高考概率與統(tǒng)計命題展望

王佩其

概率與統(tǒng)計作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，也是高中數(shù)學中占有課時最多的一個知識板塊，已成為近幾年新課標高考的一大亮點和熱點.它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性，而在知識的交匯處設(shè)計試題是高考命題的指導思想之一.該部分的命題點多，命題背景廣闊，命題具有很大的靈活性，但基本的態(tài)勢還是相對固定的，即統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結(jié)合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計算對應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題.高考試題中的概率與統(tǒng)計解答題往往具有一定的綜合性.那么，2014年高考概率與統(tǒng)計考什么？

一、考查樣本特征數(shù)的計數(shù)方法和概率的計算方法

預(yù)測題1. 汽車是碳排放量比較大的行業(yè)之一.歐盟規(guī)定，從2012年開始，將對CO2排放量超過130 g/km的MI型新車進行懲罰（視為排放量超標）.某檢測單位對甲、乙兩類MI型品牌車各抽取5輛進行CO2排放量檢測，記錄如下（單位：g/km）：

經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙品牌車CO2排放量的平均值為x乙=120 g/km.

（1）從被檢測的5輛甲類品牌車中任取2輛，則至少有一輛CO2排放量超標的概率是多少？

（2）若90

命題意圖：概率與統(tǒng)計內(nèi)容豐富，但高考要求不高.本題將統(tǒng)計與概率“無縫對接”.命制本題，旨在考查考生的綜合能力和對統(tǒng)計與概率知識的實際應(yīng)用能力.

解題思路：

（1）從被檢測的5輛甲類品牌車中任取2輛，其CO2排放量共有10種不同的結(jié)果：80，110；80，120；80，140；80，150；110，120；110，140；110，150；120，140；120，150；140，150.

設(shè)“至少有一輛CO2排放量超標”為事件A，則事件A包含以下7種不同的結(jié)果：80，140；80，150；110，140；110，150；120，140；120，150；140，150.

∴所求事件的概率P（A）==0.7.

（2）由題可知，x甲=x乙=120，x+y=220.

5s2甲=（80-120）2+（110-120）2+（120-120）2+（140-120）2+（150-120）2=3 000，

5s2乙=（100-120）2+（120-120）2+（x-120）2+（y-120）2+（160-120）2=2 000+（x-120）2+（y-120）2.

∵x+y=220，∴5s2乙=2 000+（x-120）2+（x-100）2.

令x-120=t，∵90

∴5s2乙=2 000+t2+（t+20）2，

∴5s2乙-5s2甲=2t2+40t-600=2（t+30）（t-10）<0，

∴s2乙

試題評價：本題雖然比較常規(guī)，但緊扣環(huán)保，寓意深刻，體現(xiàn)了數(shù)學與生活的關(guān)系，符合新課標理念.

二、考查莖葉圖的意義和獨立性檢驗思想的理解

預(yù)測題2. 某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調(diào)查，并用莖葉圖1表示30人的飲食指數(shù).（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主.）

（1）根據(jù)莖葉圖，幫助這位學生說明其親屬30人的飲食習慣；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2的列聯(lián)表：

（3）在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，你能否認為其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)，并寫出簡要分析.

附：K2=.

命題意圖：將新課標兩個新增內(nèi)容莖葉圖和獨立性檢驗命制在同一題中，以達到“一題兩考”的目的，同時也考查了考生的綜合應(yīng)用能力.

解題思路：

（1）由莖葉圖確定甲、乙兩類中飲食類型的人數(shù)，從而作出判定：由莖葉圖知，50歲以下的12人中飲食指數(shù)低于70的有4人，飲食指數(shù)高于70的有8人.50歲以上的18人中，飲食指數(shù)低于70的有16人，高于70的只有2人.在30位親屬中，50歲以上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的人多以食肉為主.

（2）運用獨立性檢驗進行分析.

2×2的列聯(lián)表如下：

（3）因為K2===10>6.635，

又P（K2≥6.635）=0.010.

∴在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為親屬的飲食習慣與年齡有關(guān).

試題評價：本題將莖葉圖與獨立性檢驗交匯，背景新穎，求解的關(guān)鍵是理解莖葉圖提供數(shù)據(jù)特征.本題求解中常見的錯誤：（1）不理解莖葉圖反映的數(shù)據(jù)信息；（2）對獨立性檢驗思想理解不深刻，作出錯誤判定.本題難度雖然不大，卻值得大家一練.

三、考查對莖葉圖和頻率直方圖的認識與應(yīng)用，求隨機事件概率的一般方法

預(yù)測題3. 某校高三某班的一次數(shù)學測驗成績（滿分為100分）的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如圖2所示，據(jù)此解答如下問題：

（1）求分數(shù)在[50，60）的頻率及全班人數(shù)；

（2）求分數(shù)在[80，90）之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高；

（3）若要從分數(shù)在[80，100]之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分數(shù)在[90，100]之間的概率.

命題意圖：通過設(shè)置“損壞的”統(tǒng)計圖表，靈活考查考生對莖葉圖和頻率直方圖的認識.

解題思路：

（1）分數(shù)在[50，60）的頻率為0.008×10=0.08，

由莖葉圖知：分數(shù)在[50，60）之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為=25.

（2）分數(shù)在[80，90）之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4；

頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高為÷10=0.016.

（3）將[80，90）之間的4個分數(shù)編號為1，2，3，4，[90，100]之間的2個分數(shù)編號為5，6，在[80，100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15個.

其中，至少有一份在[90，100]之間的基本事件有9個.

故至少有一份分數(shù)在[90，100]之間的概率是=0.6.

試題評價：本題“一題兩圖”，難度雖然不大，綜合性卻很強，體現(xiàn)了當下高考對統(tǒng)計與概率的要求，值得細細品味.

四、考查總體特征值的估計、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望

預(yù)測題4.（理科）中華人民共和國《道路交通安全法》中將飲酒后違法駕駛機動車的行為分成兩個檔次：“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測標準是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量Q（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當20≤Q≤80時，為酒后駕車；當Q>80時，為醉酒駕車.某市公安局交通管理部門于2014年2月的某天晚上8點至11點在市區(qū)設(shè)點進行一次攔查行動，共依法查出了60名飲酒后違法駕駛機動車者，如圖為這60名駕駛員抽血檢測后所得結(jié)果畫出的頻率分布直方圖（其中Q≥140的人數(shù)計入120≤Q<140人數(shù)之內(nèi)）.

（1）求此次攔查中醉酒駕車的人數(shù)；

（2）從違法駕車的60人中按酒后駕車和醉酒駕車利用分層抽樣抽取8人做樣本進行研究，再從抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒駕車人數(shù)的分布列和期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機變量“融為一體”，著力考查考生的實際應(yīng)用能力和分析問題解決問題的能力.

解題思路：

（1）（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次攔查中醉酒駕車的人數(shù)為15人

（2）易知利用分層抽樣抽取8人中含有醉酒駕車者為2人；所以x的所有可能取值為0，1，2；

P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==.

X的分布列為：

E（X）=0×+1×+2×=.

命題評價：本題以當今社會的熱點問題“酒后駕車”和“醉酒駕車”為切入口，雖然難度不大，卻富有深刻的社會意義，值得一練.

五、綜合考查對莖葉圖的理解和應(yīng)用，隨機概率的計算和離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望

預(yù)測題5.（理科）空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5 （單位：g/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：

甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進行監(jiān)測，獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：

（Ⅰ）根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識估計甲、乙兩城市15天內(nèi)哪個城市空氣質(zhì)量總體較好？（注：不需說明理由）

（Ⅱ）在15天內(nèi)任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率；

（Ⅲ）在乙城市15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，X的分布列及數(shù)學期望.

命題意圖：將多個考點交匯在一題中，以達到“一題多考”與“綜合考查”的目的.

解題思路：

（Ⅰ）依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布，估計甲城市空氣質(zhì)量總體較好.

（Ⅱ）甲城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的共有10天，任取1天，空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的概率為=；乙城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的共有5天，任取1天，空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的概率為=；在15天內(nèi)任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率為×=.

（Ⅲ）X的取值為0，1 ，2，P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=0）==.X分布列為：

數(shù)學期望EX=0×+1×+2×=.

試題評價：本題關(guān)注社會熱點，突出試題的社會價值，同時將概率與統(tǒng)計多個知識點綜合，突出數(shù)學的應(yīng)用價值，是一道內(nèi)涵豐富的好試題.

六、借助頻率分布直方圖，綜合考查樣本估計總體的應(yīng)用，以及隨機概率的計算和離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望

預(yù)測題6.（理科）在某大學自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級. 某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人.

（I）求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；

（II）若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分；

（ii）若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 從這10人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機變量“融為一體”，著力考查考生的實際應(yīng)用能力和分析問題解決問題的能力.

解題思路：

（I）因為“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人，所以該考場有10÷0.25=40人.

所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)為：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（II） 求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為：

.

=2.9.

（Ⅲ）設(shè)兩人成績之和為，則的值可以為16，17，18，19，20 ，

P（=16）== ，P（=17）==，P（=18）=+=，P（=19）==，P（=20）==.

所以E的分布列為：

所以E=16×+17×+18×+19×+20×=，

所以的數(shù)學期望為.

試題評價：本題背景新穎，將自主招生與概率統(tǒng)計結(jié)合在一起，體現(xiàn)試題的時代性與概率統(tǒng)計知識的實用性，本題難度中等，無論從試題的思想性，還是難易程度，都符合新課標高考的要求.

（作者單位：江蘇省太倉高級中學）

責任編校 徐國堅endprint

解題思路：

（1）分數(shù)在[50，60）的頻率為0.008×10=0.08，

由莖葉圖知：分數(shù)在[50，60）之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為=25.

（2）分數(shù)在[80，90）之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4；

頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高為÷10=0.016.

（3）將[80，90）之間的4個分數(shù)編號為1，2，3，4，[90，100]之間的2個分數(shù)編號為5，6，在[80，100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15個.

其中，至少有一份在[90，100]之間的基本事件有9個.

故至少有一份分數(shù)在[90，100]之間的概率是=0.6.

試題評價：本題“一題兩圖”，難度雖然不大，綜合性卻很強，體現(xiàn)了當下高考對統(tǒng)計與概率的要求，值得細細品味.

四、考查總體特征值的估計、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望

預(yù)測題4.（理科）中華人民共和國《道路交通安全法》中將飲酒后違法駕駛機動車的行為分成兩個檔次：“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測標準是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量Q（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當20≤Q≤80時，為酒后駕車；當Q>80時，為醉酒駕車.某市公安局交通管理部門于2014年2月的某天晚上8點至11點在市區(qū)設(shè)點進行一次攔查行動，共依法查出了60名飲酒后違法駕駛機動車者，如圖為這60名駕駛員抽血檢測后所得結(jié)果畫出的頻率分布直方圖（其中Q≥140的人數(shù)計入120≤Q<140人數(shù)之內(nèi)）.

（1）求此次攔查中醉酒駕車的人數(shù)；

（2）從違法駕車的60人中按酒后駕車和醉酒駕車利用分層抽樣抽取8人做樣本進行研究，再從抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒駕車人數(shù)的分布列和期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機變量“融為一體”，著力考查考生的實際應(yīng)用能力和分析問題解決問題的能力.

解題思路：

（1）（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次攔查中醉酒駕車的人數(shù)為15人

（2）易知利用分層抽樣抽取8人中含有醉酒駕車者為2人；所以x的所有可能取值為0，1，2；

P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==.

X的分布列為：

E（X）=0×+1×+2×=.

命題評價：本題以當今社會的熱點問題“酒后駕車”和“醉酒駕車”為切入口，雖然難度不大，卻富有深刻的社會意義，值得一練.

五、綜合考查對莖葉圖的理解和應(yīng)用，隨機概率的計算和離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望

預(yù)測題5.（理科）空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5 （單位：g/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：

甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進行監(jiān)測，獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：

（Ⅰ）根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識估計甲、乙兩城市15天內(nèi)哪個城市空氣質(zhì)量總體較好？（注：不需說明理由）

（Ⅱ）在15天內(nèi)任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率；

（Ⅲ）在乙城市15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，X的分布列及數(shù)學期望.

命題意圖：將多個考點交匯在一題中，以達到“一題多考”與“綜合考查”的目的.

解題思路：

（Ⅰ）依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布，估計甲城市空氣質(zhì)量總體較好.

（Ⅱ）甲城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的共有10天，任取1天，空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的概率為=；乙城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的共有5天，任取1天，空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的概率為=；在15天內(nèi)任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率為×=.

（Ⅲ）X的取值為0，1 ，2，P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=0）==.X分布列為：

數(shù)學期望EX=0×+1×+2×=.

試題評價：本題關(guān)注社會熱點，突出試題的社會價值，同時將概率與統(tǒng)計多個知識點綜合，突出數(shù)學的應(yīng)用價值，是一道內(nèi)涵豐富的好試題.

六、借助頻率分布直方圖，綜合考查樣本估計總體的應(yīng)用，以及隨機概率的計算和離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望

預(yù)測題6.（理科）在某大學自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級. 某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人.

（I）求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；

（II）若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分；

（ii）若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 從這10人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機變量“融為一體”，著力考查考生的實際應(yīng)用能力和分析問題解決問題的能力.

解題思路：

（I）因為“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人，所以該考場有10÷0.25=40人.

所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)為：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（II） 求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為：

.

=2.9.

（Ⅲ）設(shè)兩人成績之和為，則的值可以為16，17，18，19，20 ，

P（=16）== ，P（=17）==，P（=18）=+=，P（=19）==，P（=20）==.

所以E的分布列為：

所以E=16×+17×+18×+19×+20×=，

所以的數(shù)學期望為.

試題評價：本題背景新穎，將自主招生與概率統(tǒng)計結(jié)合在一起，體現(xiàn)試題的時代性與概率統(tǒng)計知識的實用性，本題難度中等，無論從試題的思想性，還是難易程度，都符合新課標高考的要求.

（作者單位：江蘇省太倉高級中學）

責任編校 徐國堅endprint

解題思路：

（1）分數(shù)在[50，60）的頻率為0.008×10=0.08，

由莖葉圖知：分數(shù)在[50，60）之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為=25.

（2）分數(shù)在[80，90）之間的頻數(shù)為25-2-7-10-2=4；

頻率分布直方圖中[80，90）間的矩形的高為÷10=0.016.

（3）將[80，90）之間的4個分數(shù)編號為1，2，3，4，[90，100]之間的2個分數(shù)編號為5，6，在[80，100]之間的試卷中任取兩份的基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15個.

其中，至少有一份在[90，100]之間的基本事件有9個.

故至少有一份分數(shù)在[90，100]之間的概率是=0.6.

試題評價：本題“一題兩圖”，難度雖然不大，綜合性卻很強，體現(xiàn)了當下高考對統(tǒng)計與概率的要求，值得細細品味.

四、考查總體特征值的估計、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望

預(yù)測題4.（理科）中華人民共和國《道路交通安全法》中將飲酒后違法駕駛機動車的行為分成兩個檔次：“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測標準是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量Q（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當20≤Q≤80時，為酒后駕車；當Q>80時，為醉酒駕車.某市公安局交通管理部門于2014年2月的某天晚上8點至11點在市區(qū)設(shè)點進行一次攔查行動，共依法查出了60名飲酒后違法駕駛機動車者，如圖為這60名駕駛員抽血檢測后所得結(jié)果畫出的頻率分布直方圖（其中Q≥140的人數(shù)計入120≤Q<140人數(shù)之內(nèi)）.

（1）求此次攔查中醉酒駕車的人數(shù)；

（2）從違法駕車的60人中按酒后駕車和醉酒駕車利用分層抽樣抽取8人做樣本進行研究，再從抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒駕車人數(shù)的分布列和期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機變量“融為一體”，著力考查考生的實際應(yīng)用能力和分析問題解決問題的能力.

解題思路：

（1）（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次攔查中醉酒駕車的人數(shù)為15人

（2）易知利用分層抽樣抽取8人中含有醉酒駕車者為2人；所以x的所有可能取值為0，1，2；

P（x=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==.

X的分布列為：

E（X）=0×+1×+2×=.

命題評價：本題以當今社會的熱點問題“酒后駕車”和“醉酒駕車”為切入口，雖然難度不大，卻富有深刻的社會意義，值得一練.

五、綜合考查對莖葉圖的理解和應(yīng)用，隨機概率的計算和離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望

預(yù)測題5.（理科）空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5 （單位：g/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：

甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進行監(jiān)測，獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：

（Ⅰ）根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識估計甲、乙兩城市15天內(nèi)哪個城市空氣質(zhì)量總體較好？（注：不需說明理由）

（Ⅱ）在15天內(nèi)任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率；

（Ⅲ）在乙城市15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，X的分布列及數(shù)學期望.

命題意圖：將多個考點交匯在一題中，以達到“一題多考”與“綜合考查”的目的.

解題思路：

（Ⅰ）依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布，估計甲城市空氣質(zhì)量總體較好.

（Ⅱ）甲城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的共有10天，任取1天，空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的概率為=；乙城市在15天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的共有5天，任取1天，空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的概率為=；在15天內(nèi)任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率為×=.

（Ⅲ）X的取值為0，1 ，2，P（X=0）==，P（X=1）==，

P（X=0）==.X分布列為：

數(shù)學期望EX=0×+1×+2×=.

試題評價：本題關(guān)注社會熱點，突出試題的社會價值，同時將概率與統(tǒng)計多個知識點綜合，突出數(shù)學的應(yīng)用價值，是一道內(nèi)涵豐富的好試題.

六、借助頻率分布直方圖，綜合考查樣本估計總體的應(yīng)用，以及隨機概率的計算和離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望

預(yù)測題6.（理科）在某大學自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級. 某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示，其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人.

（I）求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；

（II）若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分.

（i）求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分；

（ii）若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 從這10人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學期望.

命題意圖：將必修模塊3的統(tǒng)計內(nèi)容與選修2-3的離散型隨機變量“融為一體”，著力考查考生的實際應(yīng)用能力和分析問題解決問題的能力.

解題思路：

（I）因為“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人，所以該考場有10÷0.25=40人.

所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)為：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

（II） 求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為：

.

=2.9.

（Ⅲ）設(shè)兩人成績之和為，則的值可以為16，17，18，19，20 ，

P（=16）== ，P（=17）==，P（=18）=+=，P（=19）==，P（=20）==.

所以E的分布列為：

所以E=16×+17×+18×+19×+20×=，

所以的數(shù)學期望為.

試題評價：本題背景新穎，將自主招生與概率統(tǒng)計結(jié)合在一起，體現(xiàn)試題的時代性與概率統(tǒng)計知識的實用性，本題難度中等，無論從試題的思想性，還是難易程度，都符合新課標高考的要求.

（作者單位：江蘇省太倉高級中學）

責任編校 徐國堅endprint