彈性高超聲速飛行器多胞魯棒變增益控制

張 科, 崔建峰, 呂梅柏

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.航天飛行動力學(xué)國家級重點實驗室, 陜西 西安 710072)

由于機(jī)體/發(fā)動機(jī)一體化的設(shè)計理念及輕質(zhì)材料的應(yīng)用，吸氣式高超聲速飛行器的動力學(xué)特性十分復(fù)雜，存在著較為顯著的氣動-熱-彈性-推進(jìn)耦合現(xiàn)象；當(dāng)其在大包線范圍內(nèi)飛行時，相應(yīng)的氣動特性及模型參數(shù)變化較大；這些均給吸氣式高超聲速飛行器的控制系統(tǒng)設(shè)計帶來很大挑戰(zhàn)。

目前，關(guān)于高超聲速飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計方法的研究已有很多理論成果。魯棒控制、自適應(yīng)控制、變結(jié)構(gòu)滑?？刂啤V義預(yù)測控制、分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制等控制方法[1-5]均被用于設(shè)計高超聲速飛行器控制系統(tǒng)，并取得了較好的控制效果。但現(xiàn)有的控制系統(tǒng)設(shè)計方法仍存在一些不足：

1)大多數(shù)設(shè)計方法沒有考慮高超聲速飛行器的結(jié)構(gòu)彈性影響，控制系統(tǒng)設(shè)計所應(yīng)用的飛行器模型一般為剛體模型，然而基于剛體模型所設(shè)計的控制系統(tǒng)會因彈性模態(tài)發(fā)散而失控[6]；

2)已有的基于高超聲速飛行器彈性模型所進(jìn)行的控制系統(tǒng)設(shè)計對于彈性模態(tài)通常有2種處理方法：①直接將彈性模態(tài)做為已知系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行全狀態(tài)反饋控制；②將彈性模態(tài)做為未知信息，采用混合靈敏度[7]、輸出反饋[8]或狀態(tài)觀測器[9]方法來處理彈性模態(tài)的影響，這些方法均能夠使高超聲速飛行器的彈性模態(tài)穩(wěn)定。但是，前者需要進(jìn)一步考慮實際應(yīng)用中彈性模態(tài)相關(guān)狀態(tài)的獲取問題，后者將使所設(shè)計的控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜、階數(shù)較高；

3)在處理飛行器大包線參數(shù)變動所帶來的非線性問題上，傳統(tǒng)的非線性控制系統(tǒng)設(shè)計方法常需要經(jīng)過較為復(fù)雜的解析求解過程，對控制模型的連續(xù)性與精確性要求較高。

針對上述現(xiàn)有高超聲速飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計方法的不足，本文以高超聲速飛行器的速度與高度跟蹤控制為研究對象，首先基于現(xiàn)有彈性高超聲速飛行器縱向平面內(nèi)的非線性模型，利用TP(tensor product)模型轉(zhuǎn)換這種數(shù)值方法獲取彈性高超聲速飛行器的多胞LPV(linear parameter varying)系統(tǒng)；然后將彈性模態(tài)視為外部干擾，以彈性模態(tài)的二階導(dǎo)數(shù)變量為控制輸出，僅通過實際可測的剛體狀態(tài)參數(shù)作為反饋量，進(jìn)行高超聲速飛行器的多胞魯棒變增益控制器設(shè)計，以保證高超飛行器在一個較大區(qū)域的飛行包線內(nèi)擁有穩(wěn)定的飛行特性。最后，對所設(shè)計的控制器進(jìn)行了系統(tǒng)仿真驗證。

1 彈性高超聲速飛行器多胞LPV系統(tǒng)模型

1.1 數(shù)學(xué)模型

本文以Bolender、Doman等人提出的彈性高超聲速飛行器模型為主要研究對象[10]。在其文獻(xiàn)中，彈性高超聲速飛行器縱向平面內(nèi)的數(shù)學(xué)模型在穩(wěn)定軸坐標(biāo)系下通過拉格朗日方程構(gòu)建，具體動力學(xué)方程如下：

(1)

式中:V為飛行器速度,h為飛行器高度,α為攻角,θ為俯仰角,q為俯仰角速度,ηi為第i階彈性模態(tài)的廣義坐標(biāo),ωi為第i階彈性模態(tài)的自然頻率,ζi為第i階彈性模態(tài)的阻尼比,T、D、L、M、Ni分別為飛行器的推力、阻力、升力、俯仰力矩及第i階彈性模態(tài)的廣義力;各力與力矩可表示如下:

(2)

式中：φ為空氣燃油比率,δe為升降舵偏角;(1)式與(2)式中各力與力矩系數(shù)及飛行器其他相關(guān)參數(shù)詳細(xì)信息可查看文獻(xiàn)[6]。

1.2 多胞LPV系統(tǒng)模型

LPV系統(tǒng)模型可以通過雅可比線性化,狀態(tài)變換及函數(shù)替換法從系統(tǒng)的非線性模型獲取。所得到的LPV模型在求解魯棒控制器時,為保證在整個變參數(shù)軌跡上穩(wěn)定,需要確保穩(wěn)定性條件在軌跡的每一點上都得到滿足。如果所研究的LPV系統(tǒng)具有多胞形結(jié)構(gòu),由于多胞形屬于凸集,集內(nèi)各點可通過凸集頂點完全描述,則穩(wěn)定性條件僅需要確保在各頂點上滿足即可,這樣可大大減少計算量,同時使控制器獲得連續(xù)的增益并具有全局特性。

TP模型轉(zhuǎn)換方法是近幾年提出的一種可將LPV模型變換為多胞形結(jié)構(gòu)的數(shù)值方法。該方法可以將任意形式的LPV模型以一種統(tǒng)一的處理方式轉(zhuǎn)換為多胞模型,而無須經(jīng)過求導(dǎo)、仿射分解等較為復(fù)雜,甚至難以進(jìn)行的解析推導(dǎo)過程[11]。其主要思想是將LPV模型的變參數(shù)在目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分,并在變參數(shù)網(wǎng)格點上離散化LPV系統(tǒng)矩陣,然后將離散后的系統(tǒng)矩陣信息存儲在一個張量中,通過對張量進(jìn)行高階奇異值分解(HOSVD:higher order singular value decomposition),得到由有限個線性定常系統(tǒng)的凸組合所近似的TP多胞模型結(jié)構(gòu)。具體的變換方法可以參看文獻(xiàn)[11]。TP模型轉(zhuǎn)換方法實際上是一種在張量空間下的基于奇異值信息的系統(tǒng)降維方法。

考慮如下形式的LPV系統(tǒng)模型:

(3)

式中：u(t)∈Rk為控制輸入,y(t)∈Rl為控制輸出,x(t)∈Rm為系統(tǒng)狀態(tài)。p(t)∈Ω為N維變參數(shù)向量,其取值位于閉域Ω=[a1,b1]×[a2,b2]×…×[aN,bN]?RN中。變參數(shù)p(t)可以包含系統(tǒng)的部分狀態(tài)變量。

則該LPV系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣可以表示為:

(4)

式中：O=m+k,I=m+l。經(jīng)過TP模型變換后,由(3)式代表的LPV系統(tǒng)可以表示為如下的TP模型形式:

(5)

S為變換后所得到的系統(tǒng)核心張量,核心張量中存儲的為系統(tǒng)的頂點線性定常系統(tǒng)矩陣,wn(pn(t))為與核心張量相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)矩陣。

通過提取核心張量中存儲的頂點線性定常系統(tǒng)矩陣,可以將TP模型形式轉(zhuǎn)換為多胞結(jié)構(gòu):

(6)

(7)

σk為變換過程中根據(jù)精度需要而舍棄的較小奇異值。

對于(1)式所表示的高超聲速飛行器系統(tǒng),根據(jù)系統(tǒng)變動特點,以速度V,高度H為其變參數(shù)。在目標(biāo)飛行包線上以等間距進(jìn)行網(wǎng)格劃分,然后結(jié)合雅可比線性化方法,在網(wǎng)格點上求取線性化系統(tǒng),可直接從(1)式進(jìn)行TP模型轉(zhuǎn)換,得到相應(yīng)的多胞LPV系統(tǒng)模型。

(8)

2 多胞魯棒變增益控制器設(shè)計

2.1 問題描述

在獲取彈性高超聲速飛行器的多胞LPV系統(tǒng)模型后,可以通過多胞系統(tǒng)的頂點性質(zhì)來設(shè)計控制器。但在求解前,為了降低控制系統(tǒng)的復(fù)雜度和控制器的階數(shù),避免利用混合靈敏度、輸出反饋或狀態(tài)觀測器方法處理彈性高超聲速飛行器的彈性模態(tài),本文將彈性模態(tài)視為外部干擾,以彈性模態(tài)的二階導(dǎo)數(shù)變量為評測控制輸出,對頂點線性定常系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)整;并在調(diào)整系統(tǒng)基礎(chǔ)上,引入速度與高度跟蹤誤差的積分,以減小穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。最后所得到的廣義多胞系統(tǒng)如下:

(9)

{zr|zr=Ww, w∈H2,‖w‖2≤1}

(10)

式中：W是已知的加權(quán)函數(shù)。

此時彈性高超聲速飛行器的速度與高度跟蹤控制問題可以表述為:設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器,使得飛行器系統(tǒng)可以跟蹤指定的速度與高度參考指令,即:

(11)

廣義系統(tǒng)的控制器結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 廣義系統(tǒng)的控制器結(jié)構(gòu)框圖

2.2 多胞控制器設(shè)計

引理1[12](實有界引理)考慮系統(tǒng)

(12)

系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足‖y‖2<γ‖u‖2的充要條件為:存在一個正定對稱矩陣P>0滿足

(13)

引理2[13]下列條件是等價的

2) 存在矩陣G使得下式成立:

定理1 對于多胞LPV系統(tǒng)(9),設(shè)計具有同樣多胞結(jié)構(gòu)的狀態(tài)反饋控制器,如果存在一個對稱矩陣X,n個正定對稱矩陣Qi,n個矩陣Wi,i=1…n,滿足下列LMI:

(14)

式中:

則設(shè)計的多胞狀態(tài)反饋控制器K(p)將保證在變參數(shù)(V,h)的整個范圍內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)都內(nèi)穩(wěn)定,同時外部干擾w到輸出z之間具有二次H∞性能指標(biāo)γ,且各頂點的控制器Ki=WiX-1。

證:狀態(tài)反饋控制器具有與系統(tǒng)一樣的多胞結(jié)構(gòu),將其代入到公式(9)中,可得

(15)

在(15)式中為了表示簡潔,使用wr表示(9)式中的wr(V,h)。

(16)

式中

若取

(17)

(18)

式中

同理,對于Ξc也有相應(yīng)等式成立?？紤]到r、s表示形式無關(guān)性,則(18)式可表示為:

(19)

因此,當(dāng)定理1中條件成立時,存在相應(yīng)多胞結(jié)構(gòu)的狀態(tài)反饋控制器,保證系統(tǒng)在變參數(shù)的整個范圍內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)都內(nèi)穩(wěn)定,同時外部干擾w到輸出z之間具有二次H∞性能指標(biāo)γ。

3 仿真設(shè)計與分析

為了驗證彈性高超聲速飛行器多胞魯棒控制器設(shè)計方法的有效性,對前述彈性高超聲速飛行器非線性模型進(jìn)行仿真。選取高超聲速飛行器目標(biāo)工作區(qū)域為V∈[2 220,3 200] m/s,h∈[16 000,26 000]m。仿真參考指令信號選用多段階躍信號,且均通過以下二階濾波器:

(20)

式中：阻尼ξ=0.9,自然頻率ωn=0.25 rad/s。

對于高度參考指令,t=0 s時從16 000 m開始,每隔100 s產(chǎn)生一個5 000 m的遞增階躍信號,至26 000 m時保證高度不變。速度參考指令t=0 s時從2 200 m/s開始,每隔100 s產(chǎn)生一個500 m/s的階躍信號,至3 200 m/s時保證速度不變。

在求取工作區(qū)域內(nèi)控制器的過程中,選取[V,h]的離散網(wǎng)格為40×60的等間距網(wǎng)格點,經(jīng)高階奇異值分解并舍棄較小的奇異值后,所得到的與速度相應(yīng)的系統(tǒng)張量模矩陣奇異值為:33118.6,4436.3,185.9,3.4,0.36;與高度相應(yīng)的系統(tǒng)張量模矩陣奇異值為:33330.1,2364.1,269.8,35.4,0.19;與速度V及h核心張量相應(yīng)的權(quán)重函數(shù)如圖2所示。

由定理1獲取多胞魯棒控制器,按前述指令進(jìn)行跟蹤仿真,得到飛行器的速度、高度變化曲線及系統(tǒng)的彈性模態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖3、圖4所示。

圖2 變參數(shù)V與h的權(quán)重函數(shù)

圖3 速度與高度跟蹤曲線

圖4 彈性模態(tài)變化曲線

從圖中可以看出,在沒有使用狀態(tài)觀測器、輸出反饋的情況下,使用本文方法構(gòu)造的狀態(tài)反饋控制器也可以將彈性模態(tài)穩(wěn)定,且系統(tǒng)能快速地跟蹤速度和高度指令信號。值得提出的是,本文所設(shè)計的魯棒變增益控制器為2×7階的可調(diào)增益矩陣。如果根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)提供的混合靈敏度方法或輸出反饋方法進(jìn)行設(shè)計,則所得到的控制器系統(tǒng)矩陣在不降階的情況下至少有Ac∈R11×11, Bc∈R11×5,Cc∈R2×11,Dc∈R2×5。對比可以發(fā)現(xiàn),本文所設(shè)計的變增益控制器結(jié)構(gòu)形式簡單,階數(shù)較低。

4 結(jié) 論

本文提出了一種彈性高超聲速飛行器的多胞魯棒變增益控制方法。該方法首先使用TP模型轉(zhuǎn)換方法獲取了系統(tǒng)的TP多胞模型，然后，基于線性矩陣不等式求取多胞控制器。在求取多胞控制器時，為了簡化控制器結(jié)構(gòu)及降低控制器階數(shù)，將彈性模態(tài)視為外部干擾，以彈性模態(tài)的二階導(dǎo)數(shù)變量為控制輸出，僅通過實際可測的剛體狀態(tài)參數(shù)作為反饋量來設(shè)計控制器。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的多胞魯棒變增益控制器，能夠使系統(tǒng)快速跟蹤速度和高度指令信號，保證彈性模態(tài)穩(wěn)定，且相對于傳統(tǒng)的彈性控制器，結(jié)構(gòu)更簡單，階數(shù)更低。

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