一個帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程

溫丹華， 趙曉焱

(1.鄭州師范學院 河南鄭州450044;2.河南師范大學計算機與信息工程學院 河南新鄉(xiāng)453007)

0 引言

有效求出孤立子方程的精確解并研究其解的性質(zhì)一直是非常重要而又基本的課題.隨著孤立子理論的不斷發(fā)展，如何構造帶自相容源的孤立子方程并對其求解變得非常重要，由胡星標和王紅艷提出的源生成法［1-3］是解決此類問題的有效方法.

本文用源生成法來構造和求解帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程，并給出其一組貝殼隆變換［4］，考慮變系數(shù)(3+1)維 KP方程［5］?通過對數(shù)變換，方程(1)可以化為雙線性形式，

其中D是Hirota雙線性算子，并且方程(2)有Gramm型行列式解［5－6］，

其中函數(shù)φi，ψi滿足微分方程:

1 帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程

根據(jù)源生成法的步驟，首先對(3)式的函數(shù)f作改變，

其中pfaff式的元素定義為:

此時，還需要引進一些新的函數(shù)Gj(t)和Hj(t)，其定義為:

定理1 式(6)～(8)所定義的函數(shù)f，Gj，Hj滿足雙線性方程:

證明 利用pfaff式技巧和式(4)、(5)，通過計算得f的微分公式:

把以上微分公式代入雙線性方程(9)中，得到K+1個pfaff恒等式，

由此說明函數(shù) f，Gj，Hj滿足雙線性方程(9)．

類似地，可以證明函數(shù)f，Gj，Hj滿足雙線性方程(10)～(13)．

方程(9)～(13)就構成了雙線性的帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程，而式(6)～(8)中的函數(shù)f，Gj，Hj就是方程(9)～ (13)的行列式解．

則式(9)～(13)就轉(zhuǎn)化為非線性發(fā)展方程:此方程即是帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程．

2 帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程的雙線性B¨acklund變換

定理2 雙線性帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程(9)～(13)有雙線性形式的acklund變換，

證明 為證明該定理，只需證明當函數(shù)f，Gj，Hj滿足方程(9)～(13)時，滿足方程(14)的函數(shù)f'，G'j，H'j也滿足方程(9)～(13)，事實上:

因此，證明了函數(shù)f'，G'j，H'j滿足雙線性方程(9)～(13)，故式(14)是帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程的雙線性B¨acklund變換．

［1］ Hu Xingbiao，Wang Hongyan.New type of KP equation with self-consistent sources and its bilinear B?cklund transformation［J］.Inverse Problems，2007，23(4):1433-1444.

［2］ Wang Hongyan，Hu Xingbiao，Tam H W.A(2+1)-dimensional Sasa-Satsuma equation with self-consistent source［J］.J Phys Soc Jpn，2007，76(2):024007.

［3］ 王紅艷，胡星標.帶自相容源的孤立子方程［M］.北京:清華大學出版社，2008:16-21.

［4］ 王鴻業(yè)，溫丹華.一個帶自相容源的(3+1)維KP方程［J］.鄭州大學學報:理學版，2012，44(4):6-9.

［5］ 徐娟.變系數(shù)維KP方程的Wronskian和Grammian解［J］.溫州大學學報:自然科學版，2013，34(1):13-17.

［6］ 孟祥華.基于符號計算的光纖通信等若干領域中變系數(shù)非線性模型的研究［D］.北京:北京郵電大學，2009:124-125.