基于稀疏表示的B 型超聲圖像超分辨重建算法

李斌 李德來 張瓊

1 汕頭市超聲儀器研究所有限公司 （汕頭 515041）

2 廣東省汕頭大學(xué)工學(xué)院 （汕頭 515063）

0.引言

超聲由于其實時、安全、廉價等特點，已經(jīng)成為目前三大主流醫(yī)學(xué)影像設(shè)備之一[1]。超聲儀器受系統(tǒng)成本和超聲本身特點的限制，成像區(qū)域相對較小，在檢查過程中或者后期的查看中常常需要對圖像進行放大處理，更清晰地顯示圖像中的邊緣和細(xì)節(jié)。為此，如何超分辨率重建放大后的圖像成為一個熱門的研究課題。

超分辨率技術(shù)始于20 世紀(jì)60 年代Harris 和Goodman 的研究工作[3～4]，他們將帶限信號外推的方法運用于光學(xué)圖像超分辨重建。由于其應(yīng)用前景十分廣闊，這種技術(shù)馬上引起了學(xué)術(shù)界的重視。傳統(tǒng)超分辨率重建的是利用低分辨率圖像恢復(fù)高分辨率圖像的逆問題。很多信息在高分辨率圖像到低分辨率圖像變化的過程中丟失，使得重建問題變成一個嚴(yán)重欠定問題。針對傳統(tǒng)超分辨率算法的不足，人們提出了不同的改進算法[5～11].文獻[4]提出基于Markov 隨機場的學(xué)習(xí)策略，雖然取得了良好的結(jié)果，但是為了獲得有足夠表達力的數(shù)據(jù)庫，需要大量的圖像。在[6]中，作者運用文獻[7]中的思想，把低分辨率塊空間的局部幾何影射到高分辨率塊空間，以獲得高分辨率塊的鄰域線性組合。不過，用固定K 值鄰域重建會因為過擬合或欠擬合而產(chǎn)生模糊效應(yīng)。文獻[8]提出了一種基于超完備字典求解的圖像超分辨率算法，得到較好的實驗結(jié)果，但是實驗參數(shù)需要憑經(jīng)驗取得，對噪聲比較敏感。

本文為得到更好的重建效果，提出基于稀疏表示的B 型超聲圖像超分辨率重建算法。對于存在稀疏性的信號，稀疏表示可以得到信號的最優(yōu)重建效果。為了確保稀疏性，在對B 型超聲圖像進行深入分析的基礎(chǔ)上引入了一種可以快速地構(gòu)造超完備字典的稀疏編碼算法，實現(xiàn)B 型超聲圖像快速有效的超分辨率重建。

1.稀疏表示理論

近幾年基于超完備稀疏分解的信號表示理論得到廣泛關(guān)注?；舅枷胧怯贸陚渥值渲械娜哂嗷〈鷤鹘y(tǒng)方法中的正交基。信號的稀疏分解即從超完備字典中選擇具有最佳線性組合的若干原子來表示信號，實際上是一種逼近過程[10]：

式中：fm為f 的逼近，fr為殘差，dk為給定超完備字典D 中的一個原子，αk為稀疏矩陣α 的原子。我們希望在fr方差有限的情況下得到α 最稀疏的解。即：

式中：||.||0是零范數(shù)，ε 為方差上限。如何求取上式的惟一解是一個典型的NP(Nondeterministic Polynomial)問題。為此，眾多學(xué)者提出了多種有效的稀疏求解算法，主要有MP（Matching Pursuit）、OMP(Orthogonal Matching Pursuit)及BP(Back Propagation)等。

2.B 型超聲圖像超分辨率重建算法

通過上面的介紹可知稀疏表示的重建算法包括超分辨率重建和超完備字典的建立兩個關(guān)鍵問題，為此，下面分兩部分來分別論述。

2.1 基于稀疏表示的超分辨率重建過程

假設(shè)低分辨率圖像Y 中的每一小塊y，在低分辨率字典Dl中存在稀疏表示：

至此，超分辨率重構(gòu)問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為如何構(gòu)造超完備字典Dh，Dl以及在已知超完備字典的情況下如何快速求解系數(shù)α。

2.2 字典的構(gòu)造

超完備表示中字典D 由一組函數(shù)構(gòu)成，并且至少能張成整個空間。如果要想得到圖像最稀疏的表示，則要求所用字典具有有限冗余性[11]。

對任意給定信號 ，可以表示成：

式(7)也可以寫成矩陣形式，假定 為輸入矩陣， 為基矩陣， 為系數(shù)矩陣，那么上述的最優(yōu)化問題就可以寫成：

對于系數(shù)矩陣S 的學(xué)習(xí)，最優(yōu)化問題等價于正則化最小二乘問題，從而可用最小二乘法求解S。在已知S 后，上式的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為：

從(9)式中求解字典是個具有二次約束的最小二乘問題，本文采用拉格朗日對偶求解。

3.實驗結(jié)果分析與應(yīng)用

為驗證算法的有效性，我們使用不同檢查類型的B 型超聲圖像進行了測試，結(jié)果表明本文算法能更好地重建超分辨超聲圖像。下面的例子選擇一副低分辨率的肝臟圖像（133×133 像素）作為輸入（圖1（a）），使用不同算法對其進行三倍放大，也就是放大后的圖像為399×399 像素；然后對比不同算法得到圖像在邊緣和細(xì)節(jié)上的保留程度；最后，給出了該算法在“宏云”彩超上的應(yīng)用效果。

圖1. 不同算法超分辨率插值重建結(jié)果對比

圖1（b）為經(jīng)典的雙三次樣條插值算法得到放大后的肝臟圖像，圖1（c）為本文算法提出的稀疏表示高分辨率重建算法得到的放大后的肝臟圖像。通過直觀上的對比可以發(fā)現(xiàn)本文算法得到的結(jié)果在邊緣、細(xì)節(jié)和對比度上都優(yōu)于雙三次樣條插值算法。

為了定量分析不同算法得到的結(jié)果，本文選擇原始圖像中包含邊緣和細(xì)節(jié)的某一列（如圖2(a)中白色豎線所示）來分析不同算法的差異。圖2(b)為雙三次樣條插值得到結(jié)果的對應(yīng)列上的灰度變化曲線，圖2(c)為本文算法得到結(jié)果的對應(yīng)列上的灰度變化曲線。在100 至150 深度方向像素點處本文算法的峰值更大，同時底部更寬，表明本文算法有更好的邊緣保護和更高的對比度。同時，從兩個灰度變化曲線的對比可以得出：對于弱小的細(xì)節(jié)，本文算法也能更好地呈現(xiàn)。

上述實驗例子很好地證明了本文算法在B 型超聲超分辨重建上的優(yōu)勢，圖3 給出了本文算法在“宏云”彩超中的實際應(yīng)用效果。圖3 中左下方的小圖為原始的凸陣腹部模式下得到的B 型超聲試塊圖像；圖中的小框表示需要放大后精細(xì)顯示的區(qū)域；“×3.0”表示對小框區(qū)域進行3 倍的放大；大圖為超分辨率重建算法得到的放大3 倍后結(jié)果。從圖中可以看到，重建后的圖像邊緣清晰、細(xì)節(jié)豐富、對比度高。

圖2. 圖像中相同位置的灰度變化曲線對比

圖3. 本文算法在“宏云”彩超上的應(yīng)用效果

4.結(jié)論

在“宏云彩超”的開發(fā)中為攻克B 型圖像超分辨率重建這一難點問題，結(jié)合稀疏表示的最優(yōu)表示特性，提出一種基于稀疏表示的B 型圖像超分辨率重建算法。實驗結(jié)果證實了本方法的有效性。相比于其他方法，本算法可以得到更突出的邊緣、更多的細(xì)節(jié)和更好的圖像對比度。

[1] A. Webb, Introduction to Biomedical Imaging. John Wiley & Sons, Hoboken, 2003 .

[2] 新華網(wǎng). http://news.xinhuanet.com/tech/2013-11/11/c_125682592.htm.

[3] J L Harris. Diffraction and Resolving Power [J]. Journal of the Optical Society of America, 1964 ,54 (7) : 931-936。

[4] J W Goodman .Introduction to Fourier Optics [M]. McGraw-Hill, New York, 1968.

[5] H. Chang, D.-Y. Yeung, Y. Xiong. Super-resolution through neighbor embedding [C]. IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, 2004, 1: 275–282.

[6] W. T. Freeman, E. C. Pasztor, O. T. Carmichael. Learning low-level vision [J]. International Journal of Computer Vision, 2000, 40(1):25-47.

[7] S. T. Roweis, L. K. Saul. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding [J]. Science, 2000.290(5500): 2323-2326.

[8] J. Yang, J. Wright, T. Huang, Y. Ma, Image super-resolution as sparse representation of raw image patches [C]. In Intl. Conf. on Comp. Vis. and Patt. Recog. 2008:1-8.

[9] 張丹瑩,李翠華,李雄宗等. 一種基于去冗余字典的圖像去噪算法[J].廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,51(4):691-695.

[10] J. A. Tropp. Topics in sparse approximation [M]. PhD Dissertation, Stanford University, Stanford, CA, 1995.

[11] H. Lee, A. Battle, R. Raina, A. Ng. Efficient sparse coding algorithms [C]. In NIPS, 2007: 801-806.