復(fù)變函數(shù)積分在復(fù)習(xí)總結(jié)中的教學(xué)研究

袁五屆，周建芳，張金鋒，尹新國

（淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

復(fù)變函數(shù)積分在復(fù)習(xí)總結(jié)中的教學(xué)研究

袁五屆，周建芳，張金鋒，尹新國

（淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

復(fù)變函數(shù)積分一直是復(fù)變函數(shù)論課程教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本文以積分路徑的封閉性和函數(shù)的解析性為理論分析的突破口，系統(tǒng)地歸納、總結(jié)了各種積分類型所采用的計(jì)算理論和計(jì)算方法，并輔助以恰當(dāng)?shù)睦}來加深理解.本文的研究，將對學(xué)生牢固地掌握復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算具有一定的指導(dǎo)作用，對教師進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)也具有一定的參考價(jià)值.

復(fù)變函數(shù)積分；柯西定理；柯西公式；留數(shù)定理

1 引言

復(fù)變函數(shù)論目前已形成完美的理論體系，成為一門非常重要的數(shù)學(xué)分支[1,2]，是解決當(dāng)今許多理論和實(shí)際問題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具[3,4]，其中復(fù)變函數(shù)積分是復(fù)變函數(shù)論中重要的核心內(nèi)容之一.復(fù)變函數(shù)積分因其豐富的理論體系和眾多的計(jì)算方法，使其一直是復(fù)變函數(shù)論這門課程教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生在掌握積分的理論以及恰當(dāng)?shù)剡x擇積分的計(jì)算方法上都存在一定的難度.在目前的一些教材中，復(fù)變函數(shù)積分的理論和計(jì)算方法都不集中于某一章，眾多的計(jì)算方法都是對于某種特殊類型的復(fù)變函數(shù)積分進(jìn)行運(yùn)算的，這就使學(xué)生很難系統(tǒng)地掌握這種復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算.因此，在教學(xué)復(fù)習(xí)中，對復(fù)變函數(shù)不同積分類型的計(jì)算理論和計(jì)算方法進(jìn)行系統(tǒng)的歸納和總結(jié)就尤為重要.結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本文以積分路徑的封閉性和函數(shù)的解析性為理論分析的突破口，系統(tǒng)地總結(jié)了復(fù)變函數(shù)積分常用的計(jì)算方法，對每種類型的復(fù)變函數(shù)積分及其不同的積分方法都輔助以適當(dāng)?shù)睦}來加深理解.

2 復(fù)變函數(shù)積分類型及其計(jì)算方法舉例

復(fù)變函數(shù)積分可以分為三種類型：帶有上下限的定積分、非閉合曲線積分、閉合曲線積分.下面對這三種積分類型分別介紹相應(yīng)的方法，并給予具體的實(shí)例.

2.1 帶有上下限的定積分

這里可以采用牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)行計(jì)算，被積函數(shù)為初等復(fù)變函數(shù)的，可以根據(jù)相應(yīng)的初等實(shí)函數(shù)來找出被積函數(shù)的原函數(shù).

解 由牛頓-萊布尼茨積分公式，得

2.2 非閉合曲線積分

該類型的解題思路是化復(fù)變函數(shù)積分為實(shí)函數(shù)積分，可以根據(jù)具體形況采用如下兩種方法.

2.2.1 參數(shù)積分法

如果積分曲線l可表示為參數(shù)方程z=z(t),其中a≤t≤b,則

2.2.2 化為實(shí)函數(shù)曲線積分法

若z和f(z)可分別表示為z=x+iy和f(z)=u(x,y)+iv(x,y),則

因此，可通過計(jì)算兩個(gè)實(shí)函數(shù)曲線的積分來得到復(fù)變函數(shù)積分.

所以，兩實(shí)函數(shù)的曲線積分均與積分路徑無關(guān)[5]，可令兩特殊積分路徑線段：坐標(biāo)原點(diǎn)到1點(diǎn)和1點(diǎn)到1+i點(diǎn)，有

2.3 閉合曲線積分

此積分類型又稱圍線積分，該積分類型完全可以采用上述非閉合曲線積分的兩種積分法：參數(shù)積分法和化為實(shí)函數(shù)曲線積分法.由于積分圍線的閉合特性，這種積分類型又有其特殊的積分方法，以閉合曲線的積分方向?yàn)槟鏁r(shí)針為例（若為順時(shí)針積分方向，則積分值為逆時(shí)針方向積分的負(fù)值），解題程序的流程圖如下：

圖1 求解閉合曲線逆時(shí)針方向積分的流程圖

該流程圖表明，對于閉合曲線的積分計(jì)算，要因題而異，下面分別對流程圖中的各種情況加以舉例.

所以，由柯西定理一得到：原積分=0.

例6

3 總結(jié)

復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算，方法靈活多樣，方法的選擇要因題而異.對于不同的積分類型，一般的計(jì)算方法和思路可概括如下：對于含有上下限的定積分，先找出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算（見例1）；對于非閉合曲線的積分，可化復(fù)變函數(shù)積分為實(shí)函數(shù)積分，一般采用兩種方法，若積分曲線可表示為一元函數(shù)的參數(shù)方程，則利用參數(shù)積分法比較簡便（見例2），否則，采用化為實(shí)函數(shù)曲線積分法來計(jì)算（見例3）；對于閉合曲線的積分，該積分類型完全可以采用上述非閉合曲線積分的兩種方法，由于積分圍線的閉合特性，這種積分類型有其特殊的積分方法（見圖1），首先判斷被積函數(shù)在積分圍線內(nèi)有無奇點(diǎn)，若無奇點(diǎn)，則由柯西定理一得到積分值為0（見例4），若有奇點(diǎn)，可以采用兩種方法來計(jì)算，方法一為利用柯西公式或其推論（見例5、6的方法一），方法二為利用留數(shù)定理（見例5、6的方法二），其中，若只有一個(gè)奇點(diǎn)，可直接利用柯西公式或其推論計(jì)算（見例5的方法一），若有多個(gè)奇點(diǎn)，可先根據(jù)柯西定理二的推論化為積分圍線內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)的積分類型，然后再根據(jù)柯西公式或其推論計(jì)算（見例6的方法一）.

為了學(xué)生能夠系統(tǒng)地掌握復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算，在講授完復(fù)變函數(shù)積分的各種理論和方法之后，教師要及時(shí)地對復(fù)變函數(shù)不同積分類型的計(jì)算理論和計(jì)算方法進(jìn)行系統(tǒng)的歸納和總結(jié)，并輔助于典型例題，安排一到兩個(gè)課時(shí)對學(xué)生集中復(fù)習(xí).本文的研究，將對學(xué)生牢固地掌握復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算具有一定的指導(dǎo)作用，對教師進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)也具有一定的參考價(jià)值.

〔1〕王文鵬，厥建華.復(fù)變函數(shù)積分的求解策略[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，9（4）：145-147.

〔2〕胡嗣柱，倪光炯.數(shù)學(xué)物理方法（第二版）[M].高等教育出版社，2002.1-175.

〔3〕黃雋.復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算方法的探討[J].常州工學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，21（4）：73-75.

〔4〕楊靜宇.復(fù)變函數(shù)積分中值定理[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，26（5）：3-4.

〔5〕陳文燈，黃先開.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）[M].世界圖書出版公司，2001.293-294.

G642.0

A

1673-260X（2014）01-0-003-02

國家自然科學(xué)基金（11005047）；安徽省高校青年教師基金（2008jql071）；淮北師范大學(xué)青年基金（2013xqz17）；淮北師范大學(xué)教研項(xiàng)目（jy13234）；安徽省高等學(xué)校質(zhì)量工程項(xiàng)目-物理學(xué)（師范）特色專業(yè)建設(shè)點(diǎn)(2011248)