分類討論的“源”與“流”

王芳

分類討論是中學(xué)階段的重要數(shù)學(xué)思想，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中有著重要的作用. 什么時(shí)候

探訪分類討論之“源”

先來看下面三個(gè)問題.

①若一個(gè)實(shí)數(shù)的3倍是4，試求這個(gè)實(shí)數(shù)，只需解關(guān)于x的方程3x=4.

②若一個(gè)實(shí)數(shù)的倍是，試求這個(gè)實(shí)數(shù)，只需解關(guān)于x的方程x=.

③若一個(gè)實(shí)數(shù)的倍是6，試求這個(gè)實(shí)數(shù)，只需解關(guān)于x的方程x=6.

以上問題求解十分簡(jiǎn)單，除未知數(shù)x外，其余涉及的都是具體數(shù)字. 如果用字母a，b來表示，將問題一般化，則有：

例 1 若一個(gè)實(shí)數(shù)的a倍是b，試求出這個(gè)實(shí)數(shù)，其中a∈R且b∈R.

同樣地，解方程ax=b即可得解.

但是，a，b擁有了更大的取值空間，也遇到了一個(gè)意外——a可以為0. 在a=0的情況下，x=不成立. 此時(shí)“ax=b”變成了“0×x=b”，方程是否無解呢？不一定，這還取決于b的值.當(dāng)b=0時(shí)，x取任意實(shí)數(shù)均滿足方程；當(dāng)b≠0時(shí)，無論x取哪個(gè)實(shí)數(shù)均不滿足方程.因此，我們必須對(duì)例1中的a，b進(jìn)行分類討論.

解析： 當(dāng)a≠0時(shí)，x=.

當(dāng)a=0時(shí)，①若b=0，則x為任意實(shí)數(shù)；②若b≠0，則方程無解.

由此看來，分類討論是數(shù)學(xué)問題一般化之后的結(jié)果，這也就是我們探訪的分類討論之“源”.

分類討論的另一個(gè)“源”，是某些數(shù)學(xué)概念中本身包含了分類. 例如要去掉x中的絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)對(duì)x進(jìn)行分類討論：x=x，x>0；0，x=0；-x，x<0.

例2 解不等式2x-4<3x+1.

解析： ①當(dāng)2x-4>0即x>2時(shí)，原不等式可化為2x-4<3x+1，解得x>-5，可得x>2；

②當(dāng)2x-4=0即x=2時(shí)，原不等式可化為0<7，可得x=2；

③當(dāng)2x-4<0即x<2時(shí)，原不等式可化為4-2x<3x+1，解得x>，可得

綜上可得原不等式的解集為，+∞.

追尋分類討論之“流”

不知你是否注意到：例2在得到x的三個(gè)取值范圍后，最終取了它們的“并集”，例1卻沒有. 這就涉及分類討論之“流”，即分類討論的流程不同，所獲得的各個(gè)階段性結(jié)果的最終處理方式也不同，有時(shí)取“并集”，有時(shí)則不然.其間是否存在著某個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)呢？

我們不妨用“程序框圖”來尋找答案（見圖1、圖2）.

例1、例2的解答過程都運(yùn)用了分類討論，但存在顯著差異：

（1） 例1中除了未知數(shù)x外，還含有參數(shù)a，b.例2中只含有未知數(shù)x.

（2） 例1的答案有多個(gè)輸出端口，而例2只有一個(gè). 如果我們對(duì)例1的三個(gè)輸出端口求“并集”，會(huì)得到{x|x∈R}是ax=b的解，這顯然是錯(cuò)誤的.

由此我們可以發(fā)現(xiàn)分類討論最終結(jié)果的處理準(zhǔn)則： 求x，對(duì)x進(jìn)行討論，必須取“并集”；求x，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，不能取“并集”.如果把它表述成更一般的判斷標(biāo)準(zhǔn)，則有：

類型Ⅰ——求甲，對(duì)甲進(jìn)行分類討論，最終結(jié)果必須取“并集”；

類型Ⅱ——求甲，對(duì)乙進(jìn)行分類討論，最終結(jié)果不能取“并集”.

解題中的運(yùn)用

例3 已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f（x）≥3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析： 由已知得f′（x）=.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減. f（x）min=f（e）=ae-1<0，不滿足要求. 因此a>0，此時(shí)由f′（x）==0可求得x=.

①若，當(dāng)x∈0，時(shí)，ax-1≤0， f′（x）≤0；當(dāng)x∈，e時(shí)，f′（x）>0，所以函數(shù)f（x）在0，上單調(diào)遞減，在，e上單調(diào)遞增，f（x）min= f=1+lna.根據(jù)題意應(yīng)有a>，1+lna≥3；即a>，a≥e2；解得a≥e2.

②若≥e即0

綜上可得a的取值范圍是[e2，+∞）.

點(diǎn)評(píng)： 求a的范圍，對(duì)a進(jìn)行討論，屬于類型Ⅰ，最后結(jié)論應(yīng)將各個(gè)分類討論的結(jié)果取“并集”.

例4 已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b.求證：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2a-b+a.

解析： f′（x）=12ax2-2b.因?yàn)閍>0，所以當(dāng)b≤0時(shí)，必有f′（x）≥0，則函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，f（x）max=f（1）=3a-b.

當(dāng)b>0時(shí)，因?yàn)閤≥0，由f′（x）=0可得x=.因?yàn)?≤x≤1，所以必須再對(duì)與1的大小進(jìn)行討論.

①若<1即00，所以函數(shù)f（x）在0，上單調(diào)遞減，在，1上單調(diào)遞增，f（x）max=max{f（0）， f（1）}.而f（0）=-a+b，f（1）=3a-b，所以：

當(dāng)f（1）≥f（0）即0

當(dāng)f（1）

②若≥1即b≥6a，因?yàn)閤∈[0，1]，所以12ax2-2b≤0，f′（x）≤0恒成立，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）max=f（0）=-a+b.

為了清楚地梳理討論過程中得到的各個(gè)結(jié)論，可以借用數(shù)軸.如圖3所示，在數(shù)軸的上方相應(yīng)地標(biāo)上f（x）的最大值：當(dāng)b≤2a時(shí)f（x）max=3a-b；當(dāng)b>2a時(shí)f（x）max=-a+b.因此得到f（x）max=2a-b+a.

點(diǎn)評(píng)： 例4與例1的相同之處在于，除了x外，還含有兩個(gè)參數(shù)a，b. 分類討論時(shí)如果有多個(gè)參數(shù)，可以分別對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行討論.例1就是先對(duì)a進(jìn)行討論，再對(duì)b進(jìn)行討論.如果例4在已知條件中沒有給出a>0，也要分別對(duì)a，b進(jìn)行討論.

作為高中階段常用的思想方法，分類討論提供了解決問題的一種智慧——分而攻之、逐個(gè)突破.它體現(xiàn)了人類尋求事物普遍規(guī)律的探索精神，給予我們極大的啟迪.

分類討論源抽象，

類型ⅠⅡ釋疑難；

過程表述有模型，

條分縷析更周詳.

【練一練】

已知a>0且a≠1，解關(guān)于x的不等式loga（20-2x）>loga（x2-4）.

【參考答案】

此題屬于類型Ⅱ.

①當(dāng)00，x2-4>0，20-2x

②當(dāng)a>1時(shí)，原不等式可化為20-2x>0，x2-4>0，20-2x>x2-4.解得-6

綜上可得，當(dāng)01時(shí)，不等式的解集為（-6，-2）∪（2，4）.

分類討論是中學(xué)階段的重要數(shù)學(xué)思想，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中有著重要的作用. 什么時(shí)候

探訪分類討論之“源”

先來看下面三個(gè)問題.

①若一個(gè)實(shí)數(shù)的3倍是4，試求這個(gè)實(shí)數(shù)，只需解關(guān)于x的方程3x=4.

②若一個(gè)實(shí)數(shù)的倍是，試求這個(gè)實(shí)數(shù)，只需解關(guān)于x的方程x=.

③若一個(gè)實(shí)數(shù)的倍是6，試求這個(gè)實(shí)數(shù)，只需解關(guān)于x的方程x=6.

以上問題求解十分簡(jiǎn)單，除未知數(shù)x外，其余涉及的都是具體數(shù)字. 如果用字母a，b來表示，將問題一般化，則有：

例 1 若一個(gè)實(shí)數(shù)的a倍是b，試求出這個(gè)實(shí)數(shù)，其中a∈R且b∈R.

同樣地，解方程ax=b即可得解.

但是，a，b擁有了更大的取值空間，也遇到了一個(gè)意外——a可以為0. 在a=0的情況下，x=不成立. 此時(shí)“ax=b”變成了“0×x=b”，方程是否無解呢？不一定，這還取決于b的值.當(dāng)b=0時(shí)，x取任意實(shí)數(shù)均滿足方程；當(dāng)b≠0時(shí)，無論x取哪個(gè)實(shí)數(shù)均不滿足方程.因此，我們必須對(duì)例1中的a，b進(jìn)行分類討論.

解析： 當(dāng)a≠0時(shí)，x=.

當(dāng)a=0時(shí)，①若b=0，則x為任意實(shí)數(shù)；②若b≠0，則方程無解.

由此看來，分類討論是數(shù)學(xué)問題一般化之后的結(jié)果，這也就是我們探訪的分類討論之“源”.

分類討論的另一個(gè)“源”，是某些數(shù)學(xué)概念中本身包含了分類. 例如要去掉x中的絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)對(duì)x進(jìn)行分類討論：x=x，x>0；0，x=0；-x，x<0.

例2 解不等式2x-4<3x+1.

解析： ①當(dāng)2x-4>0即x>2時(shí)，原不等式可化為2x-4<3x+1，解得x>-5，可得x>2；

②當(dāng)2x-4=0即x=2時(shí)，原不等式可化為0<7，可得x=2；

③當(dāng)2x-4<0即x<2時(shí)，原不等式可化為4-2x<3x+1，解得x>，可得

綜上可得原不等式的解集為，+∞.

追尋分類討論之“流”

不知你是否注意到：例2在得到x的三個(gè)取值范圍后，最終取了它們的“并集”，例1卻沒有. 這就涉及分類討論之“流”，即分類討論的流程不同，所獲得的各個(gè)階段性結(jié)果的最終處理方式也不同，有時(shí)取“并集”，有時(shí)則不然.其間是否存在著某個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)呢？

我們不妨用“程序框圖”來尋找答案（見圖1、圖2）.

例1、例2的解答過程都運(yùn)用了分類討論，但存在顯著差異：

（1） 例1中除了未知數(shù)x外，還含有參數(shù)a，b.例2中只含有未知數(shù)x.

（2） 例1的答案有多個(gè)輸出端口，而例2只有一個(gè). 如果我們對(duì)例1的三個(gè)輸出端口求“并集”，會(huì)得到{x|x∈R}是ax=b的解，這顯然是錯(cuò)誤的.

由此我們可以發(fā)現(xiàn)分類討論最終結(jié)果的處理準(zhǔn)則： 求x，對(duì)x進(jìn)行討論，必須取“并集”；求x，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，不能取“并集”.如果把它表述成更一般的判斷標(biāo)準(zhǔn)，則有：

類型Ⅰ——求甲，對(duì)甲進(jìn)行分類討論，最終結(jié)果必須取“并集”；

類型Ⅱ——求甲，對(duì)乙進(jìn)行分類討論，最終結(jié)果不能取“并集”.

解題中的運(yùn)用

例3 已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f（x）≥3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析： 由已知得f′（x）=.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減. f（x）min=f（e）=ae-1<0，不滿足要求. 因此a>0，此時(shí)由f′（x）==0可求得x=.

①若，當(dāng)x∈0，時(shí)，ax-1≤0， f′（x）≤0；當(dāng)x∈，e時(shí)，f′（x）>0，所以函數(shù)f（x）在0，上單調(diào)遞減，在，e上單調(diào)遞增，f（x）min= f=1+lna.根據(jù)題意應(yīng)有a>，1+lna≥3；即a>，a≥e2；解得a≥e2.

②若≥e即0

綜上可得a的取值范圍是[e2，+∞）.

點(diǎn)評(píng)： 求a的范圍，對(duì)a進(jìn)行討論，屬于類型Ⅰ，最后結(jié)論應(yīng)將各個(gè)分類討論的結(jié)果取“并集”.

例4 已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b.求證：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2a-b+a.

解析： f′（x）=12ax2-2b.因?yàn)閍>0，所以當(dāng)b≤0時(shí)，必有f′（x）≥0，則函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，f（x）max=f（1）=3a-b.

當(dāng)b>0時(shí)，因?yàn)閤≥0，由f′（x）=0可得x=.因?yàn)?≤x≤1，所以必須再對(duì)與1的大小進(jìn)行討論.

①若<1即00，所以函數(shù)f（x）在0，上單調(diào)遞減，在，1上單調(diào)遞增，f（x）max=max{f（0）， f（1）}.而f（0）=-a+b，f（1）=3a-b，所以：

當(dāng)f（1）≥f（0）即0

當(dāng)f（1）

②若≥1即b≥6a，因?yàn)閤∈[0，1]，所以12ax2-2b≤0，f′（x）≤0恒成立，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）max=f（0）=-a+b.

為了清楚地梳理討論過程中得到的各個(gè)結(jié)論，可以借用數(shù)軸.如圖3所示，在數(shù)軸的上方相應(yīng)地標(biāo)上f（x）的最大值：當(dāng)b≤2a時(shí)f（x）max=3a-b；當(dāng)b>2a時(shí)f（x）max=-a+b.因此得到f（x）max=2a-b+a.

點(diǎn)評(píng)： 例4與例1的相同之處在于，除了x外，還含有兩個(gè)參數(shù)a，b. 分類討論時(shí)如果有多個(gè)參數(shù)，可以分別對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行討論.例1就是先對(duì)a進(jìn)行討論，再對(duì)b進(jìn)行討論.如果例4在已知條件中沒有給出a>0，也要分別對(duì)a，b進(jìn)行討論.

作為高中階段常用的思想方法，分類討論提供了解決問題的一種智慧——分而攻之、逐個(gè)突破.它體現(xiàn)了人類尋求事物普遍規(guī)律的探索精神，給予我們極大的啟迪.

分類討論源抽象，

類型ⅠⅡ釋疑難；

過程表述有模型，

條分縷析更周詳.

【練一練】

已知a>0且a≠1，解關(guān)于x的不等式loga（20-2x）>loga（x2-4）.

【參考答案】

此題屬于類型Ⅱ.

①當(dāng)00，x2-4>0，20-2x

②當(dāng)a>1時(shí)，原不等式可化為20-2x>0，x2-4>0，20-2x>x2-4.解得-6

綜上可得，當(dāng)01時(shí)，不等式的解集為（-6，-2）∪（2，4）.

分類討論是中學(xué)階段的重要數(shù)學(xué)思想，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中有著重要的作用. 什么時(shí)候

探訪分類討論之“源”

先來看下面三個(gè)問題.

①若一個(gè)實(shí)數(shù)的3倍是4，試求這個(gè)實(shí)數(shù)，只需解關(guān)于x的方程3x=4.

②若一個(gè)實(shí)數(shù)的倍是，試求這個(gè)實(shí)數(shù)，只需解關(guān)于x的方程x=.

③若一個(gè)實(shí)數(shù)的倍是6，試求這個(gè)實(shí)數(shù)，只需解關(guān)于x的方程x=6.

以上問題求解十分簡(jiǎn)單，除未知數(shù)x外，其余涉及的都是具體數(shù)字. 如果用字母a，b來表示，將問題一般化，則有：

例 1 若一個(gè)實(shí)數(shù)的a倍是b，試求出這個(gè)實(shí)數(shù)，其中a∈R且b∈R.

同樣地，解方程ax=b即可得解.

但是，a，b擁有了更大的取值空間，也遇到了一個(gè)意外——a可以為0. 在a=0的情況下，x=不成立. 此時(shí)“ax=b”變成了“0×x=b”，方程是否無解呢？不一定，這還取決于b的值.當(dāng)b=0時(shí)，x取任意實(shí)數(shù)均滿足方程；當(dāng)b≠0時(shí)，無論x取哪個(gè)實(shí)數(shù)均不滿足方程.因此，我們必須對(duì)例1中的a，b進(jìn)行分類討論.

解析： 當(dāng)a≠0時(shí)，x=.

當(dāng)a=0時(shí)，①若b=0，則x為任意實(shí)數(shù)；②若b≠0，則方程無解.

由此看來，分類討論是數(shù)學(xué)問題一般化之后的結(jié)果，這也就是我們探訪的分類討論之“源”.

分類討論的另一個(gè)“源”，是某些數(shù)學(xué)概念中本身包含了分類. 例如要去掉x中的絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)對(duì)x進(jìn)行分類討論：x=x，x>0；0，x=0；-x，x<0.

例2 解不等式2x-4<3x+1.

解析： ①當(dāng)2x-4>0即x>2時(shí)，原不等式可化為2x-4<3x+1，解得x>-5，可得x>2；

②當(dāng)2x-4=0即x=2時(shí)，原不等式可化為0<7，可得x=2；

③當(dāng)2x-4<0即x<2時(shí)，原不等式可化為4-2x<3x+1，解得x>，可得

綜上可得原不等式的解集為，+∞.

追尋分類討論之“流”

不知你是否注意到：例2在得到x的三個(gè)取值范圍后，最終取了它們的“并集”，例1卻沒有. 這就涉及分類討論之“流”，即分類討論的流程不同，所獲得的各個(gè)階段性結(jié)果的最終處理方式也不同，有時(shí)取“并集”，有時(shí)則不然.其間是否存在著某個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)呢？

我們不妨用“程序框圖”來尋找答案（見圖1、圖2）.

例1、例2的解答過程都運(yùn)用了分類討論，但存在顯著差異：

（1） 例1中除了未知數(shù)x外，還含有參數(shù)a，b.例2中只含有未知數(shù)x.

（2） 例1的答案有多個(gè)輸出端口，而例2只有一個(gè). 如果我們對(duì)例1的三個(gè)輸出端口求“并集”，會(huì)得到{x|x∈R}是ax=b的解，這顯然是錯(cuò)誤的.

由此我們可以發(fā)現(xiàn)分類討論最終結(jié)果的處理準(zhǔn)則： 求x，對(duì)x進(jìn)行討論，必須取“并集”；求x，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，不能取“并集”.如果把它表述成更一般的判斷標(biāo)準(zhǔn)，則有：

類型Ⅰ——求甲，對(duì)甲進(jìn)行分類討論，最終結(jié)果必須取“并集”；

類型Ⅱ——求甲，對(duì)乙進(jìn)行分類討論，最終結(jié)果不能取“并集”.

解題中的運(yùn)用

例3 已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f（x）≥3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析： 由已知得f′（x）=.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減. f（x）min=f（e）=ae-1<0，不滿足要求. 因此a>0，此時(shí)由f′（x）==0可求得x=.

①若，當(dāng)x∈0，時(shí)，ax-1≤0， f′（x）≤0；當(dāng)x∈，e時(shí)，f′（x）>0，所以函數(shù)f（x）在0，上單調(diào)遞減，在，e上單調(diào)遞增，f（x）min= f=1+lna.根據(jù)題意應(yīng)有a>，1+lna≥3；即a>，a≥e2；解得a≥e2.

②若≥e即0

綜上可得a的取值范圍是[e2，+∞）.

點(diǎn)評(píng)： 求a的范圍，對(duì)a進(jìn)行討論，屬于類型Ⅰ，最后結(jié)論應(yīng)將各個(gè)分類討論的結(jié)果取“并集”.

例4 已知a>0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b.求證：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2a-b+a.

解析： f′（x）=12ax2-2b.因?yàn)閍>0，所以當(dāng)b≤0時(shí)，必有f′（x）≥0，則函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，f（x）max=f（1）=3a-b.

當(dāng)b>0時(shí)，因?yàn)閤≥0，由f′（x）=0可得x=.因?yàn)?≤x≤1，所以必須再對(duì)與1的大小進(jìn)行討論.

①若<1即00，所以函數(shù)f（x）在0，上單調(diào)遞減，在，1上單調(diào)遞增，f（x）max=max{f（0）， f（1）}.而f（0）=-a+b，f（1）=3a-b，所以：

當(dāng)f（1）≥f（0）即0

當(dāng)f（1）

②若≥1即b≥6a，因?yàn)閤∈[0，1]，所以12ax2-2b≤0，f′（x）≤0恒成立，函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）max=f（0）=-a+b.

為了清楚地梳理討論過程中得到的各個(gè)結(jié)論，可以借用數(shù)軸.如圖3所示，在數(shù)軸的上方相應(yīng)地標(biāo)上f（x）的最大值：當(dāng)b≤2a時(shí)f（x）max=3a-b；當(dāng)b>2a時(shí)f（x）max=-a+b.因此得到f（x）max=2a-b+a.

點(diǎn)評(píng)： 例4與例1的相同之處在于，除了x外，還含有兩個(gè)參數(shù)a，b. 分類討論時(shí)如果有多個(gè)參數(shù)，可以分別對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行討論.例1就是先對(duì)a進(jìn)行討論，再對(duì)b進(jìn)行討論.如果例4在已知條件中沒有給出a>0，也要分別對(duì)a，b進(jìn)行討論.

作為高中階段常用的思想方法，分類討論提供了解決問題的一種智慧——分而攻之、逐個(gè)突破.它體現(xiàn)了人類尋求事物普遍規(guī)律的探索精神，給予我們極大的啟迪.

分類討論源抽象，

類型ⅠⅡ釋疑難；

過程表述有模型，

條分縷析更周詳.

【練一練】

已知a>0且a≠1，解關(guān)于x的不等式loga（20-2x）>loga（x2-4）.

【參考答案】

此題屬于類型Ⅱ.

①當(dāng)00，x2-4>0，20-2x

②當(dāng)a>1時(shí)，原不等式可化為20-2x>0，x2-4>0，20-2x>x2-4.解得-6

綜上可得，當(dāng)01時(shí)，不等式的解集為（-6，-2）∪（2，4）.