素?cái)?shù)階射影平面的一種新構(gòu)造

陳尚弟，衛(wèi)慧慧

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

素?cái)?shù)階射影平面的一種新構(gòu)造

陳尚弟，衛(wèi)慧慧

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

射影平面是由歐氏平面加上一條非固有直線(xiàn)構(gòu)成的，它在射影幾何中的存在性是一個(gè)重要的研究課題。在組合設(shè)計(jì)中，射影平面與仿射平面有著密切的聯(lián)系，并且一個(gè)q階射影平面對(duì)應(yīng)一個(gè)（q2+q+1，q+1，1）對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)，一個(gè)q階仿射平面對(duì)應(yīng)一個(gè)（q2，q，1）可分解設(shè)計(jì)。本研究從無(wú)窮遠(yuǎn)元素和射影直線(xiàn)入手，給出射影平面的定義，進(jìn)而利用矩陣的初等變換及矩陣對(duì)角線(xiàn)上元素的位置變換的理論，構(gòu)造了一個(gè)可分解設(shè)計(jì)的平行類(lèi)，最后通過(guò)增加q+1個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的方式得到素?cái)?shù)階射影平面的一種新構(gòu)造，并且舉例驗(yàn)證了構(gòu)造的有效性和正確性。

射影平面；仿射平面；設(shè)計(jì)；矩陣

在區(qū)組設(shè)計(jì)中，一個(gè)q階射影平面的存在等價(jià)于一個(gè)q階仿射平面的存在，也等價(jià)于q-1階正交拉丁方的存在。因此，可以通過(guò)研究仿射平面來(lái)研究射影平面。

人們?cè)谘芯坑邢奚溆皫缀螘r(shí)，通常利用有限域和有限群的知識(shí)來(lái)構(gòu)造射影平面。文獻(xiàn)[1]討論了素?cái)?shù)冪q階射影平面的存在性等價(jià)于包含一個(gè)q階正規(guī)子群的q（q-1）階2-可遷子群Sq的存在性，并給出了幾種2-可遷子群Sq的構(gòu)造方法。文獻(xiàn)[2]通過(guò)有限半域構(gòu)造有限射影平面，并給出任意一個(gè)有限半域決定一個(gè)不滿(mǎn)足Desargues定理的射影平面。文獻(xiàn)[3]詳細(xì)介紹了圖論的知識(shí)并討論了有限射影平面的點(diǎn)線(xiàn)關(guān)聯(lián)圖，給出了通過(guò)圖論知識(shí)構(gòu)造射影平面的方法。文獻(xiàn)[4]通過(guò)初等數(shù)論知識(shí)和關(guān)聯(lián)矩陣的定義給出一類(lèi)對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)方案，從而得到素?cái)?shù)階射影平面的構(gòu)造法，對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題容易而且快速。文獻(xiàn)[5-7]討論了非素?cái)?shù)冪階射影平面的存在性，并證明10階射影平面是不存在的。文獻(xiàn)[8]給出了一個(gè)q階射影平面對(duì)應(yīng)一個(gè)（q2+q+1，q+1，1）對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)，故研究q階射影平面的存在性問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為研究（v，k，1）設(shè)計(jì)的存在性問(wèn)題。

本文旨在研究射影平面的構(gòu)造，第1節(jié)中引出了關(guān)于有限關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的知識(shí)；第2節(jié)給出了對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)及射影平面的概念，并討論了它們之間的聯(lián)系；第3節(jié)具體給出了q（q為素?cái)?shù)）階射影平面的另一種構(gòu)造，從而推出素?cái)?shù)階射影平面均存在。

1 有限關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)

定義1 設(shè)P和B為兩個(gè)不相交的非空有限集合，I為P與B之間的二元關(guān)系，即I?P×B，則稱(chēng)K=（P，B，I）為一個(gè)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。P的元素為點(diǎn)，B的元素為區(qū)組，I為關(guān)聯(lián)關(guān)系。設(shè)Pi∈P，P={P1，P2，…，Pv}，若（P，x）∈I，則稱(chēng)點(diǎn)P與區(qū)組x關(guān)聯(lián)并記作PIx。若點(diǎn)P與區(qū)組x不關(guān)聯(lián)，則記作

為方便，常用（P）表示與點(diǎn)P關(guān)聯(lián)的區(qū)組集，用（x）表示與區(qū)組x關(guān)聯(lián)的點(diǎn)集。因此（Pi）∩（Pj）表示既與點(diǎn)Pi關(guān)聯(lián)又與點(diǎn)Pj關(guān)聯(lián)的區(qū)組集。通常以v表示點(diǎn)集P的基數(shù)，b表示區(qū)組集B的基數(shù)，即并稱(chēng)v為P的階。

定義2 設(shè)P={P1，P2，…，Pv}，B={x1，x2，…，xb}，K=（P，B，I）為有限關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。對(duì)1≤i≤v，1≤j≤b，K的關(guān)聯(lián)矩陣是v×b的（0，1）-矩陣，定義如下

對(duì)1≤i≤v，令ri表示B中與點(diǎn)Pi關(guān)聯(lián)的區(qū)組數(shù)；1≤j≤b，令kj表示P中與區(qū)組xj關(guān)聯(lián)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)1≤i，j≤v，i≠j，令λi，j表示B中同時(shí)與點(diǎn)Pi及Pj關(guān)聯(lián)的區(qū)組數(shù)。ri為點(diǎn)Pi的重復(fù)度，kj為區(qū)組xj的長(zhǎng)度，λi，j為Pi與Pj的相遇數(shù)，即

2 對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)及有限射影平面

2）對(duì)任意xj∈B，有kj=k；

3）對(duì)任意Pi，Pj∈P，i≠j，都有λi，j=λ，

則稱(chēng)K是一個(gè)（v，k，λ）平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)記為（v，k，λ）-BIBD。

定義4（v，b，r，k，λ）-BIBD稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)，如果b=v，對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)記為SBIBD。

定義5 設(shè)K=（P，B，I）是一個(gè)（v，k，λ）-BIBD。B中不交的區(qū)組集滿(mǎn)足并集是P稱(chēng)為一個(gè)平行類(lèi)，把B分為r個(gè)平行類(lèi)的劃分稱(chēng)為一個(gè)解，則K=（P，B，I）稱(chēng)為可分解設(shè)計(jì)，如果B至少有一個(gè)解。簡(jiǎn)記為（v，k，λ）-RBIBD。

定義6 設(shè)K=（P，B，I）為有限關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，P的元

定義3 設(shè)v、k、λ為給定的正整數(shù)，v≥k≥2，λ≥1，K=（P，B，I）為有限關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。若以下條件滿(mǎn)足：素為點(diǎn)，B的元素為直線(xiàn)，稱(chēng)K為有限射影平面，若K滿(mǎn)足下列公理：

l）對(duì)P中任意兩個(gè)不同的點(diǎn)Pi與Pj，都存在B中唯一的一條直線(xiàn)L，使得PiIL與PjIL；

2）對(duì)B中任意兩條不同的直線(xiàn)L1與L2，都存在P中唯一的一點(diǎn)Pi，使得PiIL1與PiIL2；

3）P中存在4個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不與同一條直線(xiàn)關(guān)聯(lián)。

定理1 設(shè)K為一個(gè)q階射影平面，則q≥2，且

1）每一條直線(xiàn)都恰好包含q+1個(gè)點(diǎn)；

2）過(guò)每一點(diǎn)的直線(xiàn)都恰有q+1條；

3）任意不同的兩點(diǎn)都恰好同時(shí)落在唯一的一條直線(xiàn)上；

4）任意兩條不同的直線(xiàn)都恰好有唯一的一個(gè)交點(diǎn)；

5）共有q2+q+1個(gè)點(diǎn)；

6）共有q2+q+1條直線(xiàn)。

定理2 任意一個(gè)q階射影平面可以看作一個(gè)（q2+q+1，q+1，1）-SBIBD；反之，對(duì)于k≥3，任意一個(gè)（v，k，λ）-SBIBD可以看作一個(gè)q=k-λ階射影平面。

定理3（Bruck，Ryser） 設(shè)q≡1或2（mod 4）且n的無(wú)平方因子部分有形如4t+3的素因子，則不存在q階射影平面。例如，q=6，14，21，22，30，33，38，42，46，…階射影平面是不存在的，但q=10，12，15，18，20，24，26，28，…階射影平面的不存在性還未被證明。

3 有限射影平面的構(gòu)造

構(gòu)造給定一個(gè)素?cái)?shù)q，設(shè)Fq={1，2，…，q}，令

其中：∞i（i=1，2，…，q）是不同于點(diǎn)（x，y）的q+1個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)之為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。顯然，可以得到1。為方便表示，將X中的點(diǎn)（x，y）記作axy，并記Ii是由點(diǎn)∞i組成的一維列向量，即Ii=（∞i∞i… ∞i）T（i=1，2，…，q），T代表矩陣的轉(zhuǎn)置。然后考慮下列步驟：

第1步把q2個(gè)點(diǎn)axy按行序排列成q×q矩陣，可得

第2步在矩陣A0的末尾添加一維列向量I0得到q×（q+1）矩陣π0，即

把矩陣π0的每一行看作一個(gè)區(qū)組，可以得到q個(gè)區(qū)組長(zhǎng)度為q+1的區(qū)組，如下

第3步首先對(duì)矩陣A0中的元素做一些標(biāo)記。把從矩陣左上角到右下角這條對(duì)角線(xiàn)上的元素a11，a22，a33，…，aqq稱(chēng)為矩陣A0的主對(duì)角線(xiàn)，也稱(chēng)為第0條對(duì)角線(xiàn)，元素a21，a32，…，aq，q-1，a1q為矩陣A0的第1條對(duì)角線(xiàn)。以此類(lèi)推，設(shè)1≤l≤q-1，稱(chēng)元素al+1,1，al+2,2，al+3,3，…，al，q為矩陣A0的第l條對(duì)角線(xiàn)。

下面構(gòu)造q×q矩陣Ar（1≤r≤q-1）。

令0≤i≤q-1，把矩陣Ar-1的第i條對(duì)角線(xiàn)上的元素作為矩陣Ar的第i+1行上的元素，可得到q-1個(gè)q×q矩陣Ar（r=1，2，…，q-1）

重復(fù)第2步的過(guò)程，可以得到q×（q+1）矩陣πr

及q個(gè)區(qū)組長(zhǎng)度為q+1的區(qū)組

第4步把q2個(gè)點(diǎn)axy按列序排列成q×q矩陣，可得

同樣，重復(fù)第2步的過(guò)程，可以得到q×（q+1）矩陣

第5步由q+1個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)組成一個(gè)區(qū)組，記作

定理4 上述構(gòu)造是一個(gè)q階射影平面，即（q2+ q+1，q+1，1）-SBIBD。

證明從構(gòu)造過(guò)程易知，設(shè)B為區(qū)組集，則每個(gè)區(qū)組包含q+1個(gè)點(diǎn)，即k=q+1；下面驗(yàn)證每對(duì)不同的點(diǎn)出現(xiàn)的區(qū)組數(shù)，分為3種情況討論：

1）從矩陣Ar（0≤r≤q）的構(gòu)造知，每對(duì)不同的點(diǎn)（x，y），（m，n）恰好出現(xiàn)在一個(gè)區(qū)組中，其中1≤x，y，m，n≤q。

2）從矩陣πr（0≤r≤q）的構(gòu)造知，每對(duì)不同的點(diǎn)（x，y），∞r(nóng)恰出現(xiàn)在一個(gè)區(qū)組中，其中1≤x，y≤q，∞r(nóng)是不同于（x，y）的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

3）B＇={∞0，∞1，…，∞q}作為一個(gè)區(qū)組，每對(duì)不同的點(diǎn)∞i，∞j（0≤i≠j≤q）只出現(xiàn)在區(qū)組B＇中。

由此可知，（X，B）是一個(gè)（q2+q+1，q+1，1）-BIBD。

由每個(gè)矩陣πr（0≤r≤q）可以得到q個(gè)區(qū)組，則B中總區(qū)組數(shù)b=q（q+1）+1滿(mǎn)足b=v。因此，（X，B）是一個(gè)（q2+q+1，q+1，1）-SBIBD。

推論存在其中n為偶數(shù)。

根據(jù)該定理可以直接構(gòu)造出，當(dāng)k-1為素?cái)?shù)時(shí)的（v，k，1）設(shè)計(jì)和素?cái)?shù)階射影平面，從而可以得到下述定理。

定理5 素?cái)?shù)階射影平面均存在。

下面給出一個(gè)實(shí)例具體說(shuō)明上述構(gòu)造。

實(shí)例構(gòu)造一個(gè)（13，4，1）-SBIBD。

給定一個(gè)素?cái)?shù)q=3以及q+1=4個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn){∞0，∞1，∞2，∞3}，根據(jù)第1步、第2步可以得到1個(gè)3 ×4矩陣

根據(jù)第3步可以得到2個(gè)3×4矩陣πi（i=1，2）

根據(jù)第4步可以得到1個(gè)3×4矩陣

根據(jù)第5步，由4個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn){∞0，∞1，∞2，∞3}組成區(qū)組B＇={∞0，∞1，∞2，∞3}。

把矩陣πi（0≤i≤3）的每一行看作一個(gè)區(qū)組可得到區(qū)組總數(shù)b=3×4+1=13，且每個(gè)區(qū)組包含4個(gè)點(diǎn)，即k=4。因此，可得到（13，4，1）-SBIBD。

[1]DHANANJAY P MEHENDALE.Finite projective planes[J].Sir Parashurambhau College，2003，12（8）：27-43.

[2]DONALD ERVIN KNUTH.Finite Semifields and Projective Planes[D]. California：California Institute of Technology Pasadena，1963.

[3]FELIX LAZEBNIK，ANDREW THOMASON.Orthomorphisms and the construction of projective planes[J].London Mathematical Society，2003，13（8）：1-15.

[4]闕樹(shù)福.素?cái)?shù)階射影平面的一種構(gòu)造法[J].福建林學(xué)院學(xué)報(bào)，1996，16（11）：346-348.

[5]LAM C W H.The search for a finite projective plane of order 10[J].The American Mathematical Monthly，1991，4：305-318.

[6]LAM C W H，THIEL L，SWIERCZ S.The nonexistence of finite projective planes of order 10[J].Canad J Math，1989，41（6）：1117-1123.

[7]BRUCK R H，RYSER H J.The nonexistence of certain finite projective planes[J].Can J Math，1949，11（1）：88-93.

[8]沈 顥.組合設(shè)計(jì)理論[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2008.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）

New construction of projective planes of prime order

CHEN Shang-di，WEI Hui-hui
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

The existence of projective plane which consists of Euclidean plane and an extrinsic straight line is an important research subject in projective geometry.There is a close connection between affine plane and projective plane in combinatorial design.A projective plane of order q corresponds to a（q2+q+1，q+1，1）symmetrical design，and an affine plane of order q corresponds to a（q2，q，1）resolvable design.Beginning with infinity element and projective line，the definition of projective plane is given.Furthermore，the elementary transformation of matrix and the position transformation of the diagonal elements are used to get the parallel classes of a resolvable design.Finally，a new construction of projective plane of prime order is obtained by adding q+1 points into each parallel class.The correctness and efficiency of the construction are validated through an example.

projective plane；affine plane；design；matrix

O157

：A

：1674-5590（2014）05-0061-04

2013-09-11；

：2013-10-14

：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61179026）

陳尚弟（1964—），男，山西應(yīng)縣人，教授，博士，研究方向?yàn)榇鷶?shù)、圖論、編碼與密碼.