一種改進(jìn)的永磁直線電機(jī)氣隙磁場(chǎng)解析計(jì)算方法

陳中顯 余海濤 胡敏強(qiáng)

(東南大學(xué)電氣工程學(xué)院，南京210096)

永磁直線電機(jī)的初級(jí)鐵芯矩形開槽后，會(huì)影響到氣隙磁場(chǎng)的分布，一方面氣隙磁場(chǎng)產(chǎn)生較多的諧波分量，從而影響到永磁直線電機(jī)運(yùn)行過(guò)程中的電動(dòng)勢(shì)波形;另一方面氣隙磁通的漏磁系數(shù)增大，降低了永磁體的有效利用率.因此，國(guó)內(nèi)外對(duì)永磁直線電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布進(jìn)行了相關(guān)的研究.

文獻(xiàn)［1-6］采用有限元法分析電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的分布情況，但有限元法計(jì)算耗時(shí)較長(zhǎng)，因而不適用于永磁直線電機(jī)的初步設(shè)計(jì)和優(yōu)化.文獻(xiàn)［7-11］采用傳統(tǒng)的許-克變換法，對(duì)電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布進(jìn)行了解析計(jì)算，由于傳統(tǒng)的許-克變換法沒有充分考慮電機(jī)氣隙寬度和永磁體厚度對(duì)氣隙磁場(chǎng)分布的影響，使得解析計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果存在較大的偏差.文獻(xiàn)［12］采用分離變量法對(duì)永磁直線電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行解析計(jì)算，但此方法未能合理地求解偏微分方程，致使其解析計(jì)算的結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果存在較大的偏差.

本文分別考慮矩形開槽永磁直線電機(jī)的氣隙寬度和永磁體厚度因素，對(duì)傳統(tǒng)的許-克變換坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，從而建立了一個(gè)較為合理的氣隙磁場(chǎng)模型.通過(guò)該模型，首先推導(dǎo)出永磁直線電機(jī)氣隙寬度大于或等于初級(jí)鐵芯齒寬情況下的氣隙相對(duì)磁導(dǎo)分布函數(shù)，然后推導(dǎo)出氣隙寬度小于初級(jí)鐵芯齒寬情況的氣隙相對(duì)磁導(dǎo)分布函數(shù)，并對(duì)氣隙相對(duì)磁導(dǎo)分布函數(shù)作了修正.理論推導(dǎo)和真實(shí)的數(shù)據(jù)計(jì)算表明，改進(jìn)的許-克變換解析計(jì)算結(jié)果更加接近于有限元軟件的計(jì)算結(jié)果.最后，根據(jù)改進(jìn)的許-克變換解析計(jì)算方法，對(duì)矩形開槽永磁直線電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布實(shí)施優(yōu)化設(shè)計(jì)，試制了一臺(tái)短次級(jí)圓筒型永磁直線發(fā)電機(jī)，并進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試.

1 永磁直線電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)模型

永磁直線電機(jī)的結(jié)構(gòu)主要由初級(jí)鐵芯、次級(jí)鐵芯、繞組、永磁體等部分組成.按照初級(jí)鐵芯和次級(jí)鐵芯的長(zhǎng)短，可以把永磁直線電機(jī)分為短初級(jí)和短次級(jí)2 種類型.其中，短次級(jí)矩形開槽永磁直線電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示.圖中，τ 為極距;τp為永磁體長(zhǎng)度;ws為槽寬;wt為齒寬;hm為永磁體厚度;h 為合成氣隙寬度.

圖1 短次級(jí)矩形開槽永磁直線電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)

1.1 初級(jí)鐵芯無(wú)槽情況下的氣隙磁場(chǎng)模型

永磁直線電機(jī)初級(jí)鐵芯無(wú)槽情況下的氣隙磁場(chǎng)模型如圖2所示.圖中，g 為氣隙寬度.通常情況下，為了得到初級(jí)鐵芯無(wú)槽情況下的氣隙磁通密度，作如下基本的假設(shè):

①磁場(chǎng)的方向指向±y，且永磁體被均勻磁化;

②把初級(jí)鐵芯氣隙側(cè)表面視作光滑的平面;

③初級(jí)鐵芯和次級(jí)鐵芯的磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，即μx=μy=∞;

④相鄰永磁體之間的部分由未被磁化的永磁體充滿.

圖2 永磁直線電機(jī)初級(jí)鐵芯無(wú)槽的氣隙磁場(chǎng)模型

根據(jù)上述假設(shè)，采用等效電流法，得到如下圖2的區(qū)域磁矢位方程:

1)區(qū)域Ⅱ

2)區(qū)域Ⅲ

與式(1)和(2)相對(duì)應(yīng)的區(qū)域和邊界條件如下:

1)區(qū)域Ⅱ

2)區(qū)域Ⅲ

3)區(qū)域Ⅱ和Ⅲ交界處

式中，A1和A2為磁矢位;μ0為真空磁導(dǎo)率;Jm為永磁體的等效磁化電流密度［13］，其傅里葉級(jí)數(shù)形式為

式中，Br為永磁體的剩磁.通過(guò)引入?yún)^(qū)域和邊界條件式(3)～(5)，可以得到磁矢位方程(1)和(2)的解，進(jìn)而可以得到氣隙磁通密度分布Bg為

式中，Bx，By分別為x，y 方向的磁通密度.

1.2 初級(jí)鐵芯矩形開槽的氣隙磁場(chǎng)模型

在永磁直線電機(jī)初級(jí)鐵芯矩形開槽情況下，受齒槽效應(yīng)的影響，氣隙磁通密度的諧波分量會(huì)增加，從而影響到永磁直線電機(jī)運(yùn)行時(shí)的工作質(zhì)量.本文提出改進(jìn)的許-克變換解析計(jì)算方法，能夠分別考慮永磁體厚度和氣隙寬度對(duì)于氣隙磁場(chǎng)分布的影響，且可以通過(guò)解析計(jì)算得到較為準(zhǔn)確的氣隙磁場(chǎng)分布，為進(jìn)一步的永磁直線電機(jī)尺寸設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供參考依據(jù).

改進(jìn)的許-克變換解析計(jì)算方法的變換過(guò)程如圖3所示，分別考慮永磁直線電機(jī)的永磁體厚度和氣隙寬度因素，對(duì)傳統(tǒng)的許-克變換坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)整.圖3(a)的z 平面坐標(biāo)系統(tǒng)(x'，y)是在傳統(tǒng)的許-克變換坐標(biāo)系統(tǒng)(x，y)的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的.把圖3(a)的z 平面坐標(biāo)系統(tǒng)(x'，y)變換成圖3(b)的w 平面坐標(biāo)系統(tǒng)(u'，v)，那么，w 平面坐標(biāo)系統(tǒng)(u'，v)的點(diǎn)u2，u3，u4，u5分別與z 平面坐標(biāo)系統(tǒng)(x'，y)的點(diǎn)z2，z3，z4，z5一一對(duì)應(yīng)，由許-克變換理論［14-15］可得z 平面變換到w 平面的微商為

式中，k1=為任意大于1 的常數(shù).對(duì)式(11)進(jìn)行積分可得

圖3 改進(jìn)的許-克變換過(guò)程

為得到永磁直線電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布，還需對(duì)圖3(a)的z 平面進(jìn)行二次變換，如圖3(c)的t 平面所示，其縱坐標(biāo)φm=0 代表永磁體表面的磁位為零，橫坐標(biāo)代表磁通φm.t 平面的橫坐標(biāo)軸與w平面的橫坐標(biāo)u3u4對(duì)應(yīng)，φm=φm0/h 代表永磁直線電機(jī)初級(jí)鐵芯內(nèi)表面和槽壁的磁位.根據(jù)w 平面的u3= －1 和u4=1，將t 平面對(duì)w 平面求導(dǎo)，得

式中，k3=

綜上所述，永磁直線電機(jī)的氣隙磁通密度可以表示為

將式(11)和(14)代入式(15)，得

由式(16)可知，與傳統(tǒng)的許-克變換法［］相比，改進(jìn)的許-克變換法獲得的氣隙磁通密度BISC不僅考慮了永磁直線電機(jī)的合成氣隙寬度h=hm+g，還考慮了永磁直線電機(jī)的氣隙寬度g.根據(jù)改進(jìn)的許-克變換法.計(jì)算一個(gè)槽距內(nèi)的氣隙磁通密度分布過(guò)程是:①由式(16)計(jì)算出不同w 值(0 ～1)的BISC值;②由式(12)和(13)計(jì)算出不同w 值對(duì)應(yīng)的z 值(z=x);③繪制出矩形開槽永磁直線電機(jī)一個(gè)槽距內(nèi)的氣隙磁通密度分布(即x 與BISC的對(duì)應(yīng)關(guān)系).

1.3 氣隙相對(duì)磁導(dǎo)分布函數(shù)

若要更為準(zhǔn)確地解析計(jì)算一個(gè)槽距內(nèi)的氣隙磁通密度分布，還需考慮氣隙相對(duì)磁導(dǎo)分布函數(shù).根據(jù)式(16)和改進(jìn)的許-克變換過(guò)程，令w=u，那么在永磁直線電機(jī)的齒中心線上(u=1)，其氣隙磁通密度達(dá)到最大值，即

在永磁直線電機(jī)的槽中心線上(u=0)，其氣隙磁通密度達(dá)到最小值，即

根據(jù)式(17)和(18)，可得矩形開槽永磁直線電機(jī)的氣隙寬度大于等于初級(jí)鐵芯齒寬(g≥wt)，以及氣隙寬度小于初級(jí)鐵芯齒寬(g ＜wt)情況下的氣隙相對(duì)磁導(dǎo)分布函數(shù)［16］.

綜上所述，矩形開槽永磁直線電機(jī)的氣隙磁通密度B 為

1.4 氣隙相對(duì)磁導(dǎo)分布函數(shù)修正

通過(guò)有限元方法進(jìn)行驗(yàn)證表明，式(19)只能準(zhǔn)確地計(jì)算與永磁體對(duì)應(yīng)的氣隙磁通密度分布，而無(wú)法準(zhǔn)確地計(jì)算永磁體之間(τ －τp)的氣隙磁通密度分布，這主要是由于永磁體的邊端效應(yīng)所造成的.

因此，需要對(duì)永磁體之間(τ －τp)的氣隙相對(duì)磁導(dǎo)分布函數(shù)予以修正.在選取不同永磁直線電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)其有限元計(jì)算值和改進(jìn)許-克變換解析計(jì)算值的比較，得到二者在永磁體之間(τ－τp)的修正系數(shù)為

所以，引入修正系數(shù)后，矩形開槽永磁直線電機(jī)的氣隙磁通密度為

2 氣隙磁場(chǎng)解析計(jì)算與有限元驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的方法能準(zhǔn)確地計(jì)算矩形開槽永磁直線電機(jī)氣隙磁場(chǎng)分布，分別采用改進(jìn)的許-克變換方法、傳統(tǒng)的許-克變換方法和有限元計(jì)算方法，對(duì)一臺(tái)矩形開槽圓筒型永磁直線電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算.該臺(tái)樣機(jī)的極距為69 mm，槽寬為7 mm，齒寬為5 mm，永磁體長(zhǎng)度為50 mm，永磁體厚度為10 mm，永磁體材料為Nd-Fe-B，矯頑力Hc= －880 kA/m，剩磁Br=1.16 T.

2.1 氣隙寬度大于等于初級(jí)鐵芯齒寬

在矩形開槽永磁直線電機(jī)的氣隙寬度大于等于初級(jí)鐵芯齒寬的情況下，通過(guò)引入氣隙相對(duì)磁導(dǎo)分布函數(shù)(x，y)和永磁體之間(τ－τp)的修正系數(shù)k(x)，其氣隙磁通密度的解析計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果如圖4所示.通過(guò)圖4的有限元驗(yàn)證表明，與傳統(tǒng)的許-克變換方法相比，改進(jìn)的許-克變換方法能夠更加準(zhǔn)確地計(jì)算氣隙磁場(chǎng)的分布.

圖4 氣隙磁場(chǎng)分布

2.2 氣隙寬度小于初級(jí)鐵芯齒寬

在矩形開槽永磁直線電機(jī)的氣隙寬度小于初級(jí)鐵芯齒寬的情況下，采用改進(jìn)的許-克變換法、傳統(tǒng)的許-克變換法和有限元法對(duì)矩形開槽圓筒型永磁直線電機(jī)一個(gè)極距氣隙磁場(chǎng)分布進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖5所示.由圖可見，改進(jìn)的許-克變換法與有限元法的計(jì)算結(jié)果誤差較小.這表明本文提出的改進(jìn)許-克變換方法對(duì)于永磁直線電機(jī)的初步設(shè)計(jì)和優(yōu)化是有效可行的.

圖5 氣隙寬度小于初級(jí)鐵芯齒寬時(shí)的氣隙磁場(chǎng)分布(g=3 mm)

3 樣機(jī)試制

利用改進(jìn)的許-克變換解析計(jì)算方法獲得矩形開槽永磁直線電機(jī)氣隙磁場(chǎng)分布后，可以實(shí)現(xiàn)永磁直線電機(jī)結(jié)構(gòu)的初步優(yōu)化設(shè)計(jì).課題組在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，試制了一臺(tái)短次級(jí)矩形開槽圓筒型永磁直線發(fā)電機(jī)，其樣機(jī)如圖6(a)所示.該樣機(jī)的相數(shù)為3，永磁體厚度為6 mm，極距為45 mm，氣隙寬度為2 mm，齒寬為5 mm，槽寬為7 mm.

圖6(b)是通過(guò)改進(jìn)許-克變換解析計(jì)算方法和有限元方法獲得的一個(gè)極距氣隙磁場(chǎng)分布.其比較結(jié)果表明，一個(gè)極距的兩端氣隙磁場(chǎng)分布略有差異.這種差異的主要原因是由于較小的氣隙寬度(g=2 mm)增強(qiáng)了永磁體的端部效應(yīng)，從而導(dǎo)致初級(jí)鐵芯和次級(jí)鐵芯的磁通密度分布發(fā)生局部飽和.由此可知，隨著氣隙寬度的減小，磁通在永磁直線電機(jī)的徑向方向有效面積也隨之減小，初級(jí)鐵芯和次級(jí)鐵芯會(huì)出現(xiàn)局部飽和的情況.

樣機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)實(shí)驗(yàn)波形和有限元仿真計(jì)算波形如圖6(c)所示.通過(guò)二者的比較可知，有限元仿真計(jì)算的反電動(dòng)勢(shì)波形幾乎與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的反電動(dòng)勢(shì)波形保持一致，證實(shí)了本文提出的改進(jìn)許-克變換解析計(jì)算方法對(duì)于永磁直線電機(jī)的初步設(shè)計(jì)和性能分析是有效可行的.

4 結(jié)語(yǔ)

圖6 樣機(jī)的試制和實(shí)驗(yàn)

本文在傳統(tǒng)的許-克變換法基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的許-克變換解析計(jì)算方法.該解析計(jì)算方法不僅考慮了永磁直線電機(jī)的合成氣隙寬度，還考慮了永磁直線電機(jī)的實(shí)際氣隙寬度.此外，由于永磁體端部效應(yīng)的影響，本文還對(duì)永磁體之間的氣隙磁導(dǎo)分布函數(shù)作了修正.通過(guò)解析計(jì)算和有限元仿真，證實(shí)了該解析計(jì)算方法的可行性，從而為矩形開槽永磁直線電機(jī)的初步結(jié)構(gòu)優(yōu)化和設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù).

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