像分割模型,該模型用一個水平集函數,能夠描述圖像的二相分割,如圖1a)所示。當圖像具有較復雜的幾何特征,例如有多個目標、多相邊界、復雜的拓撲結構時,利用單項水平集模型通常不能夠取得令人滿意的分割結果。2002年Chan和Vese對他們先前提出的無邊緣活動輪廓模型進行了推廣,提出了Chan-Vese多相水平集圖像分割模型。該模型采用n個水平集函數將圖像劃分為2n個區(qū)域,可以很自然地避免多個水平集之間的重疊與漏分,并且得到的能量函數具有對稱的形式。圖1b)給出了用2個水平集函數實現(xiàn)四相分割時,區(qū)域的劃分情況。

圖1 區(qū)域劃分的水平集表示

為了更加清楚、簡潔地描述區(qū)域的劃分情況,我們定義如下的區(qū)域特征函數:

(1)

1.2 多相Chan-Vese模型

多相Chan-Vese模型采用1.1節(jié)中的分割策略,即利用n個水平集函數將1幅圖像劃分成2n個區(qū)域。當利用2個水平集函數實現(xiàn)圖像的四相分割時,相應的能量泛函為:

(2)

式中：u為長度項系數,c1、c2、c3、c4分別代表圖像在4個區(qū)域中的灰度均值,χ1、χ2、χ3、χ4分別表示4個區(qū)域的特征函數,φ1、φ2為水平集函數,δ(φ)為Dirac函數,為梯度算子。

多相Chan-Vese模型利用了圖像的全局信息,能夠自然地處理圖形拓撲的變化,且能夠在較大范圍內收斂。但是,當區(qū)域χ1、χ2、χ3、χ4中圖像的灰度不均勻時,那么灰度均值c1、c2、c3、c4就可能會和圖像的原始灰度值相差很大。如果沒有引入圖像的局部信息,多相Chan-Vese模型分割灰度不均勻的圖像時很難取得較好的分割效果。

2 偏移場修正的多相模型

2.1 灰度不均勻性

由于成像設備的原因及外在條件的影響,我們獲取的圖像往往具有灰度不均勻性。雖然人眼無法察覺圖像的灰度不均勻性,但是分割算法對這些虛假的變化卻十分敏感。被廣泛接受的灰度不均勻的假設是在圖像域中加入一個隨空間緩慢變化的光滑偏移場,可以用如下的數學模型來描述:

Y(k)=X(k)*G(k)+N

(3)

式中：Y(k)表示觀測到的圖像,X(k)表示真實的圖像,G(k)表示光滑變化的偏移場,N表示噪聲。為了簡化計算,通常忽略噪聲的影響,對模型做對數變換:

ln(Y(k))=ln(X(k))+ln(G(k))

(4)

令ln(Y(k))=y(k),ln(X(k))=x(k),ln(G(k))=β(k),則乘性偏移場模型可線性化為:

y(k)=x(k)+β(k)

(5)

2.2 核函數

在局部區(qū)域中灰度變化是可以分離的,但是在整個圖像區(qū)域中灰度的變化卻不易分離。因此在偏移場矯正的模型中需要利用核函數來描述局部區(qū)域。核函數通常滿足如下特性:

1)K(u)=K(-u)

2)K(u)>K(v) if |u|<|v| and |u|→∞,K(u)→0

核函數K可以選擇任何滿足上述3個條件的函數。本文中,我們選擇高斯核函數來描述圖像的局部信息。高斯核函數定義如下:

(6)

式中：σ為高斯函數的標準差。假設ρ是以x為中心點的圓形鄰域Oy的半徑,即|x-y|2≤ρ2。當時ρ≥3σ時,高斯函數K(x-y)基本趨近于零。因此在實際計算時,我們約定:當ρ≥3σ時,K(x-y)=0。圓形鄰域半徑ρ應依據圖像灰度不均勻的強度而定,當灰度不均勻效應比較明顯的時,由于偏移場變化量比較大,所以應該選擇較小的鄰域半徑ρ。

2.3 邊緣指示函數

當演化曲線到達目標邊緣時,邊緣指示函數能夠終止曲線的演化。在長度項中加入邊緣指示函數能夠有效地避免長度項陷入局部最小。傳統(tǒng)的邊緣指示函數僅利用了圖像梯度的幅值信息,如(7)式所示。

(7)

在多相水平集圖像分割模型中,當多個邊緣出現(xiàn)在演化曲線附近時,演化曲線可能辨別不清哪一個邊緣是對應的目標形成的,從而導致分割效果不理想。針對這個問題,本文利用水平集函數與圖像梯度的方向信息對傳統(tǒng)的邊緣指示函數進行了改進,提出利用水平集函數φ的梯度方向表示演化曲線C的梯度方向,水平集函數與圖像梯度之間的方向信息重建邊緣指示函數:

S(I,φ)=H[(Gσ*I)·φ]

(8)

(9)

式中：H表示Heaviside函數,Gσ表示標準差為σ的二維Gaussian濾波算子,表示空間梯度算子。當演化曲線C到達目標附近時,水平集函數φ與圖像邊緣有相同的梯度,S(I,φ)=1,(Gσ*I)很大,g*≈0,曲線停止演化。當演化曲線C遠離圖像邊緣時,(Gσ*I)≈0,如果水平集函數φ與圖像邊緣梯度方向相同,則S(I,φ)=1,g*≈1,曲線正常演化;如果水平集函數φ與圖像邊緣梯度方向不同,則S(I,φ)=0,g*≈0,曲線演化被抑制。所以,在圖像邊緣當1條演化曲線對應多個圖像邊緣時,邊緣指示函數g*能夠引導演化曲線選擇正確的圖像邊緣。

2.4 正則項

水平集函數在演化一段時間后就會發(fā)生振蕩,并且隨著曲線的演化,誤差會不斷積累,最終造成演化曲線偏離目標的邊緣。傳統(tǒng)的解決方案是定期將水平集函數重新初始化為符號距離函數,該過程不但非常復雜,而且費時。本文在正則項中加入能量懲罰項來使得演化后的水平集函數自動趨近于符號距離函數,避免了重新初始化程序,如(10)式所示。

(10)

為了水平集函數在演化過程中保持光滑以及防止在最后分割結果中出現(xiàn)較小的孤立區(qū)域,需要在正則項中增加長度懲罰項:

(11)

當演化曲線處于同質區(qū)域時,g*≈1演化曲線正常演化;當演化曲線處于目標邊緣附近時,g*≈0演化進程被強制禁止,從而避免了長度項在目標附近取得局部極小值。

正則項通常由能量懲罰項與能量項組成,所以本文提出的正則項ER為:

(12)

2.5 水平集方法

將基于局部灰度信息的偏移場矯正模型及改進的正則項加入到多相Chan-Vese模型中,本文的提出的模型為:

(13)

式中：?i為區(qū)域權重系數,νk為長度懲罰項系數,μk為能量懲罰項系數。Hε(z)為Heaviside函數H(z)非緊湊、光滑、嚴格單調的逼近,δε(z)為Dirac函數δ(z)正則逼近。

(14)

(15)

首先,利用變分法推導出偏移場β(y)及區(qū)域灰度均值ci的數學模型。能量泛函E(φ)可以看成是ci,β(y)以及水平集函數φ的函數,將ci,φ看作常量,求能量泛函E(φ)對β(y)的變分,即:

(16)

由(16)式可知,β(y)的一個特解為:

(17)

同理,將β(y),φ看作常量,求能量泛函E(φ)對ci的變分,可得ci為:

(18)

其次,利用梯度下降流最小化能量泛函E(φ),得到曲線的演化方程為:

(19)

(20)

3 實驗結果與分析

本節(jié)通過自然圖像與人工合成圖像的分割實驗,驗證模型對初始輪廓位置的魯棒性、噪聲抑制能力及灰度不均勻圖像的分割能力。本文實驗環(huán)境為Matlab7.0,IBM PC,Pentium IV處理器,主頻2.2GHz,RAM 2GB。本文所有的實驗中,除了迭代次數和初始輪廓線的位置不同之外,其它參數規(guī)定如下:時間步長T=0.05,懲罰項權系數μ1=μ2=4,區(qū)域權重系數?1=?3=0.7,?2=?4=0.5,長度項權重系數ν1=ν2=6,網格間距h=1,ε=2(Hε(z),δε(z)參數),鄰域算子函數K(x,y)的窗口大小為11×11。如無特別說明,實驗中多相Chan-Vese模型與本文模型取相同的參數。

圖2 灰度均勻圖像分割

首先,分割灰度均勻圖像來驗證模型初始輪廓位置的魯棒性。初始化時僅用初始輪廓曲線包圍目標的一小部分,如圖2a)、圖2d)所示。經過40次的迭代,演化曲線成功的停止在了目標的真實邊界上,如圖2b)、圖2e)所示。圖2c)、圖2f)為在相同的初始輪廓曲線條件下,多相Chan-Vese模型經過100次迭代的分割結果?？梢钥闯?右上演化曲線誤將其他2個目標的邊緣當做是目標邊緣,導致了越界分割。增加迭代次數至500次時,多相Chan-Vese模型分割結果仍如圖2b)、圖2e)所示,沒有任何改善。

其次,對模型的噪聲抑制能力進行驗證。圖3a)為零噪聲的人工合成圖像,圖3b)在圖3a)中加入方差為0.15的高斯噪聲后初始化輪廓曲線位置,經過100次的迭代,目標成功地被從噪聲圖像中提取了出來,如圖3c)所示。為了進一步凸顯本文所提模型對噪聲的抑制能力,在圖3a)中分別加入方差為0.3、0.5的高斯噪聲,經過200次的迭代,實驗結果分別如圖3d)與圖3e)所示?？梢钥闯?對于受強噪聲污染的圖像,本文算法仍能取得令人滿意的分割效果。

最后,對模型分割灰度不均勻圖像的能力進行驗證。圖4a)、圖4d)為灰度不均勻的核磁共振圖像初始化輪廓曲線,經過200次的迭代,圖4b)、圖4c)以及圖4e)、圖4f)分別給出了多相Chan-Vese模型和本文所提模型的分割結果。圖4b)中,多相Chan-Vese模型外側輪廓線發(fā)生了越界情況,并且圖4e)的分割也不完全。2組實驗,本文模型都能取得比較滿意的分割效果。圖5給出了偏移場修正前后圖像的灰度直方圖,可以看出修正后圖像的灰度直方圖呈多峰狀分布,表明在同質區(qū)域內灰度值趨近于某一常值,符合Chan-Vese模型的基本假設。

圖4 灰度不均勻圖像分割

圖5 修正前后圖像的灰度直方圖

4 結 論

本文針對圖像分割中的灰度不均勻及多相分割時演化曲線的越界現(xiàn)象,提出了一種基于邊緣信息與偏移場矯正的圖像多相分割模型。首先,利用對數變換將乘性偏移場轉化成線性偏移場,通過核函數將區(qū)域灰度信息引入到偏移場中,利用變分法建立了基于區(qū)域信息的偏移場矯正模型。其次,利用水平集函數與圖像梯度的方向信息對傳統(tǒng)的邊緣指示函數進行了改進,綜合運用了圖像的梯度信息,重建了邊緣指示函數。此外,引入了能量懲罰項,避免了復雜的、耗時的重新初始化程序,提高了曲線的演化速度。人工合成圖像和真實圖像的分割實驗結果表明,本文所提出模型與多相Chan-Vese模型相比,不但增強了模型對初始輪廓曲線位置的魯棒性,同時在一定程度上加強了模型對噪聲的抑制能力,而且在分割灰度不均勻的圖像時也能取令人滿意的分割結果。

參考文獻：

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