小波分解高、低頻雙自回歸模型及其在水質(zhì)監(jiān)測中的應(yīng)用

陳吉江，毛洪翔，李鵬程，夏國團，章衛(wèi)軍

(1. 余姚市水利局，浙江余姚 315400； 2. 宜水環(huán)境科技(上海)有限公司，上海 200125)

目前，水質(zhì)預(yù)測主要利用監(jiān)測的歷史數(shù)據(jù)作為初始序列或訓(xùn)練數(shù)據(jù)，運用不同數(shù)學(xué)邏輯方法推算在各類影響因素作用下未來水質(zhì)數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢[1]。方法有時間序列模型[2]、灰色理論模型[3]、模糊理論模型[4]、回歸模型和動態(tài)系統(tǒng)物元模型[5]，以及近年來得到應(yīng)用的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]等。其中，基于自回歸的時間序列模型，理論基礎(chǔ)堅實，計算方法簡便，在水質(zhì)預(yù)測中受到普遍歡迎，得到廣泛應(yīng)用?；谧曰貧w的水質(zhì)預(yù)測方法可以有多種型式，如①單一自回歸模型， 即對時間序列建立單一自回歸方程進行預(yù)測；②小波分解+雙自回歸，即預(yù)先對時間序列進行小波分解，然后對分解所得的高、低頻序列分別建立各自的自回歸方程，最后以高、低頻自回歸方程計算值的疊加值作為預(yù)測值；③自回歸+卡爾曼濾波，即對單一自回歸模型求得的預(yù)測值，采用卡爾曼濾波進行校正，作為最終預(yù)測值；④小波分解+雙自回歸+卡爾曼濾波，即對小波分解+雙自回歸模型求得的預(yù)測值，采用卡爾曼濾波進行校正，作為最終預(yù)測值。進行水質(zhì)預(yù)測時，為了盡量提高預(yù)測的精度，要根據(jù)水庫水質(zhì)監(jiān)測資料的實際情況，合理選擇模型，這點至關(guān)重要。

一些水庫的水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)序列在頻域上存在著明顯的高頻部分和低頻部分。自回歸預(yù)測模型的方法基于時間序列的平穩(wěn)假設(shè)，對數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性要求較高。如果把時間序列看做一種信號，通過將原始信號分離成低頻信號和高頻信號，必然可以提高時間序列的平穩(wěn)性，從而提高自回歸預(yù)測模型的精度。因此，本文選擇上述第2種模型，對其原理、步驟及預(yù)測成果(以梁輝水庫為例)進行介紹，并與單一自回歸模型預(yù)測成果進行比較。

1 小波分解高、低頻雙自回歸模型原理

1.1 小波分解原理

水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)序列的預(yù)處理采用離散小波變換，多尺度離散小波變換能將原始信號(也就是原始水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)序列)進行不同時間分辨率上的分解。以分解層數(shù)n為例，其一般步驟為先將原始信號S分解為低頻部分c1和高頻部分d1，然后對低頻部分c1進一步分解為c2和d2，以此類推，逐層分解[7]。

多尺度小波分解與重構(gòu)一般通過Mallat算法實現(xiàn)[8]。Mallat算法理論如下：設(shè)Vj是L2(R)中的一個多分辨率的分析，φ為尺度函數(shù)，ψj,n為小波函數(shù)，Mallat算法的分解式如下：

(1)

式中：H為低通濾波器；G為高通濾波器。通過式(1)可以將原始信號分解為d1，d2，…，dj和cj(j為最大分解層數(shù))，cj和dj分別稱為原始信號在分辨率為2-j的低頻信號和高頻信號。

為保證水質(zhì)預(yù)測結(jié)果更加可靠，分解后還必須利用Mallat算法分別重構(gòu)分解后的高頻和低頻信號[9]，使它們的樣本數(shù)與原信號S的樣本數(shù)一致，重構(gòu)描述公式如下：

(2)

式中：H*和G*分別是H和G的對偶算子。

采用上式對小波分解后的信號進行重構(gòu)，且有：T=D1+D2+…+Dj+Cj

(3)

式中：D1，D2，…，Dj分別為第1層、第2層、…、第j層高頻信號重構(gòu)結(jié)果；Cj為第j層低頻信號重構(gòu)結(jié)果。

1.2 自回歸模型的參數(shù)估計與檢驗準(zhǔn)則原理

(4)

(5)

上述方法中，用最小二乘法進行參數(shù)估計非常簡單，參數(shù)估計無偏，精度高，可表示為以下方程組：

(6)

則Φ的最小二乘估計為：φ=(xTx)-1xTY

(7)

本文則以直接最小二乘估計和Akaike信息檢驗準(zhǔn)則的FPE(Final Prediction Error)，AIC(Akaike Information Criterion) ，BIC 準(zhǔn)則結(jié)合具體計算成果進行討論。準(zhǔn)則的具體計算公式如下：

(8)

(9)

(10)

在各自的準(zhǔn)則函數(shù)取得最小值時的模型為適用模型。

2 小波分解高、低頻自回歸模型

該模型建模共分以下5個步驟： ①利用多尺度小波分析理論對水質(zhì)數(shù)據(jù)序列進行多尺度分解，得到數(shù)據(jù)序列的低頻信號和高頻信號；②通過低通濾波器和高通濾波器的對偶算子分別重構(gòu)水質(zhì)信號的低頻部分和高頻部分；③對重構(gòu)后的高頻信號(D1，D2，…)和低頻信號(Cj)自回歸模型進行定階和參數(shù)估計，并對模型的適用性進行檢驗，最后分別建立J+1個自回歸模型；④建立的自回歸模型分別預(yù)測各層重構(gòu)后的高頻信號和低頻信號；⑤疊加各層預(yù)測值得出下一個時刻的預(yù)測結(jié)果。

3 水庫水質(zhì)預(yù)測中的應(yīng)用

以梁輝水庫為例，詳細(xì)說明小波分解高、低頻雙自回歸模型進行水庫水質(zhì)預(yù)測的具體過程。梁輝水庫位于余姚市梨洲街道南廟村，流域面積35.06 km2，是一座以防洪、供水為主，結(jié)合發(fā)電、水產(chǎn)等綜合利用功能的中型水庫，總庫容3 152.3萬m3。根據(jù)浙江省水資源監(jiān)測中心余姚監(jiān)測站多年的人工水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)，影響其水質(zhì)的主要因素為pH(酸堿度)、DO(dissolved oxygen-溶解氧)、TN(total nitrogen-總氮)、TP(total phosphorus-總磷) 。

3.1 數(shù)據(jù)與方法

選取2005年1月至2011年12月的水質(zhì)指標(biāo)(PH，DO，TN，TP)數(shù)據(jù)用于預(yù)測模型的建立，2012年1月至2012年12月的數(shù)據(jù)用于預(yù)測結(jié)果的對比驗證。由于篇幅的限制，只以DO水質(zhì)指標(biāo)為例。

3.2 模型的建立與分析

(a) 低 頻 (b) 高 頻圖1 DO 小波分解Fig.1 DO wavelet low frequency and high frequency diagram

為避免分層過多造成各層預(yù)測誤差的疊加現(xiàn)象，故對水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)序列進行一層分解。將DO序列分解，所得到的高頻與低頻序列如圖1。

(a) 方差和FPC曲線 (b) AIC和BIC曲線 圖2 由DO高頻數(shù)據(jù)所得的方差和各準(zhǔn)則函數(shù)曲線Fig.2 Variance and standard curves given by DO high frequency data

同理可以得到低頻系列的AR模型參數(shù)。

最后將高頻低頻的系列值疊加，得到小波分解高、低頻雙自回歸模型的率定期和預(yù)測期的DO過程(圖3)。

(a) 率定期模擬 (b) 預(yù)測期模擬圖3 小波分解高、低頻雙自回歸模型模擬DO的率定期和預(yù)測期Fig.3 Simulation results of wavelet decomposition high and low frequency double autoregressive model for DO in the period of calibration and predication

由圖3可見，小波分解高、低頻雙自回歸模型得到的率定期和預(yù)測期模擬效果較好，通過計算其相對誤差的平均值可知率定期模擬的平均相對誤差為4.23%，預(yù)測期的平均相對誤差為4.34%。因此，對于DO數(shù)據(jù)系列，小波分解高、低頻雙自回歸模型得到了令人滿意的預(yù)測效果。這一模型與單一自回歸模型的應(yīng)用效果對比見表1。

表1 小波分解高、低頻雙自回歸模型與單一自回歸模型的應(yīng)用效果對比Tab.1 Comparison between application effects of the wavelet decomposition of high and

由表1可見，不管是在率定期還是在檢驗期，小波分解高、低頻雙自回歸模型的模擬精度大大優(yōu)于單一自回歸模型。

4 結(jié) 語

從數(shù)據(jù)序列平穩(wěn)性角度出發(fā)，將多尺度小波分析理論方法與自回歸模型相結(jié)合，提出了小波分解高、低頻雙自回歸模型的方法，并將其應(yīng)用于水質(zhì)預(yù)測中。分析結(jié)果表明：

(1)小波的多層分解可以過濾出更加精細(xì)的數(shù)據(jù)信號系列，但在建立自回歸模型時，各層預(yù)測誤差會出現(xiàn)疊加現(xiàn)象，為避免多個系列誤差的疊加現(xiàn)象，層數(shù)不宜過多，一般作一層分解。

(2)不管是在率定期還是在檢驗期，小波分解高、低頻雙自回歸模型的模擬精度均大大優(yōu)于單一自回歸模型，表明了這一模型的可行性與實用價值。

(3)定期復(fù)核，動態(tài)優(yōu)化模型參數(shù)。自回歸模型基于歷史系列進行模型參數(shù)的率定，因此，隨著歷史序列數(shù)據(jù)的增加，數(shù)據(jù)樣本容量增加，自回歸模型的參數(shù)宜每隔幾年做必要的復(fù)核，以動態(tài)識別參數(shù)，保證模型的適用性及精度，必要時可采用卡爾曼濾波實時校正。由于自回歸方法本身的局限性(僅僅從歷史數(shù)據(jù)推測未來的演變情況)，當(dāng)出現(xiàn)突發(fā)污染事件的情況下，小波分解高、低頻雙自回歸模型的預(yù)測精度可能達不到要求，這時可以結(jié)合水庫的具體情況，采用卡爾曼濾波進行實時校正，即上面介紹的第4種模型(小波分解+雙自回歸+卡爾曼濾波)。

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