反思在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維深刻性中的作用

李小華

摘 要 學(xué)生中出現(xiàn)“綜合能力差”、“上課聽得懂，自己做不來”等現(xiàn)象，其實質(zhì)上都是思維缺乏深刻性造成的。反思性學(xué)習(xí)是培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性的良方。

關(guān)鍵詞 反思性學(xué)習(xí) 思維深刻性 數(shù)學(xué)

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1 在數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)中學(xué)會反思很有必要

反思是一種特殊的再概括，它是從個別推廣到一般的思維方法。數(shù)學(xué)教學(xué)中反思性學(xué)習(xí)包括反思解題思路，數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、題意的理解過程的反思，解題結(jié)果反思等。數(shù)學(xué)的反思性學(xué)習(xí)具有如下教育價值：一是情感、態(tài)度、價值觀方面：諸如①培養(yǎng)實事求是的態(tài)度和理性精神；②良好的反饋信息、謹(jǐn)慎，細(xì)心等習(xí)慣；③激發(fā)好奇心和求知欲；④自我反思性評價。二是常規(guī)數(shù)學(xué)思維能力方面：諸如①歸納、猜想和合情推理；②數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)與數(shù)學(xué)洞察；③理性思維與構(gòu)建體系。三是數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力方面：諸如①提出數(shù)學(xué)問題和質(zhì)疑能力；②建立新數(shù)學(xué)模型并用于實踐的能力；③發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力；④推廣現(xiàn)有數(shù)學(xué)結(jié)論的能力；⑤將不同領(lǐng)域的知識進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)的能力。

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中教師一定要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思，積極反思，要充分調(diào)動學(xué)生求知、求思的積極性和主動性，養(yǎng)成善于觀察、善于分析、善于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

2 培養(yǎng)途徑例說

2.1 對定義、概念進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)

單純地記住一個定義、概念或簡單地直接運用，對學(xué)生而言，并非難事，但要真正理解其內(nèi)涵，達(dá)到靈活運用，并非易事。究其原因，學(xué)生往往是膚淺、形式地認(rèn)識定義、概念，而通過反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對定義、概念不斷深入探討，理解就會不斷深入，思維活動也就會不斷深刻。

例1 設(shè)都是非零向量，則。這是新教材下冊第五章向量數(shù)量積中的一個重要性質(zhì)，為了深刻理解它，教學(xué)中筆者讓學(xué)生進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)。

反思一：設(shè)都是非零向量，若，則成立嗎？由公式，學(xué)生馬上得出結(jié)論：“能”；

反思二：如果去掉條件：“設(shè)都是非零向量”，即若，則成立嗎？

生：“分情況討論?！?師“分幾種？”經(jīng)過激烈爭論，師生共同統(tǒng)一為三種結(jié)果：（1）都是非零向量：（2）都是零向量；（3）中只有一個是零向量。

通過討論分析，不但解決了這個問題，而且深化認(rèn)識了規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。

反思三：反過來，若，則成立嗎？（*）有了反思二的基礎(chǔ)，學(xué)生會想到條件，隱含著為的可能性，而我們規(guī)定與任一向量平行，所以不一定有。

反思四：那再加上什么條件，（*）式可成立呢？

為了避免反思三的可能性，我們只要加上條件“設(shè)都是非零向量，”即設(shè)都是非零向量，若，則成立。再結(jié)合反思一結(jié)論：設(shè)都是非零向量，若，則也成立。

綜上反思結(jié)果：學(xué)生認(rèn)識到只能在“都是非零向量”的前提條件下才可成立。通過反思，也讓學(xué)生深刻理解了這個重要性質(zhì)及有關(guān)其它條件的情況，而且充分熟悉了兩個規(guī)定的應(yīng)用，真可謂“一舉兩得”。

對定義、概念進(jìn)行反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能促使學(xué)生從一個新的角度，多層次地對概念及解決問題的思維過程進(jìn)行全面的考察、分析和思考，從而深化對概念的理解，揭示問題本質(zhì)，探索出解題方法的一般規(guī)律，溝通知識間的相互聯(lián)系，促進(jìn)知識的同化和遷移，并進(jìn)而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)和推廣。

2.2 對定理、公理進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)

在定理、公理的學(xué)習(xí)中，就要完整地掌握它們（條件、結(jié)論和適用范圍），領(lǐng)會其精神實質(zhì)，切忌形式主義、表面化和盲目套用公式。

例2 求 = + （）的最小值。

對于這道題，學(xué)生常有如下錯誤的解法：

解答一：因為，所以3>0，>0，則 = + ≥2 = 4。當(dāng)且僅當(dāng)3 = ，即 = 時，有最小值2。

解答二：因為，所以 = + = + 2 + ≥3· = 6

故有最小值6。

反思一：因為利用基本不等式“ ，， + ≥2（當(dāng)且僅當(dāng) = 時取等號）”求最值的前提條件是不等式的一邊必須為常數(shù)（定值）。而解答一只是簡單套用公式，而忽視了 = 2要為定值的條件，導(dǎo)致結(jié)論錯誤。

反思二：在解答二中，取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)要 = 2 = ，而此時的無解，即沒有相對應(yīng)的使得取到最小值6。其錯誤的根源在于忽視了公式取到等號成立的條件。

其實，其正確解答如下：因為，所以 = 3 + = + + ≥3·· = 3。

當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 = 時，有最小值3。造成以上錯誤原因都是對公式認(rèn)識膚淺性所致，因而教學(xué)中特別要加強類似（1）求方程 + 1 = 0的一切實數(shù)解；（2）求 = 1 + + 的值域等題目的反思。引導(dǎo)學(xué)生辨別是非，弄清根源，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

對數(shù)學(xué)定理、公理進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)，是訓(xùn)練深刻性思維、優(yōu)化思維品質(zhì)的極好方法，是促進(jìn)知識同化和遷移的可靠途徑。通過反思不斷分析、解決問題，層層深入領(lǐng)會問題及解決方法的實質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性。

2.3 對解題思路進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)

在解題教學(xué)中，學(xué)生做完一道題后，引導(dǎo)他們進(jìn)行反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，搞清問題實質(zhì)，拓寬解題思路，擇優(yōu)解法，訓(xùn)練發(fā)散思維，再把問題引向深入，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

例3. 已知拋物線 = + + 與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是3、5，與軸交點的縱坐標(biāo)是15，求這個二次函數(shù)的解析式。

學(xué)生分析題意后解題，得如下解答：

方法一：依題意知拋物線經(jīng)過（3，0），（5，0），（0，15）三點，由此列出關(guān)于的方程組，可求出的值。

反思：已知三點用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，學(xué)生較熟悉。但我提問：有沒有較簡便的解法？這激發(fā)了學(xué)生反思，探究得如下解答：

方法二：拋物線與軸的兩個交點是對稱點，易求得其對稱軸為 = 4，設(shè)解析式 = ，將點（3，0），（0，15）的坐標(biāo)代入上式可求得。

反思：利用對稱性，先求對稱軸，再設(shè)頂點式，分散難點，便于計算，思維靈活。

受上述思維啟發(fā)，有學(xué)生獲得如下解答：

方法三：依據(jù)拋物線過點（0，15），可設(shè)其解析式為 = + + 15，聯(lián)想到拋物線與軸交點的橫坐標(biāo)3和5，就是方程 + + 15=0的兩根，代入即可求得 = 1， =-8。

反思：巧用數(shù)形轉(zhuǎn)換，將交點橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成一元二次方程的根，計算便利，正是創(chuàng)造性思維所致。

受到啟發(fā)，經(jīng)深入探究，又有學(xué)生獲新解答：

方法四：依據(jù)拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別是3、5，可設(shè)其解析式為 = ，再將點（0，15）代入得 = 1。

反思：利用交點式求解，思維簡捷，過程簡潔。

習(xí)題教學(xué)中，通過引導(dǎo)學(xué)生對問題的不斷反思，可以深化學(xué)生用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式常規(guī)方法：設(shè)一般式、頂點式、交點式。然后引導(dǎo)學(xué)生反思上述四種方法的利弊，通過比較，發(fā)現(xiàn)后面三種方法的巧妙是在于對知識的感悟，在設(shè)解析式時減少了一個待定系數(shù)。在比較中學(xué)生明確了解題關(guān)鍵，理清了解題思路，掌握了解題方法，逐漸優(yōu)化思維品質(zhì)，思維更加有序。

參考文獻(xiàn)

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