畫草圖借直觀 助思考促理解

李如平

摘要：本文針對(duì)學(xué)生難于將抽象的文字表述轉(zhuǎn)化為頭腦表象的現(xiàn)象，提出了畫草圖，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)明化、形象化的觀點(diǎn)，從而使學(xué)生的隱性思維顯性化，并從三個(gè)方面加以論證。

關(guān)鍵詞：草圖；直觀；思維

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）02-0105

笛卡爾曾說：“沒有圖形就沒有思考”，只用大腦思考常常會(huì)“思考偏題”，但用草圖可以糾斜，還可節(jié)省繁文縟節(jié)，其實(shí)畫草圖的過程就是思維展示的過程。手腦并用，可縮短學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，讓數(shù)學(xué)思維可視。在教學(xué)中，筆者對(duì)用草圖教學(xué)進(jìn)行了一些有效的嘗試，具體的教學(xué)實(shí)踐與反思如下：

一、畫草圖，幫助理解題意

美國著名數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，那么就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。”因此，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，把問題中的條件和結(jié)論直觀地、整體地表露出來，是一種十分重要的解題方法。數(shù)學(xué)題中經(jīng)常有許多文字信息的問題，學(xué)生由于缺乏讀題能力，對(duì)這些枯燥乏味文字，往往百讀不得其解，因此個(gè)別學(xué)生認(rèn)為題意復(fù)雜而不愿讀題。故而，筆者常向?qū)W生推薦草圖工具，使“數(shù)”添“形”，以“形”助數(shù)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維，提高分析能力。

案例1：以下是筆者在2012年第1版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)“2.4二元一次方程的應(yīng)用（1）”課內(nèi)練習(xí)第2題教學(xué)時(shí)，與學(xué)生合作的“翻譯”（如圖1）：

甲、乙兩人從相距36千米的兩地勻速相向而行。如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)后經(jīng)2.5小時(shí)相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后經(jīng)3小時(shí)相遇。請(qǐng)問甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？

師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真細(xì)致“讀”題，隨后請(qǐng)同學(xué)演示。

師：（一分鐘后）××同學(xué)起立，扮演甲；再請(qǐng)××同學(xué)起立，扮演乙，按題目中的信息演示一下，現(xiàn)在開始！

生1：××錯(cuò)了錯(cuò)了，是“相向而行”！

生2：××你可是甲，一開始你先走！

師：你們能將剛才的演示“畫”在紙上嗎？

生：（齊聲）能?。ㄈ鐖D1）

師：為了便于分析與思考，我們還得把題中條件和問題標(biāo)注到草圖中！

生3：怎么標(biāo)呀？甲、乙兩人每小時(shí)各走多少我又不知道！

生4：（急忙搭腔）難道你不會(huì)設(shè)甲、乙速度分別為x，y千米/時(shí)嗎？

生3：哦，噢，這難不倒我！我的妙圖出爐嘍?。ㄈ鐖D2）

師：干得真漂亮！你們能列出數(shù)量關(guān)系解答嗎？

學(xué)生根據(jù)草圖深入推敲，挖掘隱含信息，以路程作為等量關(guān)系，列出方程關(guān)系進(jìn)行解答：

設(shè)甲，乙速度分別為x，y千米/時(shí)，依題意得：

（2.5+2）x+2.5y=363x+（3+2）y=36

解得：x=6，y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時(shí)，乙的速度是3.6千米。

在初始階段，部分學(xué)生的草圖習(xí)慣主要是模仿教師的草圖來完成的，尤其是教師在教學(xué)例題時(shí)要清清楚楚、原原本本地把題中的信息反映到草圖上，并且要求其也能做到這一點(diǎn)。筆者總結(jié)出了以上的畫草圖方法，將其命名為“五步法”——讀、畫、標(biāo)、解、查，讓學(xué)生有“章”可循。久而久之，整理信息不是教師的指令，而是學(xué)生在解題過程中最真實(shí)、最迫切的需要，這種畫草圖能力經(jīng)過培養(yǎng)是可以具備的。此時(shí)提醒孩子們注意要對(duì)題中的信息咬文嚼字，借助草圖，把題目的意思“譯”出來，有助于快速理解題意。

二、畫草圖，顯現(xiàn)學(xué)生思維

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也說：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學(xué)不會(huì)的。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，在遇到難題時(shí)學(xué)生經(jīng)常會(huì)無所適從，而部分教師此時(shí)可能會(huì)拼命講解，用自己的講解代替了學(xué)生的思考，忽略了學(xué)生的參與體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程。只有充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)的過程，才能認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的規(guī)律。

案例2：浙教版2012年第1版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)“5.4一元一次方程的應(yīng)用（4）”作業(yè)第2題：某班有學(xué)生45人，會(huì)下象棋的人數(shù)是會(huì)下圍棋人數(shù)的3.5倍，兩種棋都會(huì)或都不會(huì)的人數(shù)都是5人，求只會(huì)下圍棋的人數(shù)。

筆者在教學(xué)中可能也會(huì)容易忽略一個(gè)重要的“細(xì)節(jié)”：

在給學(xué)生指導(dǎo)分析問題時(shí)，常常一邊指導(dǎo)一邊在不經(jīng)意間隨手畫出草圖（如圖3）分析，這相當(dāng)于幫學(xué)生畫出了草圖，當(dāng)時(shí)學(xué)生只是看懂，過后在習(xí)題中遇到類似題卻不知道要畫什么，原來學(xué)生看圖能力強(qiáng)于作圖能力，我們姑且可以稱之為“眼高手低”，無奈“講了八百遍學(xué)生還不會(huì)”的教學(xué)難題再度蔓延。

學(xué)生熟悉借助草圖解題需要一個(gè)較長(zhǎng)的過程，若操之過急，會(huì)欲速不達(dá)，所以一開始就應(yīng)對(duì)學(xué)生提出草圖要求。于是又安排了一節(jié)習(xí)題課補(bǔ)上一腳，讓孩子們?cè)凇爱媹D”、“討圖”的過程中，幫助其把隱性的理解顯性地表現(xiàn)出來：

生5：如圖4

生6：不對(duì)，××你看清那個(gè)“都”字了嗎？?jī)煞N棋都會(huì)或都不會(huì)的人數(shù)都是5人！

生5：對(duì)呀，我修改一下，如圖5，這下對(duì)了吧？

生7：你的只會(huì)象棋的人數(shù)與我的對(duì)不上，題目中說的是“會(huì)下象棋的人數(shù)是會(huì)下圍棋人數(shù)的3.5倍”！

生5：是的，你看，題目求只會(huì)下圍棋的人數(shù)，我就設(shè)只會(huì)下圍棋的人數(shù)為人，兩種棋都會(huì)是5人，那會(huì)下圍棋的人數(shù)不就是（x+5）人了，于是我根據(jù)“會(huì)下象棋的人數(shù)是會(huì)下圍棋人數(shù)的3.5倍”，得到會(huì)下象棋的人數(shù)為3.5（x+5）人，啊！我錯(cuò)了，只會(huì)下象棋的人數(shù)應(yīng)為[3.5（x+5）-5]人（如圖5）。

筆者不惜用大量的時(shí)間給予學(xué)生嘗試、討論的機(jī)會(huì)，雖用時(shí)較多卻價(jià)值斐然，可謂磨刀不誤砍柴工。此時(shí)更應(yīng)給他們充足的時(shí)間，我們可以引導(dǎo)學(xué)生用草圖的方式把隱含在頭腦里的表象暴露出來（如圖3、圖4、圖5……）。筆者看到這些圖時(shí)，對(duì)學(xué)生的一些似是而非的模糊理解頗為驚訝，原來學(xué)生會(huì)這樣想，他們的想法居然各不相同。

解：設(shè)只會(huì)下圍棋的人數(shù)為x人，則只會(huì)下象棋的人數(shù)應(yīng)為[3.5（x+5）-5]人

[3.5（x+5）-5]+x+5+5=45

解得x=5

答：只會(huì)下圍棋的人數(shù)為5人.

通過對(duì)草圖的分析和交流探查到每位學(xué)生更深層次的想法，學(xué)生的思維逐步從不完善走向完善，從一知半解到深入透徹。學(xué)生們知道了數(shù)學(xué)式的“咬文嚼字”，弄懂了怎樣根據(jù)題意畫草圖，找到草圖的訣竅，“內(nèi)化”了草圖策略。正如美國圖論學(xué)者哈里的一句名言“千言萬語不及一張圖”所說，將一個(gè)特定的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖像，整體地把握問題，學(xué)生幾乎不需什么力氣，快速、準(zhǔn)確地解決了此題，草圖功不可沒。

三、畫草圖，化解思維挫折點(diǎn)

有專家認(rèn)為，“如果知識(shí)背后沒有工具，那知識(shí)只能是一種沉重的負(fù)擔(dān)?！彪S著年段的變化，數(shù)學(xué)的內(nèi)容也更復(fù)雜，許多綜合題包含著不同角度、綜合考查的知識(shí)點(diǎn)。這就讓很多一部分學(xué)生犯怵，他們心里會(huì)產(chǎn)生一種莫名的“恐懼感”。這時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生以草圖工具為抓手，以理解為線索，以不變涵蓋多變，從而化解其思維挫折點(diǎn)。

案例3：如圖6，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)。過點(diǎn)P作PE∥DC，交AC于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)PE=y；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

此時(shí)部分教師可能會(huì)將問題的難點(diǎn)分解后進(jìn)行講解，筆者認(rèn)為這樣問題本身也就失去了其思考的價(jià)值，“吃別人嚼過的饃沒味道”正是這道理。在實(shí)踐教學(xué)中，筆者倡導(dǎo)學(xué)生“帶著筆墨，去審題”，要求盡量根據(jù)題意畫出符合題意的各類型草圖，學(xué)生嘗試把“問題”畫出來（如圖7、圖8、圖9）：

學(xué)生根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，主動(dòng)抓拍了以上三幅關(guān)鍵狀態(tài)草圖，不過那僅是當(dāng)點(diǎn)Q在線段AE上的一種情況，此時(shí)教師可以提問學(xué)生：

師：點(diǎn)Q與點(diǎn)P是否已停止運(yùn)動(dòng)？

生8：（經(jīng)過片刻畫圖）對(duì)哦，點(diǎn)Q與點(diǎn)P還會(huì)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q還可能在線段CE上！

筆者引導(dǎo)他們自行補(bǔ)充當(dāng)點(diǎn)Q在線段CE上的另一種情況（如圖10），將動(dòng)點(diǎn)問題徹底做到化動(dòng)為靜，化解學(xué)生最初的思維挫折點(diǎn)，讓學(xué)生看到了解題的“曙光”。

于是，草圖成為學(xué)生思維的拐杖，筆者引導(dǎo)其按圖索驥：

師：以上四幅圖中，你能求得哪幅圖中x的值？

生9：我能求圖8和圖10中x的值！

先由圖8中PE∥DC得，■=■=■

即■=■=■

解得AE=-■x+5，PE=-■x+3。

由圖10中的PE=QE得-■x+3=-■x+5-x

解得：x=■

又由圖12中的PE=QE得

-■x+3=x-（-■x+5）

解得：x=■

然而圖7或圖9中的PQ實(shí)在難以求得……

師：圖7或圖9中的PQ實(shí)在難以求得，我們能不能不通過求PQ，繞道而行呢？

生10：由圖9，我發(fā)現(xiàn)了∠APE為直角，易證QE=QP=QA，

即x=-■x+5

解得x=■

師：好，××同學(xué)觀察特別仔細(xì)！

生11：等腰？等腰！三線合一?。ㄕ?qǐng)他上臺(tái)構(gòu)圖）由圖11發(fā)現(xiàn)其中的△PEH與△ACD相似可求得x的值！

解：在圖7中過點(diǎn)P作PH⊥QE于點(diǎn)H，如圖11，由△PEH相似于△ACD得■=■，即■=■，

解得：x=■

故而，此題存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；所有滿足要求的x的值為■、■、■、■，學(xué)生的思維挫折點(diǎn)得以徹底的化解。

在整個(gè)探索過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生借助草圖，讓其“畫好圖”、“用好圖”，同時(shí)吸引全體的學(xué)生參與到教學(xué)過程中，使其處于一種積極狀態(tài)，慢慢消除了他們的“恐懼”心理。當(dāng)圖7或圖9中的PQ實(shí)在難以求得，學(xué)生的思維再次受挫時(shí)，筆者呼吁以草圖為抓手，隨著腦和圖的同步，學(xué)生的思維在慢慢地?cái)U(kuò)散、層層地鋪開，再次按圖索驥，抓住解題的關(guān)鍵。

總之，畫草圖不是最終目的，它只是一種強(qiáng)有力的工具，是一種解題習(xí)慣。通過畫草圖，學(xué)生把“無形”的數(shù)學(xué)題變成直觀的“有形”材料，助思考促理解。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們教師也要盡量讓數(shù)量基于草圖“顯山露水”，架起形象思維和抽象思維之間的橋梁，成就思維的拐杖，從而達(dá)到教學(xué)最高境界——腦中成圖。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張奠宙，鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的理論與實(shí)踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[2] 李德忠，趙同娟. 注重變式訓(xùn)練 提升思維品質(zhì)[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2009（7）.

[3] 羅增儒.解題分析的理念與實(shí)踐[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009（4）.

[4] 王亞權(quán).第二輪中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)習(xí)題的選擇與利用（一）[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（3）.

（作者單位：浙江省平陽縣萬全鎮(zhèn)宋橋中學(xué) 325409）