運用插值法進行利率計算公式的解析

馬 偉

(常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213164)

財務(wù)管理課程中，用插值法進行利率計算，即知曉現(xiàn)值或終值系數(shù)，通過現(xiàn)值系數(shù)表或終值系數(shù)表，找出兩個相鄰的利率和其對應(yīng)的系數(shù)，再通過插值的方式計算出利率的方法。一般財務(wù)管理課程的教材對這一方法僅通過文字敘述，然后給出相應(yīng)的公式，并沒有解釋其由來，學(xué)生單純記憶難以掌握。我們不妨通過插值法的公式推導(dǎo)，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握插值法在利率計算中的公式。

假設(shè)需要求的利率為ix，其對應(yīng)的已知系數(shù)為c，與ix相鄰的兩個利率和對應(yīng)的系數(shù)分別為i1、c1和i2、c2，利率較小的為i1，利率較大的為i2。根據(jù)四張系數(shù)表進行推算。

一、現(xiàn)值系數(shù)表

復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表和年金現(xiàn)值系數(shù)表，如表1、表2 所示。

表1 復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表

表2 年金現(xiàn)值系數(shù)表

表1 和表2 反映出，利率i 和利率對應(yīng)的系數(shù)c成反方向變化，即現(xiàn)值系數(shù)表中，利率i 越大，系數(shù)c越小，反映在坐標(biāo)系中，即圖1 中的弧線，當(dāng)弧線中的兩點比較接近時，可以將弧線近視為直線。

圖1 現(xiàn)值系數(shù)圖

將弧線近視為直線，分別在坐標(biāo)系中取ix，c，i1、c1和i2、c2，將對應(yīng)的利率和系數(shù)的交點如圖連接起來，為兩個相似三角形，如圖2 所示。

圖2 現(xiàn)值系數(shù)近視圖

在坐標(biāo)系上，已知c1、c2、c、i1、i2，求ix，利用幾何原理，兩個相似三角形的對應(yīng)邊之比相等，列出等式一

二、終值系數(shù)表

觀察復(fù)利終值系數(shù)表和年金終值系數(shù)表，如表3、表4。

表3 復(fù)利終值系數(shù)表

表4 年金終值系數(shù)表

表3 和表4 反映出，利率i 和利率對應(yīng)的系數(shù)c成同方向變化，即終值系數(shù)表中，利率i 越大，系數(shù)c越大，反映在坐標(biāo)系中即圖3 中的弧線，當(dāng)弧線中的兩點比較接近時，可以將弧線近視為直線。

圖3 終值系數(shù)圖

將弧線近視為直線，同樣，分別在坐標(biāo)系中取ix，c，i1、c1和i2、c2，在坐標(biāo)系中將對應(yīng)的利率和系數(shù)的交點如圖連接起來，為兩個相似三角形，如圖4 所示。

圖4 終值系數(shù)近視圖

在坐標(biāo)系上，已知c1、c2、c、i1、i2，求ix，利用幾何原理，兩個相似三角形的對應(yīng)邊之比相等，列出等式二

三、推導(dǎo)結(jié)論

將等式一的左半邊分子分母同乘以-1，等式一和等式二是一樣的，求出:

因此，復(fù)利現(xiàn)值、年金現(xiàn)值、復(fù)利終值、年金終值中，用插值法求利率，其只有如上一種公式。通過公式推導(dǎo)演示，學(xué)生很容易理解并掌握。

［1］曹惠民主編.財務(wù)管理學(xué)［M］.上海:立信會計出版社，2011.

［2］欒慶偉，遲國泰主編.財務(wù)管理［M］.大連:大連理工大學(xué)出版社，2008.