基于多元變量組合的回歸支持向量機集成模型及其應(yīng)用

崔 東 文

(云南省文山州水務(wù)局，云南文山 663000)

提高徑流預(yù)測精度對于水文預(yù)測預(yù)報具有重要意義。由于河川徑流受多種因素的影響和制約，其預(yù)測常反映出復(fù)雜、隨機、多維等特點，目前徑流預(yù)測主要是將成因分析、統(tǒng)計分析、模糊分析以及灰色系統(tǒng)理論等方法及理論引入徑流中長期預(yù)測，在實際應(yīng)用中取得了一定成效，但也存在不足，使其在應(yīng)用中受到制約。譬如，難以分析其內(nèi)部物理機制(影響因子相互關(guān)系)以及與所表觀的水文現(xiàn)象(徑流)之間的關(guān)系等；徑流影響因子個數(shù)的選擇以及預(yù)測精度不高等，帶有明顯的主觀性，較適用于具有確定性趨勢的預(yù)測問題；對于其他變化趨勢，則擬合灰度較大，導(dǎo)致精度難以提高等[1]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artifical Neural Network，ANN) 是一種模仿動物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)行為特征，進(jìn)行分布式并行信息處理的數(shù)學(xué)模型。ANN依靠系統(tǒng)的復(fù)雜程度，通過調(diào)整內(nèi)部大量節(jié)點之間相互連接的關(guān)系，從而達(dá)到處理信息的目的，其常見的BP網(wǎng)絡(luò)(Back-Propagation Network，BP)、Elman網(wǎng)絡(luò)、RBF網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Function Neural Network，RBF)和GRNN網(wǎng)絡(luò)(Generalized Regression Neural Network，GRNN)等均廣泛運用于徑流預(yù)測預(yù)報中[2-6]。然而，由于傳統(tǒng)ANN算法是基于漸近理論，僅在樣本容量趨向于無窮大時其經(jīng)驗風(fēng)險才趨近于實際風(fēng)險，但在實際應(yīng)用中樣本容量離無窮大相去甚遠(yuǎn)，導(dǎo)致ANN外推能力差、收斂速度慢以及存在局部極值等問題，且ANN還存在結(jié)構(gòu)及參數(shù)選擇的困難[7-8]。支持向量機(Support Vector Machine，SVM)是20世紀(jì)90年代中后期發(fā)展起來的基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論構(gòu)建的典型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它由Vapnik首先提出，是一種通用的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用于解決模式分類和非線性映射等問題[9-10]。SVM具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)，通過統(tǒng)計學(xué)習(xí)中的VC維(Vapnik-Chervonenkis Dimension)理論和尋求結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原理來提高泛化能力，已成為繼ANN之后機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域新的研究熱點，其具有的四大優(yōu)勢決定了它在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域有著舉足輕重的地位：一是SVM以最小結(jié)構(gòu)風(fēng)險代替?zhèn)鹘y(tǒng)ANN經(jīng)驗風(fēng)險，求解的是一個二次尋優(yōu)問題，理論上得到全局最優(yōu)，解決了傳統(tǒng)ANN算法中難于克服的局部極值缺陷；二是SVM拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由支持向量決定，彌補了ANN結(jié)構(gòu)難以確定的不足；三是SVM決策函數(shù)由少數(shù)的支持向量確定，計算的復(fù)雜程度取決于支持向量的數(shù)目，而不是樣本空間的維數(shù)，避免了“維數(shù)災(zāi)”問題；四是SVM方法求解的是基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則，由經(jīng)驗風(fēng)險和置信區(qū)間共同決定支持向量的實際風(fēng)險，因此泛化能力要優(yōu)于傳統(tǒng)ANN。尤其在解決小樣本容量時，很大程度上解決了傳統(tǒng)BP等網(wǎng)絡(luò)在模型選擇、過學(xué)習(xí)、高維和局部極值等方面的問題，在模式識別和回歸預(yù)測中有著廣泛的應(yīng)用[11-12]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成(Neural Network Ensemble，NNE)是Hansen和Salamon于1990年提出的集成方法，利用有限個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對同一問題進(jìn)行學(xué)習(xí)，將個體神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出以某種綜合方法進(jìn)行集成，集成輸出的結(jié)果由各個體神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出共同決定[7，13]。NNE的實現(xiàn)主要由“選擇模型中的個體網(wǎng)絡(luò)”和“集成輸出方法”兩部分組成，目前仍沒有較好方法或理論指導(dǎo)如何獲取具有較好性能的個體網(wǎng)絡(luò)，常用的集成方法主要有簡單平均(Simple Average，SA)和加權(quán)平均(Weighted Average，WA)等。

基于上述原因及回歸支持向量機(Support Vector Regression，SVR)特性，筆者以云南省盤龍河龍?zhí)墩灸陱搅黝A(yù)測為例，采用相關(guān)分析法確定預(yù)測因子與年徑流的相關(guān)系數(shù)，按照相關(guān)系數(shù)大小順序依次選取預(yù)測因子，構(gòu)建2維輸入變量～10維輸入變量的9種SVR(SVR-2～SVR-10)年徑流預(yù)測模型對龍?zhí)墩竞?2年的年徑流進(jìn)行預(yù)測，并基于NNE方法，采用SA和WA兩種集成方法對具有較好預(yù)測精度的若干SVR模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行綜合集成，集成結(jié)果表明SA-SVR和WA-SVR模型具有較好的預(yù)測精度和泛化能力。

1 回歸支持向量機(SVR)及集成預(yù)測模型

1.1 回歸支持向量機(SVR)

將SVM用于逼近函數(shù)的方法稱為SVR。SVR是基于VC維概念和結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則，根據(jù)有限的樣本信息在模型的復(fù)雜性(訓(xùn)練樣本學(xué)習(xí)精度)和泛化能力之間尋求一種折中，以期獲得最好的推廣能力。在解決非線性回歸問題時，SVR是將樣本通過核函數(shù)將低維空間中非線性回歸問題映射到高維空間，并在高維空間中求解最優(yōu)回歸函數(shù)，這樣，在高維空間中的線性回歸就對應(yīng)低維空間中的非線性回歸，即實現(xiàn)某一非線性變換后的線性回歸，在計算難度未增加的情況下利用線性空間的方法解決非線性問題。SVR實現(xiàn)回歸預(yù)測步驟歸納如下[8，11-12，14-15]。

步驟1：給定含有l(wèi)個訓(xùn)練樣本的集合{(xi,yi),i=1,2,…,l}，其中，xi(xi∈Rd)是第i個訓(xùn)練樣本的輸入列向量，xi=

，

y

i

∈

R

為對應(yīng)輸出值。在高維特征中建立的線性回歸函數(shù)為：

(1)

式中：Φ(x)為非線性映射函數(shù)。

步驟2：定義ε線性不敏感損失函數(shù)為

(2)

式中：f(x)為回歸函數(shù)返回的預(yù)測值；y為對應(yīng)的真實值。

(3)

式中：C為懲罰因子，C越大表示對訓(xùn)練誤差大于ε的樣本懲罰越大，ε規(guī)定了回歸函數(shù)的誤差要求，ε越小表示回歸函數(shù)的誤差越小。求解式(3)時，引入Lagrange函數(shù)，并轉(zhuǎn)換成對偶形式：

(4)

式中：K(xi,xj)=Φ(xi)Φ(xj)為核函數(shù)。

(5)

(6)

式中：Nnsv為支持向量機個數(shù)。

步驟5：將w*，b*代入式(1)得到回歸函數(shù)為：

(7)

常用的核函數(shù)主要類型有線性核函數(shù)(K(x,xi)-xTxi)、多項式核函數(shù)(K(x,xi)=(γxTxi+r)p,γ>0)、徑向基核函數(shù)(K(x,xi)=exp(-γ||x-xi||2),γ>0)和兩層感知核函數(shù)(K(x,xi)=tanh(γxTxi+r))。

1.2 集成預(yù)測模型

基于上述SVR原理，SA-SVR和WA-SVR模型年徑流預(yù)測步驟可歸納如下：

步驟1：計算年徑流影響因子的相關(guān)系數(shù)。利用SPSS軟件計算龍?zhí)墩?—10月月均流量與年徑流相關(guān)系數(shù)，并按照相關(guān)系數(shù)大小進(jìn)行排列。

步驟2：構(gòu)建各SVR年徑流預(yù)測模型。基于Matlab軟件環(huán)境和libsvm工具箱，選取相關(guān)系數(shù)最大的前2列月均流量作為SVR模型的輸入變量，構(gòu)建2維的SVR年徑流預(yù)測模型，表示為SVR-2；選取相關(guān)系數(shù)最大的前3列月均流量作為SVR模型的輸入變量，構(gòu)建3維的SVR年徑流預(yù)測模型，表示為SVR-3；依次類推，構(gòu)建10維的SVR年徑流預(yù)測模型，表示為SVR-10。

步驟3：訓(xùn)練及調(diào)試SVR-2～SVR-10預(yù)測模型。確定訓(xùn)練樣本及檢驗樣本，并對樣本進(jìn)行歸一化處理，利用訓(xùn)練樣本對SVR-2～SVR-10模型進(jìn)行訓(xùn)練及調(diào)試，率定各模型的相關(guān)參數(shù)，并利用檢驗樣本對SVR-2～SVR-10模型進(jìn)行預(yù)測精度及泛化能力檢驗。

步驟4：SA-SVR集成。利用平均相對誤差和最大相對誤差對SVR-2～SVR-10模型的預(yù)測精度及泛化能力進(jìn)行分析評價，并選取若干較優(yōu)模型的預(yù)測結(jié)果按下式進(jìn)行SA集成：

(8)

步驟5：WA-SVR集成。WA集成是按照SVR模型的預(yù)測效果優(yōu)劣給出不同的權(quán)重，然后求加權(quán)平均值，以加權(quán)平均值作為集成模型的預(yù)測值。同步驟4，選取若干最優(yōu)模型的預(yù)測結(jié)果按下式進(jìn)行WA集成：

(9)

(10)

式中：ei為第i個模型預(yù)測相對誤差的絕對值。

步驟6：對SA-SVR和WA-SVR模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行分析。若SA-SVR和WA-SVR模型預(yù)測值達(dá)不到期望的精度和泛化能力要求，則返回步驟3對各SVR個體模型進(jìn)行調(diào)試和檢驗，直至SA-SVR和WA-SVR模型的預(yù)測值滿足預(yù)期的精度要求。

2 實例應(yīng)用

2.1 數(shù)據(jù)來源與分析

龍?zhí)墩恼疚挥诒P龍河上游，建于1951年4月，屬國家基本站，觀測項目有水位、流量、降水、蒸發(fā)、泥沙和水溫，系列均為1951年4月至2005年12月?？刂屏饔蛎娣e3 128 km2，流域多年平均流量24.6 m3/s，降水量956.8 mm。本文以龍?zhí)墩?952—2005年共54年的實測資料為例進(jìn)行分析。利用SPSS軟件分析年均徑流與1—10月月均流量的相關(guān)性，可得年均徑流與1—10月月均流量的相關(guān)系數(shù)分別為0.455**，0.441**，0.333*，0.486**，0.497**，0.519**，0.616**，0.822**，0.782**和0.798**(“**”表示在0.01水平(雙側(cè))上顯著相關(guān)；“*”表示在0.05水平(雙側(cè))上顯著相關(guān))。

可見，年均徑流與1—10月月均流量均呈顯著正相關(guān)。本文選取與年均徑流在0.05水平(雙側(cè))上顯著相關(guān)的1—10月月均流量作為影響因子預(yù)測年均徑流，并以1952—1993年42年的實測資料作為訓(xùn)練樣本，1994—2005年12年的實測資料作為檢驗樣本。

2.2 年徑流預(yù)測的實現(xiàn)

2.2.1數(shù)據(jù)歸一化處理 利用下式對徑流序列進(jìn)行歸一化處理：

(11)

2.2.2SVR模型的構(gòu)建及網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練 按照上述方法從1—10月月均流量中按相關(guān)系數(shù)大小順序選取不同維數(shù)的輸入向量，構(gòu)建SVR-2～SVR-10年徑流預(yù)測模型，并基于Matlab環(huán)境和libsvm工具箱，創(chuàng)建SVR-2～SVR-10模型對龍?zhí)墩?4年的實測資料進(jìn)行擬合和預(yù)測分析。

由于在核函數(shù)選定的條件下，SVR模型中的懲罰因子c和不敏感系數(shù)ε對模型的預(yù)測精度有著關(guān)鍵性影響。懲罰因子c決定著由訓(xùn)練樣本產(chǎn)生的經(jīng)驗風(fēng)險對模型性能的影響，即經(jīng)驗風(fēng)險隨著c值的增加而增加，減小而減小，當(dāng)c值無窮大時，SVR結(jié)構(gòu)風(fēng)險趨于經(jīng)驗風(fēng)險；當(dāng)c值趨于零時，由于SVR模型無法獲取訓(xùn)練樣本信息，模型失去了解決具體問題的能力。不敏感系數(shù)ε用于控制支持向量的個數(shù)，平衡模型的復(fù)雜程度與模型對訓(xùn)練樣本維數(shù)的依賴程度。在實際應(yīng)用中，若ε值過小，可能導(dǎo)致模型“過擬合”，并且增加訓(xùn)練時間； 值過大，則可能導(dǎo)致模型“欠擬合”。參考多個文獻(xiàn)[8，11-12，14-15]后選擇徑向基函數(shù)為SVR的核函數(shù)，設(shè)置懲罰因子c和核函數(shù)參數(shù)g的搜索空間為2-2～26，K取值2～5，g和c的步進(jìn)大小均取0.1～0.5，不敏感系數(shù)ε均取0.001～0.1(其他參數(shù)采用默認(rèn)值)，利用交叉驗證法(Cross Validation，CV)確定模型中的懲罰因子c和核函數(shù)參數(shù)g。經(jīng)過反復(fù)調(diào)試，在下述參數(shù)設(shè)置情況下，SVR-2～SVR-10模型具有較好的預(yù)測效果(除此之外的其他參數(shù)采用系統(tǒng)默認(rèn)值)。

SVR-2～SVR-10模型的最佳參數(shù)設(shè)置見表1，擬合及預(yù)測效果見表2及圖1。由表2及圖1可以看出：①SVR模型的預(yù)測精度和泛化能力隨著輸入向量維數(shù)的增加具有明顯的提高趨勢，其中SVR-8～SVR-10模型對龍?zhí)墩竞?2年年徑流預(yù)測的平均相對誤差絕對值均小于3%，最大相對誤差絕對值均在10%以內(nèi)，具有較好的預(yù)測精度和泛化能力；②由于SVR-2、SVR-3模型輸入向量維數(shù)較低，訓(xùn)練樣本中信息量不足，導(dǎo)致其擬合及預(yù)測效果不夠理想。

表1 SVR-2～SVR-10模型的最佳相關(guān)參數(shù)Tab.1 Optimal parameters of SVR-2 ～ SVR-10 models

表2 SVR-2～SVR-10模型對龍?zhí)墩灸陱搅鲾M合及預(yù)測相對誤差Tab.2 Annual runoff fittings of Longtan station given by SVR-2 ～ SVR-10 models and their relative forecast errors %

圖1 SVR-2～SVR-10模型對龍?zhí)墩灸陱搅鲾M合及預(yù)測相對誤差Fig.1 Annual runoff fittings of Longtan station given by SVR-2 ～ SVR-10 models and their relative errors of forecast values

本文基于預(yù)測精度及泛化能力考慮，選取具有較好預(yù)測效果的SVR-4～SVR-10模型作為SA-SVR和WA-SVR模型集成的個體模型。

2.3 WA-SVR模型權(quán)重的確定及預(yù)測結(jié)果分析

利用SVR-4～SVR-10模型對龍?zhí)墩竞?2年年徑流預(yù)測的平均相對誤差絕對值確定各自權(quán)重，結(jié)果分別為0.1068，0.1380，0.1323，0.1319，0.1605，0.1646和0.1659。

利用SA和WA兩種集成方法將上述具有較好預(yù)測效果的SVR-4～SVR-10模型進(jìn)行綜合集成，構(gòu)建SA-SVR和WA-SVR模型對龍?zhí)墩竞?2年年徑流進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果與SVR-8～SVR-10個體模型進(jìn)行比較，結(jié)果見表3及圖2。

表3 龍?zhí)墩?994—2005年SA-SVR和WA-SVR模型徑流預(yù)測結(jié)果及比較Tab.3 Runoff forecast results given by SA-SVR and WA-SVR models from 1994 to 2005 and their comparison (m3·s-1)

(a) 年徑流擬合及預(yù)測值 (b) 年徑流擬合及預(yù)測比較圖2 集成模型與SVR-8～SVR-10模型年徑流擬合及預(yù)測比較Fig.2 Comparison between annual runoff fitting and forecast values given by integrated model and SVR-8～SVR-10 models

從表3及圖2可見：①SA-SVR和WA-SVR模型預(yù)測龍?zhí)墩竞?2年年徑流的平均相對誤差絕對值分別為1.73%和1.79%，最大相對誤差絕對值分別為6.34%和6.47%，預(yù)測精度和泛化能力均優(yōu)于各SVR個體模型，表明本文提出的集成模型和集成方法用于徑流預(yù)測是合理可行的。集成模型具有預(yù)測精度高、泛化能力強以及穩(wěn)健性能好等優(yōu)點。②普遍認(rèn)為，加權(quán)平均集成模型通過給予預(yù)測誤差較小的個體模型更大的權(quán)重能夠得到比簡單平均集成模型更好的預(yù)測精度和泛化能力，但從本實例預(yù)測結(jié)果來看，由于采用多個(7個)個體模型進(jìn)行集成，SA-SVR模型的預(yù)測效果要優(yōu)于WA-SVR模型。③在系列長達(dá)54年的年徑流擬合及預(yù)測中，相對誤差均在-10%～10%之間，表明SA-SVR、WA-SVR以及SVR-8～SR-10模型均具有較好的擬合及預(yù)測效果，其中SA-SVR和WA-SVR模型相對誤差均在-8%～8%之間，具有更高的預(yù)測精度、泛化能力及穩(wěn)健性能。

3 結(jié) 語

基于SVR原理和NNE基本思想，利用多元變量擇優(yōu)組合的方式構(gòu)建具有不同維數(shù)的SVR年徑流預(yù)測模型，采用SA和WA兩種集成方法構(gòu)建SA-SVR和WA-SVR模型對龍?zhí)墩竞?2年的年徑流進(jìn)行預(yù)測。預(yù)測結(jié)果表明，SA-SVR和WA-SVR模型具有較高的預(yù)測精度和泛化能力。本文在以下兩方面可為相關(guān)預(yù)測研究提供參考：一是僅基于SVR原理及算法，提出利用不同的輸入維數(shù)構(gòu)建由多個SVR個體網(wǎng)絡(luò)集成的年徑流預(yù)測模型和方法；二是在實際應(yīng)用中，決定模型預(yù)測精度和泛化能力的關(guān)鍵因素是問題本身的復(fù)雜程度，對于不同的預(yù)測問題，很難片面地認(rèn)為某一模型或算法的優(yōu)劣，只有嘗試不同模型或算法，反復(fù)進(jìn)行調(diào)試，以期獲得理想的預(yù)測效果。

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