時(shí)變競(jìng)爭(zhēng)種群模型的反射函數(shù)及其周期解

潘穎昕, 劉文俊

(1.如皋高等師范學(xué)校 數(shù)理與信息技術(shù)系， 江蘇 如皋 226500；2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 江蘇 揚(yáng)州 225002)

我們知道時(shí)變競(jìng)爭(zhēng)種群模型可以用來(lái)刻畫(huà)生物種群的變化規(guī)律，對(duì)于自治的時(shí)變競(jìng)爭(zhēng)種群模型，通過(guò)廣大數(shù)學(xué)家的深入研究已取得了豐富的成果[1-4]．然而對(duì)于非自治的情形，由于模型的復(fù)雜性，往往很困難.在本文中我們首次應(yīng)用MIRONENKO[5-7]反射函數(shù)法來(lái)研究時(shí)變競(jìng)爭(zhēng)種群模型周期解的形態(tài)，由于方法的新穎，因此必將得出許多新的成果．為方便起見(jiàn)，我們首先簡(jiǎn)單介紹有關(guān)反射函數(shù)的概念．

1 基本概念及基本定理

假設(shè)微分系統(tǒng)

x′=X(t,x),t∈R,x∈Rn

(1)

右端連續(xù)可微，滿足解的存在唯一性定理的條件．

定義1[5]設(shè)F(t,x)為n維連續(xù)可微的向量函數(shù)，并滿足

(2)

則稱F(t,x)為微分系統(tǒng)(1)的反射函數(shù)．

引理1[5]若X(t+2ω)=X(t)，且F(t,x)為式(1)的反射函數(shù)，則式(1)的Pincaré映射為T(mén)(x)=F(-ω,x)，從而式(1)在[-ω,ω]有定義的解x=φ(t;-ω,x0)為2ω-周期解當(dāng)且僅當(dāng)F(-ω,x0)=x0．

定義2[5]若函數(shù)F(t,x)滿足F(-t,F(t,x))=F(0,x)，則稱微分系統(tǒng)

x′=-(Fx(t,x)+E)-1Ft(t,x)

(3)

為以F(t,x)為反射函數(shù)的簡(jiǎn)單微分系統(tǒng)．由文獻(xiàn)[5]知，微分系統(tǒng)

(4)

與微分系統(tǒng)(3)具有相同的反射函數(shù)F(t,x)，從而當(dāng)它們?yōu)閠的2ω-周期系統(tǒng)時(shí)，這些微分系統(tǒng)(4)的周期解的形態(tài)相同，這里R(t,x)為任意連續(xù)可微函數(shù)．

考慮時(shí)變競(jìng)爭(zhēng)種群模型

(5)

這里ai(t),i=0,1,2,bj(t),j=0,1,2,3,4,5為連續(xù)可微函數(shù)，并保證微分系統(tǒng)(5)的初值問(wèn)題的解存在唯一．由于a2(t)≡0時(shí)，系統(tǒng)(5)為可積系統(tǒng)，從而其解的形態(tài)是已知的，所以這里假設(shè)a2(t)不恒為零．

假設(shè)F(t,x,y)=(F1(t,x,y),F2(t,x,y,))T為微分系統(tǒng)(5)的反射函數(shù)．我們首先討論當(dāng)微分系統(tǒng)(5)為以F(t,x,y)為反射函數(shù)的簡(jiǎn)單微分系統(tǒng)時(shí)，函數(shù)F(t,x,y)的結(jié)構(gòu)形式，接著討論微分系統(tǒng)(5)具有某些函數(shù)為反射函數(shù)的充分條件，并應(yīng)用所得結(jié)論討論微分系統(tǒng)(5)的周期解的形態(tài)．

2 主要結(jié)果

若微分系統(tǒng)(5)為簡(jiǎn)單系統(tǒng)，則由文獻(xiàn)[5]得

(6)

(7)

這里及下文中記

F1∶=F1(t,x,y),F2∶=F2(t,x,y).

由假設(shè)a2(t)≠0，則由式(6)得

(8)

將式(8)代入式(7)得

(9)

式中

引理2若微分系統(tǒng)(5)為以F(t,x,y)為反射函數(shù)的簡(jiǎn)單微分系統(tǒng)且A6≠0，則F(t,x,y)為x,y的有理分式．

證明因?yàn)锳6≠0，所以式(9)可改寫(xiě)為

(10)

(11)

式中

B0=Dλ0+λ1P,B1=Dλ1-2λ2P,B2=Dλ2-3λ3P,

B3=Dλ3-4λ4P,B4=Dλ4-5λ5P,B5=Dλ5-6P,

Dλi=λit+λixP+λiyQ,i=0,1,2,3,4,5.

由于λ5為t的函數(shù)，而P為關(guān)于t,x,y的函數(shù)，故B5≠0，則式(11)可改寫(xiě)為

(12)

(13)

式中

C0=λ0-λ5μ0+μ0μ4,C1=λ1-λ5μ1+μ1μ4-μ0,C2=λ2-λ5μ2+μ2μ4-μ1,

情形1若C4≠0，則由式(13)得

(14)

(15)

式中

D0=Dk0-k1P,D1=Dk1-2k2P,D2=Dk2-3k3P,D3=Dk3-4P,

Dki=kit+kixP+kiyQ,i=0,1,2,3.

1)若D3≠0，則式(15)可改寫(xiě)為

(16)

(17)

式中

(1)若E2≠0，則由式(17)得

(18)

G0+G1F1=0

(19)

式中

(b)若G1≡0,則由式(19)得G0≡0，整理得

(20)

又對(duì)方程(16)作變換F1=Z-v2可得

(21)

(3)若E2≡0,E1≡0則由式(17)得E0≡0，整理得

(22)

對(duì)式(14)作變換F1=G-k3可得

(23)

2)若D3≡0,D2≠0或D3≡0,D2≡0,D1≠0，易得定理結(jié)論成立.

δ0+δ1H+δ2H2+H4=0

(24)

式中

因此，將式(24)中t用-t替代可得

(25)

情形2若C4≡0，與情形Ⅰ同理可得定理的結(jié)論成立．

與引理2同理可得

引理3若微分系統(tǒng)(5)為以F(t,x,y)為反射函數(shù)的簡(jiǎn)單微分系統(tǒng)且A6≡0，則F(t,x,y)為x,y的有理分式．

由引理2及引理3可得

定理1若微分系統(tǒng)(5)為以F(t,x,y)為反射函數(shù)的簡(jiǎn)單微分系統(tǒng)，則F(t,x,y)為x,y的有理分式．

下面我們討論微分系統(tǒng)(5)何時(shí)具有線性和一次有理分式形式的反射函數(shù)．

F(t,x,y)=(α(t)x,β(t)y)T

(26)

證明在定理的條件下容易驗(yàn)證函數(shù)(26)為Cauchy問(wèn)題(2)的解，從而函數(shù)(26)為微分系統(tǒng)(5)的反射函數(shù)．再由引理1及文獻(xiàn)[5]可得定理的結(jié)論成立．

(27)

式中

此外，若微分系統(tǒng)(5)為t的2ω-周期系統(tǒng)，則

證明在定理的條件下容易驗(yàn)證函數(shù)(27)為Cauchy問(wèn)題(2)的解，從而函數(shù)(27)為微分系統(tǒng)(5)的反射函數(shù)．當(dāng)微分系統(tǒng)(5)為2ω-周期系統(tǒng)時(shí)，由文獻(xiàn)[5]知，此時(shí)該周期系統(tǒng)的Poincaré映射為T(mén)(x,y)=F(-ω,x,y),由引理1可得該定理的結(jié)論成立．

例1微分系統(tǒng)

以F(t,x,y)=(x,y)T為反射函數(shù)，由于F(-π,x,y)=(x,y)T，故該微分系統(tǒng)在[-π,π]上有定義的解皆為2π-周期解.

例2微分系統(tǒng)

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