基于子空間類法的陣列誤差有源校正方法

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,四川成都611731)

0 引言

對陣列誤差的低魯棒性,一直以來都是高分辨空間譜估計(jì)技術(shù)走向?qū)嵱没囊粋€瓶頸[1],所以準(zhǔn)確估計(jì)陣列誤差、提高測角精度是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)[2-5]?，F(xiàn)有的陣列校正方法通?？梢苑譃樽孕Ｕ怺6]和有源校正類[7]。自校正類方法通常根據(jù)某種優(yōu)化函數(shù)對空間信源的方位與陣列的擾動參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì),陣列自校正可以不需要方位已知的輔助信源,而且可以在實(shí)際方位估計(jì)時在線完成。但是,信源方位和陣列誤差參數(shù)之間往往相互耦合,使得自校正中參數(shù)估計(jì)的可辨識性很難得到保證[8]。有源校正通過在空間設(shè)置方位精確已知的輔助信源來對陣列擾動參數(shù)進(jìn)行離線估計(jì),本文主要討論有源校正方法。

現(xiàn)有的有源校正算法很多,但是針對同時存在多種陣列誤差的校正算法還比較少。文獻(xiàn)[6]利用信號子空間和噪聲子空間的正交性,提出了同時對通道幅度相位參數(shù)、陣元間互耦參數(shù)和入射角參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的自校正方法,但該方法需要對通道幅度相位參數(shù)、陣元間互耦參數(shù)的初值進(jìn)行精確的估計(jì)。文獻(xiàn)[9]提出了一種針對均勻線陣中互耦誤差、陣元幅相誤差、位置誤差和多普勒頻率估計(jì)方法,但實(shí)際中目標(biāo)方位信息未知,所以存在目標(biāo)方位和陣列誤差參數(shù)之間的耦合,使得校正中參數(shù)估計(jì)的可辨識性降低。

本文提出了一種同時估計(jì)陣列位置參數(shù)、陣元幅相參數(shù)及陣元互耦參數(shù)的方法。該方法采用單個校正源,通過旋轉(zhuǎn)陣列天線得到多個校正方位的樣本數(shù)據(jù),從而達(dá)到多個信源獨(dú)立分時校正的效果;利用特征分解,得到信源導(dǎo)向矢量的估計(jì)值,根據(jù)信號空間和噪聲空間的正交性得到代價函數(shù),循環(huán)迭代估計(jì)出陣列位置參數(shù)、陣元幅相參數(shù)及陣元互耦參數(shù)。利用本文所提算法可以對同時校正多種陣列誤差,通過計(jì)算機(jī)模擬仿真和實(shí)際陣列天線的校正實(shí)驗(yàn)均驗(yàn)證了該算法的性能。

1 信號模型及處理

M個陣元的均勻線陣,陣元間距d為半波長,在陣元遠(yuǎn)場中,信號源在以線陣法線為參考的θ處。以第一個陣元為參考陣元,假設(shè)理想的陣元位置為((i-1)d,0)(i=1,2,…,M)。接收到的快拍數(shù)據(jù)可以表示為

式中,S(t)為發(fā)射信號復(fù)包絡(luò);N(t)為M×1陣列 噪 聲 矢 量;a0(θ)=[1,…,ex p(-iφ0m),…,exp(-iφ0M)](m=1,…,M)為陣列接收導(dǎo)向矢量,其中;K為快拍數(shù)。

陣列的協(xié)方差矩陣R定義為

式中,Rs=E[S(t)SH(t)]為信號源的協(xié)方差矩陣,I為單位矩陣,σ2為噪聲功率。

考慮陣列誤差時,接收到的快拍數(shù)據(jù)可以表示為

式中,互耦矩陣C為M×M維由陣元間互耦引入的誤差矩陣,均勻線陣的互耦矩陣是Toeplitz陣;G=diag[1,g2exp(iφ2),…,g Mexp(iφM)]為陣元的 幅 相 誤 差;a(θ)=[1,…,exp(-iφm),…,ex p(-iφM)]T,其中,[d1,d2,…,d M]為陣元的實(shí)際位置,且滿足d i=(i-1)d+Δd i,Δd i為第i個陣元的位置擾動。

則陣列的協(xié)方差矩陣為

2 參數(shù)估計(jì)算法

對R進(jìn)行特征分解得到：

式中,λ1為最大特征值。由子空間原理可知,歸一化信號源導(dǎo)向矢量的估計(jì)值,其中e1為R的最大特征值對應(yīng)的特征矢量,e11為e的第一個元素。定義E M=[e2,e3,…,e M],其各列張成噪聲子空間,且與陣列流型張成的空間正交。

由信號空間和噪聲空間的正交性,可以構(gòu)造代價函數(shù)為Q=arH(θ)E M(E M)Har(θ),當(dāng)ar(θ)為真實(shí)的陣列導(dǎo)向矢量(或者ar(θ)很接近真實(shí)導(dǎo)向矢量)時,代價函數(shù)Q取得最小值。基于時空矩陣特征分解的基本原理,采用迭代算法估計(jì)陣列誤差參數(shù)。算法具體原理和步驟如下：

① 令循環(huán)次數(shù)r=0,給定C的初始值C0(一般取為單位矩陣I)。

② 天線陣列處在可精密旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)臺上,轉(zhuǎn)動線陣天線陣列,使天線連續(xù)轉(zhuǎn)動J個角度θj(j=1,…,J)(利用多次的數(shù)據(jù)可更準(zhǔn)確地估計(jì)陣列誤差參數(shù),尤其是在求陣列位置誤差參數(shù)時可利用最小二乘估計(jì)),獲得每個角度的樣本數(shù)據(jù),根據(jù)式(4)計(jì)算協(xié)方差矩陣R j,并將R j進(jìn)行特征分解估計(jì)

將R j(j=1,…,J)分別進(jìn)行特征分解得到最大特征值對應(yīng)的歸一化特征矢量構(gòu)成areal(θj)。a m_real(θj)為areal(θj)的第m個元素,由式(4)可得

顯然,各陣元的幅度因子[9]為

將式(7)兩邊取相位,由于函數(shù)exp(·)的周期性,存在相位模糊問題,則

記p(θj)=[arg(a1_real(θj)),…,arg(a M_real(θj))]T,c(θj)=[c1(θj),c2(θj),…,c M(θj)]T,φ =[φ1,φ2,…,φM]T,d=[d1,d2,…,d M]T,則由式(9)得

由式(10)可得

式中,c′(θj)=[c′1(θj),…,c′M(θj)]T=c(θj+1)-c(θj)亦為整數(shù)組成的列向量,記

在陣元位置誤差不太大時,對于均勻線陣,d1,d2,…,d M近似為線性變化,選取合適的c′(θj),使Δp′m(θj)滿足近似線性變化。c′m(θj)的選取采用如下方法：

由于第一個陣元為參考陣元,p1(θj)=arg(a1_real(θj))=0,φ1=0,由式(9)可推知c′1(θj)=0。

對m＞2,c′m(θj)=-round[(m=3,4,…,M;j=1,2,…,J-1),round[x]等于最接近x的整數(shù)。

由式(12)可得

記為Y=B·X,其中Y=[Δp′(θ1),…,Δp′(θJ-1)],,X=[sinθ2-sinθ1,…,sinθJ-sinθJ-1]。

上式中Δp′(θj)是測量值,θj是已知值,則可以解出d。當(dāng)J=3時,式(13)有唯一解,當(dāng)J＞3時,式(13)為超定方程,其最小二乘解為B=YXT(XXT)-1。

陣元位置由下式估計(jì)：

將上式代回到式(10),則可由θj方向的數(shù)據(jù)估計(jì)出陣元的相位：

由式(15)可知,相位模糊不影響陣列天線相位φ的校正,即可寫為

最后用J個φj的平均值來估計(jì)相位φ,即

④ 由信號空間和噪聲空間的正交性,構(gòu)造代價函數(shù)：

根據(jù)文獻(xiàn)[5],若C為Toeplitz陣,式(18)可以寫為

式中,c=C1k(k=1,2,…,L),L為C的第一行非零元素個數(shù);M×L維矩陣T j=T1j+T2j,

如果限制c的第一個元素為1,即對c加上一個約束條件cHw=1(w=[1,0,0,…,0]T),采用拉格朗日乘子法在cHw=1的條件下使代價函數(shù)Q j取得最小值,可得到c的估計(jì)式：

式中,F j=THj E jM(E jM)HT j為L×L維矩陣。為提高精度,可由J次估計(jì)的的均值作為最后估計(jì)的,再由得到C r+1。

⑤ 計(jì)算總的代價函數(shù)為

當(dāng)|Q r-Q r+1|＞ε(事先設(shè)定的門限),令r=r+1,轉(zhuǎn)到③繼續(xù)循環(huán),否則循環(huán)結(jié)束。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述方法的正確性,進(jìn)行了相應(yīng)的算法仿真,仿真條件：采用8陣元均勻線陣,d=[0,1.20,1.90,3.20,4.23,4.69,5.88,7.11],g=[1,1.3,0.7,1.1,1.2,0.8,1.2,0.7],φ=[0°,80.21°,-34.38°,5.73°,-51.57°,36.67°,8.02°,-22.92°],c=[1.000 0,-0.127 4-0.357 7i,0.3521+0.4001i],天線陣列轉(zhuǎn)動角度分別為20°,40°,60°,80°,ε=1×10-9,信噪比SNR=20 dB。

圖1給出了仿真校正的代價函數(shù)隨循環(huán)次數(shù)變化曲線,由圖可見,本方法是收斂的,代價函數(shù)隨著循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸減小,在循環(huán)開始時收斂速度較快,循環(huán)30次以后逐漸變慢,最后收斂到穩(wěn)定值。表1、表2為計(jì)算機(jī)仿真校正結(jié)果,從表1、表2可以看出,本文所提算法可以很好地校正陣列誤差,包括陣元幅相誤差、陣列位置誤差和陣元互耦誤差。校正得到的估計(jì)值與陣列誤差參數(shù)的真實(shí)值基本吻合。]

圖1 仿真校正代價函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化曲線

表1 陣元位置、幅相誤差的計(jì)算機(jī)仿真校正結(jié)果

表2 互耦系數(shù)的計(jì)算機(jī)仿真校正結(jié)果

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)際陣列天線處于可精密旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)臺上,為8陣元均勻線陣,陣元間距為0.028 3 m(標(biāo)稱值),在天線陣列200 m以外有一信源發(fā)射C波段正弦波信號,天線陣列轉(zhuǎn)動角度分別為-30°,0°,30°,ε=1×10-9信噪比約為30 dB。

圖2給出了實(shí)際天線陣列校正的代價函數(shù)隨循環(huán)次數(shù)變化曲線,由圖可見,跟仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致,該校正方法是收斂的,代價函數(shù)隨著循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸減小,在循環(huán)開始時收斂速度較快,循環(huán)4次以后逐漸變慢,最后收斂到穩(wěn)定值。由于影響實(shí)際天線陣列校正的因素較多,例如天氣、地面環(huán)境等,所以代價函數(shù)最后收斂的穩(wěn)定值比仿真校正時的穩(wěn)定值大。

圖2 實(shí)驗(yàn)校正代價函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化曲線

表3、表4為實(shí)際天線陣列各陣列誤差參數(shù)的校正結(jié)果,把校正得到的誤差參數(shù)補(bǔ)償?shù)疥嚵薪邮諗?shù)據(jù)中,再進(jìn)行MUSIC譜估計(jì),就可以消除陣列誤差對MUSIC譜估計(jì)的影響了。

表3 實(shí)際天線陣列互耦系數(shù)校正結(jié)果

表4 實(shí)際天線陣列陣元位置、幅相誤差校正結(jié)果

圖3是實(shí)際天線陣列誤差校正前后MUSIC譜估計(jì)的對比關(guān)系圖。從圖中可以看出,存在陣列誤差的情況下,MUSIC算法的旁瓣電平很高,而且峰值嚴(yán)重偏離了真實(shí)的來波方向。采用本文所提的迭代方法對陣列誤差進(jìn)行校正,再進(jìn)行MUSIC處理,從圖中可以看出,陣列誤差校正后的譜峰已經(jīng)相當(dāng)尖銳,旁瓣電平比未校正時低了很多,而且峰值出現(xiàn)的位置基本與來波方向一致。

5 結(jié)束語

本文基于時空矩陣特征分解的基本原理,提出了采用迭代算法同時估計(jì)陣列位置參數(shù)、陣元幅相參數(shù)及陣元互耦參數(shù)的方法。考慮了各種誤差同時存在的情況,更符合實(shí)際應(yīng)用背景。仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文所提方法收斂性能好。由仿真數(shù)據(jù)校正得到的陣列誤差參數(shù)的估計(jì)值與真實(shí)值基本吻合,說明該方法誤差參數(shù)校正的精度高。并對比了實(shí)測數(shù)據(jù)陣列誤差校正前后的MUSIC譜,陣列誤差校正后的MUSIC譜峰更尖銳,旁瓣更低,DOA估計(jì)精度大大提高。所以該方法的實(shí)用性很高,可用于實(shí)際系統(tǒng)陣列誤差的校正。

圖3 陣列誤差校正前后的MUSIC譜對比

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