基于縫端損傷區(qū)域的混凝土材料Ⅱ型裂縫擴展角研究

陳殿華，王向東，邵 兵

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇南京 210098)

由于混凝土是由水泥、砂、骨料、水等材料組成的復(fù)合材料，所以在實際工程中混凝土結(jié)構(gòu)難免會出現(xiàn)裂縫。為了確?；炷两Y(jié)構(gòu)的安全，裂縫的穩(wěn)定性分析和擴展規(guī)律的研究是工程界普遍關(guān)心的問題［1-2］。

實驗表明，混凝土結(jié)構(gòu)縫端存在微裂紋區(qū)，稱為損傷區(qū)域。隨著外界因素的作用，損傷區(qū)域不斷演化發(fā)展，導(dǎo)致裂縫向損傷區(qū)域內(nèi)擴展，因此裂縫縫端損傷場及變化規(guī)律與裂縫擴展密切相關(guān)［3-4］。目前，對于單一型裂縫的損傷方程、損傷場計算等研究成果較多［5-6］。對于Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型等單一型裂縫及Ⅰ～Ⅲ復(fù)合型裂縫的擴展角研究大多是基于斷裂力學(xué)的方法［7-8］。根據(jù)損傷理論和斷裂理論［9-10］的經(jīng)典判據(jù)，包括應(yīng)力強度因子判據(jù)、能量判據(jù)等，可以從損傷的角度來研究裂縫擴展角。Ⅱ型裂縫擴展角相對比較復(fù)雜，所以本文基于Ⅰ型裂縫的損傷方程，推導(dǎo)出更適用于Ⅱ型裂縫的損傷演化方程，研究縫端損傷場的發(fā)展規(guī)律，將Ⅱ型裂縫縫端的損傷梯度出現(xiàn)極值時對應(yīng)的角度確定為Ⅱ型裂縫的擴展角，并將該擴展角與經(jīng)典判據(jù)得到的擴展角進行對比，以驗證該方法的可行性。

1 單一型裂縫三維空間內(nèi)縫端應(yīng)變間的關(guān)系

材料相同的兩塊帶縫混凝土試件，分別在Ⅰ型裂縫和Ⅱ型裂縫損傷的受力情況下，對處于純剪狀態(tài)的Ⅱ型裂縫試件采用第二強度理論分析，對處于單軸應(yīng)力狀態(tài)的Ⅰ型裂縫試件采用第一強度理論分析，得

由式(1)得

式中:τxz——切應(yīng)力;ν——混凝土的泊松比，ν∈(0.16，0.18)［11］;nτ——剪切安全因子;σ——混凝土材料的許用拉應(yīng)力;nσ——受拉形式下的安全因子。

假設(shè)外荷載產(chǎn)生的拉應(yīng)力σ1與τxz按一定的比例分別對兩塊混凝土試件加載，根據(jù)胡克定律、G=為剪切模量;E為彈性模量)和式(2)，得

式中:γxz——Ⅱ型裂縫切應(yīng)變;ε1——Ⅰ型裂縫線應(yīng)變。

2 建立Ⅱ型裂縫的損傷方程

Loland［12］在對混凝土等脆塑性材料的試驗結(jié)果進行研究后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)應(yīng)力將要達到峰值應(yīng)力時，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系已經(jīng)不再是線性關(guān)系，表明在達到最大應(yīng)力之前，材料內(nèi)部已經(jīng)存在損傷，在峰值應(yīng)力之后，裂縫周圍材料的損傷積累并發(fā)展。

將裂縫混凝土單軸拉伸試驗進行數(shù)據(jù)擬合可以得到損傷方程［13］:

式中:D0——混凝土初始損傷;C1、C2、β——材料常數(shù);εu、εc——極限拉應(yīng)變、峰值拉應(yīng)變。

根據(jù)式(3)和式(4)，可得適用于Ⅱ型裂縫用切應(yīng)變表示的損傷方程:

式中:γu、γc——極限切應(yīng)變、峰值切應(yīng)變。

根據(jù)G和E的關(guān)系，本文采用文獻［14］中由E研究得到的D0=0.05和峰值損傷Dc=0.18，其他參數(shù)為τc=2.1 MPa，γc=2×10-4，γu=10-3，τu=2.6 MPa，G0=1.4×104MPa，~G=1.3×104MPa。

由式(6)(7)可以得到λ=0.75，β=4，C1=2×1015，C2=938。

將材料常數(shù)代入式(5)得

由式(8)得到結(jié)論:隨著混凝土材料受損程度的不斷變大，應(yīng)變量逐漸變大。

3 混凝土Ⅱ型裂縫損傷區(qū)域分析

Ⅱ型裂縫尖端應(yīng)力場公式為

式中:r、θ——縫端極坐標(biāo);KⅡ——應(yīng)力強度因子。定義縫端的微裂紋區(qū)為縫端損傷區(qū)，由式(9)(10)求出第一、第三主應(yīng)力代入莫爾強度理論［11］，得到混凝土材料Ⅱ型裂縫試件裂縫尖端損傷區(qū)r的計算公式:

由式(12)得到Ⅱ型裂縫損傷演化規(guī)律如圖1所示。

圖1 Ⅱ型裂縫損傷演化示意圖Fig.1 Damage evolution schema of modeⅡcrack

4 Ⅱ型裂縫損傷梯度及擴展角

4.1 計算

將τxy=G0(1-D)γxy帶入式(9)～(11)，得，進行分析，得到縫尖損傷梯度的表達式為

將式(12)帶入式(13)，則縫尖損傷梯度與裂縫擴展角的關(guān)系可以表示為

式中:τ——切向荷載在帶縫混凝土表面產(chǎn)生的切應(yīng)力。

裂縫的擴展是由于隨著荷載的加大，材料所受的損傷也不斷變大造成的，其擴展角必定是損傷梯度極大時對應(yīng)的θ。由式(14)得到極大時，M(θ)必定出現(xiàn)極大值。通過軟件計算，得到M(θ)～θ曲線圖(圖2)，最終得到M(θ)極大時對應(yīng)的θ分別為:4°，16°，26°，29°，39°，43°，52°，65°，79°。

4.2 驗證

圖2 M(θ)隨擴展角θ變化的規(guī)律Fig.2 Variation of M(θ)with propagation angle θ

根據(jù)經(jīng)典理論求得的Ⅱ型裂縫擴展角約為79.3°［15］，本文方法所求得的裂縫擴展角與經(jīng)典理論所求得的擴展角誤差為0.3%，驗證了本文方法的正確性。

5 結(jié) 論

目前，對于裂縫擴展角的研究大多是基于斷裂力學(xué)理論。本文從損傷角出發(fā)，由損傷梯度研究Ⅱ型裂縫擴展方向的變化規(guī)律，得到了裂縫擴展方向是按損傷梯度逐步增大的規(guī)律變化的結(jié)論，計算出Ⅱ型裂縫失穩(wěn)擴展角為79°，該結(jié)論與經(jīng)典理論求得的結(jié)果吻合很好，表明基于縫端損傷梯度研究裂縫擴展角的可行性。

［1］李軍.混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂起裂準(zhǔn)則的試驗研究［D］.大連:大連理工大學(xué)，2008.

［2］劉夢和，王向東，邵兵.Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子和應(yīng)變能釋放率的關(guān)系［J］.水利水電科技進展，2012，32(6): 31-33.(LIU Menghe，WANG Xiangdong，SHAO Bing.Relationship between stress intensity factor and strain energy release rate ofⅠ-Ⅱ mixed mode cracks［J］.Advances in Science and Technology of Water Resources，2012，32(6):31-33.(in Chinanese))

［3］逯靜州.三軸受壓混凝土損傷特性理論與試驗研究［D］.大連:大連理工大學(xué)，2001.

［4］李敏.混凝土損傷研究［D］.河南:河南大學(xué)，2005.

［5］田佳琳，李慶斌.混凝土Ⅰ型裂縫的靜力斷裂損傷耦合分析［J］.水利學(xué)報，2007，38(2):205-210.(TIAN Jialin，LI Qingbin.Fracture-damage coupled analysis for modeⅠcracking in concrete under static load［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2007，38(2):205-210.(in Chinanese))

［6］董偉.混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫起裂準(zhǔn)則的試驗研究與裂縫擴展過程的數(shù)值模擬［D］.大連:大連理工大學(xué)，2007.

［7］CHOYYC K M.Anew mixed mode fracture criterion:maximum tangential strain energy density criterion［J］.EnginFract Mech. 1991，39(3):433-449.

［8］邵兵，王向東，劉夢和.空間復(fù)合型裂紋的性能參數(shù)［J］.水利水電科技進展，2012，32(5):53-54.(SHAO Bing，WANG Xiangdong，LIU Menghe.Study on performance parameters of spatial mixed mode crack［J］.Advances in Science and Technology of Water Resources，2012，32(5):53-54.(in Chinanese))

［9］HEOS P，YANG W H.Mixed-mode stress in tensity factors and critical angles of cracks in bolted joints by weight functionmethod［J］.Archiveof AppliedMechanics，2002，72(2):96-106.

［10］KRISHNANG R，ZHAO X L，ZAMAN M，et al.Fracture toughnessof asoft sandstone［J］.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts，1998，35(6):695-710.

［11］徐道遠，黃孟生，朱為玄，等.材料力學(xué)［M］.南京:河海大學(xué)出版社，2004:6，29.

［12］LOLAND K E.Continuum damage model for load response estimation of concrete［J］.Cement and Concrete Research，1980，10，395-402.

［13］余天慶，錢濟成.損傷理論及其應(yīng)用［M］.北京:國防工業(yè)出版社，1998:138-140.

［14］朱岳明，徐之青，賀金仁，等.混凝土水管冷卻溫度場的計算方法［J］.長江科學(xué)院院報，2003，20(2):19-22.(ZHU Yueming，XU Zhiqing，HE Jinren，et al.A calculation method for solving temperature field of mass concrete with cooling pipes［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2003，20(2):19-22.(in Chinanese))

［15］酈正能，何慶芝.工程斷裂力學(xué)［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，1993:110-113.