六種求三角函數(shù)最值的思維方法

張建祿

摘 要 三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)概念，它和其它數(shù)學(xué)知識(shí)有著密切的聯(lián)系，且常常在學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有著廣泛的應(yīng)用。在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)最值的求法有著重要的地位。在求三角函數(shù)最值時(shí)的正確思維方法對(duì)學(xué)好三角函數(shù)知識(shí)是有意義的。

關(guān)鍵詞 三角函數(shù) 最值 思維方法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。三角函數(shù)是函數(shù)的一種重要的函數(shù)，三角函數(shù)的最值問(wèn)題包括了對(duì)三角函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式、兩角和差以及倍角公式的考查，是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用，一直是高考命題的熱點(diǎn)。我們從以下六個(gè)方面舉例介紹求三角函數(shù)的最值。

1 將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函數(shù)的最值

求三角函數(shù)的最值問(wèn)題的主要依據(jù)就是正弦、余弦函數(shù)的值域。求三角函數(shù)的最值時(shí)，常常通過(guò)恒等變換，使它轉(zhuǎn)化為反含同名函數(shù)的各項(xiàng)。而恒等變換，一般要綜合運(yùn)用同角三角函數(shù)間的關(guān)系、和角、半角、半角的三角函數(shù)及和差化積、積化和差公式等轉(zhuǎn)化為 = （ + ） + 的形式，只要能轉(zhuǎn)化，問(wèn)題就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

當(dāng) = （）時(shí) = 1，當(dāng) = + （）時(shí) = 。

2 應(yīng)用平均值定理求最值

求函數(shù) = （為銳角）的最大值。

解：∵ = >0

∴ = = 4·≤4（）3 =

∴當(dāng) = ，即 = 時(shí)， = 。

應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通過(guò)分析將 （）放大或縮小成一個(gè)常數(shù)，這就是求最值的基本思維方法——放縮法，平均值定理是放縮法的一種極好手段。

3 應(yīng)用二次函數(shù)判別式求最（極）值

求 = （，，其中為三角形內(nèi)角）的最大值。

解：原函數(shù)化為 = [ ]

∴ + 2 = 0

= 8 ≥0∴ ≤≤

當(dāng) = 時(shí)， = = ，

所以當(dāng) = = 時(shí)， = 。

此題也可用放縮法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放縮法時(shí)，等號(hào)必須成立。

4 應(yīng)用函數(shù)的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化為 （ + ） =

∴∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域?yàn)椋ǎ? ]∪[1，）。

5 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，則（0，）。∴ = + 。

6 利用數(shù)形結(jié)合

求函數(shù) = 的最值。

圖1

解：原函數(shù)變形為 = 這可看作點(diǎn)（）和（-2，0）的直線的斜率，而是單位圓 + = 1上的動(dòng)點(diǎn)，由圖1可知，過(guò)（-2，0）作圓的切線時(shí)，斜率有最值，由幾何性質(zhì)得 = ， = - 。

前面介紹了六種常見(jiàn)的求三角函數(shù)最值的思維方法，但在解題中并不固定于一種方法。如

求 = 的極值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化為（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。顯然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一種方法化為 = （ + ） + 的形式，

原式化為 = + · = 0時(shí)， = 8。

當(dāng) = 1時(shí)， = 4。

方法三：利用函數(shù)的有界性，原式化為 = ，∵0≤≤1，∴0≤≤1解得4≤≤8，∴ = 8， = 4。

由上述例題可知數(shù)學(xué)問(wèn)題形式多樣，千姿百態(tài)，不要墨守成規(guī)，往往用多種方法互相配合使用解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能更牢固地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，而且，通過(guò)多種方法實(shí)現(xiàn)一題多解，分析比較，尋找解題的最佳途徑和方法，這樣能夠提高自身思維能力。