基于可靠度隨機有限元法的海洋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性分析

洪 斌，楊綠峰，2，文 濤，陳 正，蔣瓊明

(1. 廣西大學土木建筑工程學院，工程防災與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，廣西南寧 530004； 2. 廣西壯族自治區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)廳，廣西南寧 530028)

港口碼頭等水運工程長期處于海洋氯離子侵蝕環(huán)境中，其混凝土結(jié)構(gòu)發(fā)生失效的原因大多不是結(jié)構(gòu)設(shè)計的初始抗力不足或工作荷載發(fā)生了不利變化，而是結(jié)構(gòu)在環(huán)境腐蝕作用下發(fā)生了耐久性破壞。特別在濱海地區(qū)，海洋氯離子對混凝土中鋼筋的銹蝕，是導致工程結(jié)構(gòu)提前失效的重要原因。為了描述氯離子在混凝土中的表觀擴散，M.CollePardi等[1]利用Fick第二擴散定律，建立了氯離子在混凝土中擴散的解析解。但是海洋混凝土結(jié)構(gòu)體型及其所處環(huán)境的腐蝕作用機理比較復雜，且存在諸多不確定性，有必要依據(jù)可靠度理論綜合分析不同隨機因素對混凝土結(jié)構(gòu)耐久性的影響[2-5]。M.Prezzi等[2]通過假定氯離子擴散系數(shù)為隨機變量開展混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命隨機預測。C.G.Nogueira等[3]考慮了鋼筋初始銹蝕的氯離子閾值濃度、表面氯離子濃度、不同水灰比的氯離子擴散系數(shù)以及混凝土保護層厚度的概率密度分布情況，建立了混凝土結(jié)構(gòu)壽命預測的可靠度解析方法。馬亞麗等[4]分析了環(huán)境作用、混凝土材料、結(jié)構(gòu)幾何尺寸等隨機參數(shù)的概率分布特征，通過解析理論建立可靠指標和侵蝕時間之間的關(guān)系，改進了混凝土結(jié)構(gòu)耐久壽命的預測方法。S.J.Kwon等[5]進一步考慮混凝土結(jié)構(gòu)的時變特性，分析了保護層厚度、28 d齡期混凝土的擴散系數(shù)、表面氯離子濃度和齡期衰減系數(shù)的變異性，利用概率分析方法預測了不同裂縫寬度以及完好混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命。但是，上述研究均是通過解析理論得到服役壽命的預測模型，而實際工程結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程通常屬于多維、非線性問題，往往難以顯式表達。更重要的是，上述研究沒有能夠定量回答不同隨機因素對腐蝕環(huán)境下混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命的影響程度。因此有必要采用隨機數(shù)值方法開展混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命的可靠度敏感性分析。

當前結(jié)構(gòu)隨機分析的數(shù)值方法主要有3類：蒙特卡羅法(MCS)、隨機響應(yīng)面法(SRSM)和隨機有限元法(SFEM)。其中，MCS以確定性有限元法為基礎(chǔ)，根據(jù)模擬技術(shù)抽樣出失效樣本，得到混凝土結(jié)構(gòu)的失效概率[6]，通常用于檢驗其他方法的有效性。但在小失效概率系統(tǒng)中，為獲得足夠的失效樣本，需要進行海量抽樣，計算工作量巨大，難以為工程實踐所接受。馬爾可夫鏈模擬法[7]能高效地模擬失效區(qū)樣本點，大大減少了抽樣次數(shù)，但要求隨機變量的概率密度函數(shù)必須以均值為中心對稱。近年發(fā)展起來的層遞響應(yīng)面法[8]，通過遴選合理的配點和回歸分析，建立顯性表達的隨機響應(yīng)量函數(shù)，無需對結(jié)構(gòu)進行大量重復計算，提高了計算效率。 隨機有限元法[9]能夠通過理論分析建立響應(yīng)量表達式，并且能夠和可靠度算法直接耦合，具有簡便實用、計算效率和計算精度較高的優(yōu)點。

鑒于上述分析，本文采用隨機有限元和可靠度方法建立了氯鹽環(huán)境下混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命的隨機變量敏感性分析模型。首先利用攝動技術(shù)建立了混凝土中氯離子擴散過程和濃度分析的隨機有限元法，進而依據(jù)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的腐蝕誘導期建立正常使用極限狀態(tài)方程，建立氯鹽侵蝕下混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命分析的可靠度隨機有限元法，利用靈敏系數(shù)分析混凝土結(jié)構(gòu)可靠度和服役壽命對不同隨機變量的敏感性。研究表明：本文建立的可靠度隨機有限元模型能高效地預測氯鹽侵蝕下混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命，而且能夠定量地比較不同隨機因素對混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命的影響程度。

1 海洋混凝土結(jié)構(gòu)中氯離子擴散的隨機有限元法

(1)

基于Fick第二定律，利用變分原理建立氯離子擴散的有限元方程[10]：

(2)

(3)

式中：N和N′分別表示單元形函數(shù)及其一階導數(shù)[10]；氯離子擴散系數(shù)D(t)具有時變性：

(4)

式中：t0為混凝土的初始暴露齡期；D0為t0時刻的混凝土初始擴散系數(shù)，具有隨機性；n為氯離子擴散系數(shù)的齡期衰減系數(shù)。

將擴散矩陣K以及濃度向量C在隨機變量均值處按照二階泰勒級數(shù)展開，合并零均值隨機變量ξ的同次項系數(shù)，并舍去二階以上的攝動微量，可得氯離子隨機擴散分析的隨機有限元遞歸方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

2 海洋混凝土結(jié)構(gòu)可靠度的PSFEM優(yōu)化迭代法

2.1 混凝土耐久性極限狀態(tài)方程

一旦混凝土中保護層厚度d處的氯離子濃度Cd達到鋼筋脫鈍腐蝕的閾值濃度Cr，混凝土中的鋼筋將因表面鈍化膜受到破壞而開始腐蝕，混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性和正常使用功能將受到影響。因而基于正常使用狀態(tài)，混凝土結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)為：

(12)

式中：X表示由功能函數(shù)中的m個隨機變量(包括初始擴散系數(shù)D0，保護層厚度d，表面濃度CS以及閾值濃度Cr)組成的隨機向量，其協(xié)方差矩陣為CX。

若隨機變量X具有相關(guān)性，通過正交變換法，可將X轉(zhuǎn)換為一組標準不相關(guān)的隨機變量：

(13)

(14)

對式(13)求逆變換，并代入極限狀態(tài)方程(12)，即可得由不相關(guān)的標準隨機變量Z表示的極限狀態(tài)函數(shù)：

(15)

2.2 可靠指標分析的梯度優(yōu)化法

結(jié)合式(12)，可以求得氯鹽侵蝕下混凝土結(jié)構(gòu)正常使用極限狀態(tài)函數(shù)式(15)在驗算點Z*處的梯度：

(16)

(17)

沿著極限狀態(tài)面上驗算點處的梯度方向，可確定第k迭代點的移動方向α和移動步長s：

(18)

(19)

通過迭代計算可得到新的驗算點：

(20)

設(shè)定收斂容差ε，若由式(20)得到的Zk+1代入式(15)滿足G(Zk+1)<ε，可認為驗算點在極限狀態(tài)曲面上。由此可得到可靠指標βk+1：

(21)

當[(βk+1-βk)/βk]<ε時，得到的βk+1即為混凝土結(jié)構(gòu)的可靠指標。

3 海洋混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命及其參數(shù)敏感性分析

混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命是工程耐久性設(shè)計關(guān)注的重點，通過計算混凝土結(jié)構(gòu)不同服役時間的可靠指標，建立混凝土結(jié)構(gòu)可靠指標隨侵蝕時間變化的關(guān)系曲線。當指定了混凝土結(jié)構(gòu)滿足預期功能目標的可靠指標后，以此為基準，在關(guān)系曲線圖中作出可靠度水平直線，與曲線交點的橫坐標即為結(jié)構(gòu)耐久性低于規(guī)定可靠指標的時間，以此作為氯離子侵蝕下混凝土結(jié)構(gòu)滿足該可靠度水平的服役壽命。

通過可靠指標的求解以及規(guī)定確定的可靠度水平，可以直接獲得混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命。因此混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命與可靠指標受隨機參數(shù)的影響程度相同，具有正相關(guān)性。可以利用可靠度的參數(shù)靈敏性分析混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命對隨機參數(shù)的敏感性。

4 算例分析

為了驗證本文方法的正確性，將各隨機變量在不同變異系數(shù)下由RSFEM得到的可靠指標與MCS結(jié)果進行比較(見圖2)。從圖2中可以看出，兩種方法吻合良好，由此證明了本文建立的可靠度隨機有限元法具有較高的精度。從圖2中還發(fā)現(xiàn)，隨著變異系數(shù)的增大，防護堤混凝土結(jié)構(gòu)的可靠指標降低。因此，在實際工程中，若對施工等環(huán)節(jié)進行合理的質(zhì)量控制，使制備得到的混凝土材料以及結(jié)構(gòu)參數(shù)的離散性降低，可降低隨機參數(shù)的變異性，從而提高混凝土結(jié)構(gòu)的可靠度。

圖1 MCS抽樣的可靠指標Fig.1 Reliability index by the MCS

通過對計算機運算程序所耗費的時間進行統(tǒng)計，這里使用Lenovo啟天M690E計算機(Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU E7400 @ 2.80GHz 2.79GHz，2.00GB內(nèi)存)。比較RSFEM與抽樣5萬次的MCS在變異系數(shù)為0.1、服役50年時的計算時間，前者計算耗時僅有7.8 ms，而后者的耗時長達10 457.8 ms。可見RSFEM具有較高的計算效率，適宜于工程應(yīng)用。

進一步利用RSFEM計算防護堤結(jié)構(gòu)在不同變異系數(shù)(δ)、不同服役時間的可靠指標，結(jié)果如圖3所示。由圖可見，混凝土結(jié)構(gòu)的可靠指標隨變異系數(shù)的增大、服役時間的增長而降低。

根據(jù)《工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計統(tǒng)一標準》GB50153-2008建議，對不可逆的正常使用極限狀態(tài)的可靠指標取為1.5。因而在圖3中作可靠度水平β=1.5直線，與圖中其他曲線交點的橫坐標就是該可靠度水平下與不同變異系數(shù)相應(yīng)的防護堤結(jié)構(gòu)服役壽命，從圖中可以看出，混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命隨變異系數(shù)的增大而減少。由于工程施工中，一旦混凝土質(zhì)量控制不好，將會增大混凝土材料性能的隨機變異性，從而降低混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命，嚴重時甚至無法達到設(shè)計使用年限。

考慮隨機變量之間的相關(guān)性，對各隨機變量間的相關(guān)系數(shù)(ρ)取相同值，分別在低度線性相關(guān)(ρ=0.2)、顯著線性相關(guān)(ρ=0.5)和高度線性相關(guān)(ρ=0.8)時，計算防護堤結(jié)構(gòu)服役不同時間的可靠指標，并與隨機變量不相關(guān)(ρ=0)的結(jié)果進行比較，當隨機參數(shù)變異系數(shù)取0.1時計算結(jié)果如圖3(b)所示?？梢?，混凝土結(jié)構(gòu)的可靠指標隨相關(guān)系數(shù)的增加而增大；隨機變量間的相關(guān)系數(shù)越大，混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命越長。

(a) 不同服役時間的可靠指標 (b) 不同相關(guān)系數(shù)下的可靠指標圖3 不同服役時間和不同相關(guān)系數(shù)下的可靠指標Fig.3 Reliability index given by different service lives and different correlation coefficients

為分析各隨機變量本身對混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命的影響，逐一將各隨機變量的均值提高10%，保持其變異系數(shù)為0.1不變，并計算此時的混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命(圖4)。從圖4中可見，當提高表面氯離子濃度CS或混凝土暴露初始時刻的氯離子擴散系數(shù)D0的均值時，混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命將隨之降低；而提高閾值濃度Cr與混凝土保護層厚度d的均值時，混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命將隨之提高。其中，保護層厚度d引起的服役壽命改變量最大，其次為D0、閾值濃度Cr以及表面氯離子濃度CS。也就是說，保護層厚度和氯離子擴散系數(shù)對氯鹽侵蝕下的混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命的影響最大。因此，為延長混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命，可以在規(guī)范許可的范圍內(nèi)，盡可能取更大的保護層厚度，并降低混凝土的氯離子擴散系數(shù)。

進一步分析參數(shù)的隨機性對混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命的影響，這里從參數(shù)CS，Cr，D0和d任意選取一個，考慮其隨機性，計算變異系數(shù)為0.1時混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命，并與同時考慮上述4個參數(shù)隨機性時混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命相比較，結(jié)果見圖5。

從圖5可見，同時考慮4個參數(shù)的隨機性時，混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命最短。而忽略任一隨機參數(shù)的隨機性，都會高估混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命，導致結(jié)構(gòu)設(shè)計不安全。 同時，混凝土保護層厚度d的隨機性對結(jié)構(gòu)服役壽命影響最大，其次是氯離子擴散系數(shù)，再次是鋼筋脫鈍銹蝕的閾值濃度，對混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命影響最小的是表面氯離子濃度。因此，在混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性設(shè)計和施工中，要保證足夠的混凝土保護層厚度。

圖4 服役壽命隨均值的改變 圖5 不同變異系數(shù)下的服役壽命 Fig.4 Service life change with mean value Fig.5 Service life by different variation coefficients

由于齡期衰減系數(shù)的取值在一定程度影響到混凝土擴散系數(shù)、進而影響到不同隨機變量的可靠度重要性系數(shù)，因此需要分析高性能混凝土的齡期衰減系數(shù)在正常取值范圍n=0.2～0.5之間變化時隨機變量重要性的排序，變異系數(shù)取0.1時的計算結(jié)果如圖7。由圖可見，當n=0.2～0.5時，盡管各隨機變量的可靠度重要因子有變化，但不同隨機變量間的大小排序始終不變。

圖6 可靠指標對各隨機因素的重要因子 圖7 不同齡期衰減系數(shù)的重要因子 Fig.6 Importance factors of random parametersto reliability index Fig.7 Importance factors to attenuation coefficients

5 結(jié) 語

本文提出了氯鹽侵蝕下海洋混凝土結(jié)構(gòu)服役壽命分析的可靠度隨機有限元法，分析了服役壽命對隨機變量的敏感性，據(jù)此揭示了混凝土的氯離子擴散系數(shù)、表面氯離子濃度、混凝土保護層厚度以及鋼筋脫鈍閾值濃度等對混凝土服役壽命的不同影響程度。研究表明，混凝土保護層厚度對結(jié)構(gòu)服役壽命影響最大，其次是混凝土的氯離子擴散系數(shù)。

氯鹽侵蝕下海洋混凝土結(jié)構(gòu)的材料、幾何和環(huán)境等參數(shù)的隨機性都對結(jié)構(gòu)服役壽命有顯著影響，其中，混凝土保護層厚度的隨機變異性對混凝土結(jié)構(gòu)耐久性影響最大。忽略任一參數(shù)的隨機性都會導致高估混凝土結(jié)構(gòu)的服役壽命，使得設(shè)計成果偏于不安全。

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