導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的常見(jiàn)誤區(qū)

夏春南

摘 要： 導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是解決函數(shù)問(wèn)題非常重要的一種方法.本文首先指出了學(xué)生在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中存在的一些常見(jiàn)誤區(qū)，然后結(jié)合案例分析了錯(cuò)因，最后總結(jié)出特殊情況代入檢驗(yàn)的方法，學(xué)生相對(duì)易操作.

關(guān)鍵詞： 導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)誤區(qū) 檢驗(yàn)

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是解決函數(shù)問(wèn)題的一種非常重要的方法.隨著新課程的不斷深入，導(dǎo)數(shù)已從解決問(wèn)題中的輔助地位上升到分析問(wèn)題和解決問(wèn)題必不可少的工具，特別是解決一些復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，有它獨(dú)到之處.學(xué)生在各級(jí)各類(lèi)考試中經(jīng)常遇到，但在理解上存在一些常見(jiàn)的誤區(qū).

誤區(qū)1：函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)導(dǎo)數(shù)值一定是f′（x）≥0嗎？

題1：若函數(shù)f（x）=3x +ax在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

導(dǎo)數(shù)求解方法：求導(dǎo)得f′（x）=6x+a，等價(jià)于6x+a≥0在（1，+∞）上恒成立，變量分離得a≥-6x，故a≥-6.利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，為避免學(xué)生漏掉等號(hào)取得的情況，如本題中經(jīng)常會(huì)漏掉f′（x）=0的情況，因此教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)的是含參問(wèn)題時(shí)導(dǎo)數(shù)值應(yīng)滿(mǎn)足f′（x）≥0.但學(xué)生課后問(wèn)了我這樣一道題，讓我感覺(jué)意外和驚訝.

題2：函數(shù)y= 在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

學(xué)生解法1：求導(dǎo)得y′= = ，由y′≥0得a≥ ，標(biāo)準(zhǔn)答案是a> ，錯(cuò)在哪里呢？導(dǎo)數(shù)方法中含參問(wèn)題單調(diào)遞增要求f′（x）≥0，有問(wèn)題嗎？為了找尋正確答案，而后我和學(xué)生一起分別從圖像變換角度和單調(diào)性定義兩個(gè)方面分析計(jì)算得a> .

解法2：分離系數(shù)得y= = =a+ 在（-2，+∞）上單調(diào)遞增，由反比例函數(shù)圖像變換得1-2a<0，故a> .

解法3：（定義法）設(shè)x ，x 為（-2，+∞）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x

f（x ）-f（x ）= - = =

由f（x）在（-2，+∞）上為增函數(shù)，故f（x ）-f（x ）<0，1-2a<0，故a> .

【分析】通過(guò)檢驗(yàn)我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a= 時(shí)，y= = 是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，不滿(mǎn)足嚴(yán)格單調(diào)遞增，但f′（x）=0恒成立，也就滿(mǎn)足f′（x）≥0成立，為此查閱了大學(xué)中數(shù)學(xué)分析的課本.

定理1：若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則f（x）在（a，b）內(nèi)遞增（遞減）的充要條件為f′（x）≥0

f′（x）≤0，x∈（a，b）.

定理2：若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則f（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格遞增（遞減）的充要條件為

（1）對(duì)一切x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）；

（2）在（a，b）內(nèi)的任何子區(qū)間上f′（x）不恒等于0.

定理1中的遞增包括了嚴(yán)格單調(diào)遞增和常數(shù)函數(shù)兩種，運(yùn)用定理2的充要條件時(shí)我們常常忽略了第（2）點(diǎn)常數(shù)函數(shù)的情形.

誤區(qū)2：導(dǎo)數(shù)為0一定極值點(diǎn)嗎？

熟知的反例有y=x ，在x=0處導(dǎo)數(shù)值為0，但這點(diǎn)不是極值點(diǎn)，y′=3x ≥0恒成立，但很多學(xué)生遇到具體題目時(shí)卻經(jīng)常會(huì)忽視考慮這種情況.

題目3：若關(guān)于的函數(shù)f（X）=- x +bx +cx+bc，若函數(shù)f（x）在x=1處有極值- ，求b，c.

學(xué)生解法：求導(dǎo)得f′（x）=-x +2bx+c，由f′（1）=0f（1）=- 得c=-1b=1或c=3b=-1.

【分析】學(xué)生往往解到這里就完了，但是事實(shí)上，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)c=-1，b=1時(shí)，f′（x）=-x +2x-1=-（x-1） ≤0恒成立，函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，因此沒(méi)有極值點(diǎn)，故導(dǎo)數(shù)為0不一定是極值點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為0是為該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件.

誤區(qū)3：函數(shù)不單調(diào)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)方程有解嗎？

題目4：已知函數(shù)f（x）=x -3kx在x∈[-1，1]上不單調(diào)，求k的取值范圍.

學(xué)生解法：求導(dǎo)得f′（x）=3x -3k，函數(shù)在[-1，1]上不單調(diào)，即在[-1，1]上有極值點(diǎn)，則方程3x -3k=0在x∈[-1，1]上有解，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)k=x ，x∈[-1，1]的值域，則k∈[0，1].

【分析】這是很多學(xué)生的解法，但事實(shí)上檢驗(yàn)可知：當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=x 在x∈[-1，1]為單調(diào)遞增函數(shù)，故k≠0；當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=x -3x在x∈[-1，1]為單調(diào)遞減函數(shù)，故k≠1，故k∈（0，1）.

函數(shù)在[-1，1]上有極值點(diǎn)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)方程有解嗎？極值點(diǎn)還需滿(mǎn)足附近導(dǎo)數(shù)符號(hào)為異號(hào).

導(dǎo)數(shù)是大學(xué)微積分的重要內(nèi)容，雖然高中教材中引入了導(dǎo)數(shù)，但很多時(shí)候教師只能照本宣科，或拿結(jié)論做題，就題論題，這從一定程度上客觀造成了學(xué)生理解上的缺失.因此，一方面，教師要對(duì)教材心領(lǐng)神會(huì)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的來(lái)龍去脈清清楚楚，要知其所以然.另一方面，在解題過(guò)程中要教給學(xué)生檢驗(yàn)的方法，特殊值可以特殊對(duì)待，滿(mǎn)不滿(mǎn)足代入試試看，這樣的方法簡(jiǎn)單易操作.

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