指數(shù)保費原理下的廣義線性模型信度估計

趙 珍, 吳黎軍

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院， 新疆 烏魯木齊 830046)

信度保費定價是保險公司對保費的一個合理定價過程，依賴于保單組合的過去索賠經(jīng)歷.最經(jīng)典的信度理論是Buhlmann[1]信度理論，他建立了任意分布下的信度理論.同時，在保險精算中，許多信度理論都建立在指數(shù)分布族框架上，詳細內(nèi)容可參考文獻[2-4].但是在這些信度理論中得到的保費沒有正的安全負荷性，是純保費，所以保險公司為了避免破產(chǎn)，必須引入恰當?shù)谋ＹM原理來解決這一問題，也就是將經(jīng)典信度模型中的平方損失函數(shù)修改為其他損失函數(shù)，文獻[5]給出了分位數(shù)損失函數(shù)、冪加權(quán)損失函數(shù)等許多損失函數(shù)下的保費原理.文獻[6]指出了指數(shù)損失函數(shù)下對應的指數(shù)保費原理的信度估計.

但是，在廣義線性模型中，對多水平費率的厘定同樣是信度理論定價的一個重要內(nèi)容,也是非壽險精算中最普遍用的技術(shù),即在給定水平下的保費可以用當前水平下的經(jīng)驗數(shù)據(jù)來估計[7].Nelder和Verrall[8]首次把信度理論擴展到廣義線性模型框架下，他們證明了對于多水平因子的費率厘定具有相似的Buhlmann估計.與此同時，Nelder和Verrall還推導出了在具有普通費率因子時，單個多水平費率因子也能得到相似的信度估計.自20世紀90年代后期以來，關(guān)于多水平費率因子的信度估計受到了越來越多的精算學者的關(guān)注. Kass[9]等推廣了除多水平外還有普通費率因子的情況,得到了加權(quán)觀測值下的精確信度模型.Ohlsson 和Johansson[10]討論了基于指數(shù)分布族模型與廣義線性混合模型中隨機效應之間的關(guān)系；與此同時，Ohlsson 和Johansson[11]還使用另外一種方法，即在信度模型框架下引入固定效應，得到了相同的信度估計.Garrido和Zhou[12]首次把古典信度理論與廣義線性模型相結(jié)合，建立了相應的信度模型.但是以上這些廣義線性模型的信度估計都是在平方損失函數(shù)下建立的,所以對模型而言得到的保費同樣都是純保費,不具有正的安全負荷性,這樣保險公司注定會破產(chǎn).為了解決這一問題,本文在考慮指數(shù)保費原理的基礎上,進一步利用指數(shù)損失函數(shù)的方法，把古典信度理論與廣義線性模型相結(jié)合來討論相應的信度估計．

1 模型的準備與假設

1.1 廣義線性模型

在古典線性回歸模型中，假設因變量服從正態(tài)分布，方差為常數(shù)，解釋變量通過線性相加關(guān)系直接影響因變量本身.而廣義線性模型假設因變量來自于指數(shù)分布族，其方差隨著均值而變化，解釋變量通過線性相加關(guān)系對因變量的期望值的某種變換產(chǎn)生影響.若Yi是第i個觀測值且服從指數(shù)分布族，則其密度函數(shù)可以表示為

式中：b(θi)，c(yi,φ,wi)為已知函數(shù)，φ>0對所有的觀察值具有相同的形式，wi為權(quán)重，b(θi)的二階導數(shù)存在且大于零.c(yi,φ,wi)與參數(shù)θi無關(guān).觀察值Yi的均值和方差分別為

E(Yi)=b′(θi)，var(Yi)=φυ(μi)/wi

(1)

其中υ(μi)=b″(b′-1(μi))是方差函數(shù).

1.2 信度模型

多水平因子的費率厘定是應用信度理論定價的一個重要內(nèi)容. 給定水平下的保費可以用當前水平下的經(jīng)驗數(shù)據(jù)來估計，這一過程主要借用廣義線性模型來實現(xiàn).首先，我們只考慮一個單一的多水平因子的費率厘定.

設Yjt是在多水平j下的第t個觀察值的關(guān)鍵費率，j=1,2,…,J.Uj是在多水平j下的隨機效應.則基本模型為

E(eαYjt|Uj)=μαUj

(2)

其中E(Uj)=1，E(eαYjt)=μα，α>0為已知參數(shù).

為了計算方便，令Vj=μαUj，E(Vj)=μα，則

E(eαYjt|Vj)=Vj

(3)

(4)

因此得到下面的假設.

假設1(a)隨機向量(Yjt,Vj)，j=1,…,J是獨立的.

(c)在Vj的條件下，Yjt相互獨立，均值和方差滿足(3)和(4)式.

定義1 指數(shù)損失函數(shù)為

L(x,p)=(eαY-eαp)

(5)

其中α>0是已知參數(shù).

2 信度理論

2.1 信度估計

類似于經(jīng)典的信度理論，信度估計可以定義為：將估計限定在某些線性函數(shù)類中.在損失函數(shù)(5)式下，求解下面的最小化問題

minE(c0+∑tcteαYt-eαp)2

(6)

為求上述最小化問題，我們先給出下面的引理.

(7)

(8)

證明令Xt=eαYt，求解最小化問題(6)式就是求解minE(c0+∑tctXt-V)2.

令h(X)=c0∑tctXt，則

[E(h(X)-V)]2

則

有最小值.

定理1在假設1成立時，求解最優(yōu)化問題(6)得到的最優(yōu)估計為

證明根據(jù)引理1，只需證明

滿足(7)和(8)式.因

cov(Vj,eαYjt=cov[Vj,E(eαYjt|Vj)]=

當s≠t時，cov(eαYjs,eαYjt)=E[cov(eαYjs,eαYjt|Vj)]+cov[E(eαYjs|Vj),E(eαYjt|Vj)]=0+

當s=t時，cov(eαYjs,eαYjt=var(eαYjt=

因此

2.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計

因此

則

3 乘法模型中的信度估計

下面考慮如何把廣義線性模型和信度理論聯(lián)合起來同時得到普通費率因子和多水平因子的估計.在這里，我們只考慮一個單一的多水平因子，普通費率因子可以是任意多個.例如房屋保險，考慮房子的類型、建筑面積和地理區(qū)域.把房子的類型、建筑面積作為普通費率因子，地理區(qū)域作為多水平因子，則(2)式可以推廣為

(9)

設Yijt是關(guān)鍵費率，則(9)式可以被推廣到有R個普通費率因子的情形，即

(10)

E(eαYijt|Vj)=γiVj

(11)

(12)

則得到下面假設.

假設2(a)隨機向量(Yijt,Vj)，j=1,…,J獨立.

(b)Vj，j=1, …,J是同分布.E(Vj)=μα，

(c)對于任何j，在Vj的條件下，Yijt是相互獨立的，且均值和方差滿足(11)和(12)式.

令

(13)

則

(14)

定理4在假設2成立時，保費p的估計為

隨機效應為

4 結(jié)束語

本文利用信度理論的方法，考慮在指數(shù)保費原理下信度理論與廣義線性模型中隨機效應之間的關(guān)系來討論相應的信度估計，分別得到了在該指數(shù)保費原理下多水平因子以及普通費率因子與多水平因子相結(jié)合的信度保費估計，并且給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計. 結(jié)果表明，所得的信度公式具有經(jīng)典的信度形式，這一結(jié)果推廣了經(jīng)典的信度模型．

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