擴(kuò)展孔徑的電磁矢量多入多出雷達(dá)目標(biāo)定位算法

樊勁宇 蘇衛(wèi)民 顧 紅 王 釗

（南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京210094）

引 言

源于無(wú)線通信多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）技術(shù)的雙基地MIMO雷達(dá)最近受到了廣泛關(guān)注.其最早是由Parker.P等人在文獻(xiàn)［1］中提出的，相比傳統(tǒng)雷達(dá)而言具有更大的陣列孔徑、更高的陣列自由度和更好的低截獲性能［2-4］.雙基地MIMO雷達(dá)目標(biāo)定位主要是利用陣列信號(hào)處理算法同時(shí)測(cè)量目標(biāo)的波達(dá)角（Direction of Departure，DOA）與波離角（Direction of Departure，DOD），從而實(shí)現(xiàn)交叉定位.文獻(xiàn)［5］將多重信號(hào)分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法應(yīng)用到MIMO雷達(dá)，利用2維譜峰搜索同時(shí)估計(jì)目標(biāo)的DOD和DOA.文獻(xiàn)［6］利用兩次獨(dú)立的旋轉(zhuǎn)不變子空間技術(shù)（Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）算法分別估計(jì)多個(gè)目標(biāo)的DOD和DOA，避免了譜峰搜索，但需要額外的配對(duì)算法.文獻(xiàn)［7］利用MIMO雷達(dá)輸出數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)構(gòu)造測(cè)量張量，通過(guò)CP分解（CANDECOMP／PARAFAC decomposition）求解其因子矩陣，可以同時(shí)估計(jì)多個(gè)目標(biāo)的方位向波離角（Azimuth DOD，ADOD）、俯仰向波離角（Elevation DOD，EDOD）、方位向波達(dá)角（Azimuth DOA，ADOA）、俯仰向波 達(dá)角（Elevation DOA，EDOA），各參數(shù)自動(dòng)配對(duì).以上算法均要求陣元間距小于半波長(zhǎng)，否則得到的角度估計(jì)值存在周期性模糊.

電磁矢量天線（Electromagnetic Vetor Antenna，EMVA）同時(shí)獲取信號(hào)的空域信息和極化域信息，具有比傳統(tǒng)陣列更高的檢測(cè)性能，不受陣元間距限制.文獻(xiàn)［8］提出了一種矢量叉積測(cè)向法（Vector Cross-Product Direction-Finding，VCPDF），僅用一個(gè)完備的EMVA實(shí)現(xiàn)目標(biāo)2維DOA估計(jì).該陣元由3對(duì)正交放置的電磁偶極子對(duì)組成，對(duì)陣元位置無(wú)特殊要求，但估計(jì)精度不高.文獻(xiàn)［9］利用EMVA陣列獲取入射波電磁場(chǎng)矢量的方向信息，以解決ESPRIT算法中的角度模糊問(wèn)題，但僅針對(duì)無(wú)源測(cè)向.文獻(xiàn)［10］將完備的EMVA用于MIMO通信領(lǐng)域，利用偶極子天線的極化分集特性增大了信道容量.文獻(xiàn)［11］將EMVA技術(shù)引入MIMO雷達(dá)，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)DOD和DOA聯(lián)合估計(jì)，通過(guò)擴(kuò)展孔徑提高DOA估計(jì)精度.但該算法無(wú)法顯著提高DOD估計(jì)精度，且只討論了平面內(nèi)的目標(biāo)定位問(wèn)題，沒(méi)有充分利用EMVA中的多維角度信息.

針對(duì)雙基地DOD和DOA估計(jì)問(wèn)題，文章提出了一種新的EMVA-MIMO雷達(dá)系統(tǒng).采用完備的EMVA陣元組成均勻矩形發(fā)射陣列，在MIMO雷達(dá)陣元間發(fā)射信號(hào)的正交約束條件下，還要求每個(gè)陣元的6個(gè)偶極子天線發(fā)射的信號(hào)相互正交，收發(fā)陣列幾何結(jié)構(gòu)相同.算法從輸出數(shù)據(jù)中構(gòu)造3階測(cè)量張量，通過(guò)CP分解求取4維陣列流形矩陣、極化信息矩陣和多普勒矩陣.先借鑒ESPRIT算法從陣列流形矩陣中獲取2維收發(fā)角的模糊估計(jì).再根據(jù)目標(biāo)極化散射模型，推導(dǎo)出極化信息矩陣的奇異值分解表達(dá)式，提出了一種通過(guò)該矩陣實(shí)現(xiàn)解模糊的算法，最終得到多目標(biāo)2維DOD和DOA的高精度不模糊估計(jì).該算法無(wú)需進(jìn)行額外的參數(shù)配對(duì)，且通過(guò)擴(kuò)展收發(fā)陣列孔徑使得DOD和DOA估計(jì)性能均得到提高.

1 系統(tǒng)模型

雙基地MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列為x-z平面內(nèi)的均勻矩形陣列，由M＝Mx×Mz個(gè)EMVA構(gòu)成，其參考陣元位于x軸上，對(duì)第k個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶目標(biāo)的空間響應(yīng)為

式中：λ表示信號(hào)波長(zhǎng)；（·）T表示轉(zhuǎn)置；ptk＝［utk，vtk，wtk］T＝［sinθtkcosφtk，sinθtksinφtk，cosθtk］T為第k個(gè)目標(biāo)的方向余弦，φtk∈［0，2π）和θtk∈［0，π）是第k個(gè)目標(biāo)的ADOD和EDOD；ti＝［xi，yi，zi］T為第i個(gè)EMVA的坐標(biāo).每個(gè)EMVA包含3對(duì)電磁偶極子天線對(duì)，且相互正交放置于空間同一點(diǎn)，其響應(yīng)為［12］

設(shè) 發(fā) 射 信 號(hào) 為S＝［s1，…，sm，…，s6M］T∈C6M×L，且滿足SSH＝I6M，其中（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置，L為脈內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)，I6M為6 M維單位矩陣.第m路發(fā)射信號(hào)表示為時(shí)變向量的形式wm＝，其中為式（2）中矩陣αptk的第i行，由天線的類型和朝向決定.則照射到第k個(gè)目標(biāo)的信號(hào)為

ξH，ξV分別為發(fā)射波的兩個(gè)正交極化分量，“?”為Kronecker積.設(shè)第k個(gè)目標(biāo)的極化散射矩陣Ck恒定，在（H，V）基下表示為［13］

式中：chh，cvv為共極化系數(shù)；chv，chv為正交極化系數(shù)；參數(shù)a，b，c和d由散射點(diǎn)類型決定.接收陣列為y-z平面內(nèi)均勻矩形陣列，由N＝Ny×Nz個(gè)EMVA構(gòu)成，其參考陣元位于y軸上，具有同式（1）和式（2）類似的響應(yīng)αrk和αprk.則第q個(gè)脈沖的接收信號(hào)Xq＝［x1，…，xn，…，x6N］T∈C6N×L可寫(xiě)成

復(fù)系數(shù)βk包含第q個(gè)脈沖內(nèi)目標(biāo)雷達(dá)截面積（Rada Cross-Section，RCS）信息和多普勒信息，Nq為零均值加性高斯白噪聲.用Q個(gè)脈沖的匹配濾波輸出數(shù)據(jù)構(gòu)造矩陣Y＝［y1，…，yQ］，其中yq＝vec（XqSH），vec（·）表示矩陣的列向量化.令E＝［e1，…，eQ］，其中eq＝vec（NqSH），則

式中：“⊕”表示Khatri-Rao積；Β＝［β1，…，βK］，βk＝［β1k，…，βQk］T∈CQ×1，在 目 標(biāo)RCS滿 足Swerling-I模型的條件下可從Β中獲取目標(biāo)多普勒頻率［7］；A＝［α1，…，αK］∈CMN×K表示收發(fā)陣列的4維陣列流形矩陣，等同于相同幾何結(jié)構(gòu)下標(biāo)量陣MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列流形矩陣的Kronecker積，其列向量滿足

Ap＝［αp1，…，αpK］∈C36×K為極化信息矩陣，包含偶極子天線的響應(yīng)與目標(biāo)散射矩陣信息，由式（5）可得，其列向量滿足

基于上述回波模型，提出一種從極化信息矩陣中得到目標(biāo)二維收發(fā)角度不模糊估計(jì)的算法，將在2.2節(jié)中詳細(xì)討論.

2 角度估計(jì)算法

2.1 CP分解

為了從觀測(cè)數(shù)據(jù)中得到目標(biāo)角度和極化信息，在此引入CP分解算法.由式（5）和式（6）可得矩陣Y的任一元素可寫(xiě)成

式中［·］h，［·］i和［·］j分別表示對(duì)應(yīng)向量的第h，i和j個(gè)元素.

定義1［14］：若張量為N個(gè)向量的外積，即張量的每個(gè)元素等于這N個(gè)向量相應(yīng)元素的乘積，則X為秩1張量.

根據(jù)定義1將式（6）中矩陣Y構(gòu)造成測(cè)量張量Y，使其等于K個(gè)秩1張量的和，有

“?”表示向量外積.CP分解就是將張量Y分解成式（10）所示結(jié)構(gòu)，從而得到因子矩陣的估計(jì)和.交替最小二乘算法（Alteranting Least Squares，ALS）可以利用3階張量Y的3種模式展開(kāi)矩陣Y（1），Y（2）和Y（3）求解CP分解問(wèn)題，算法步驟可以參考文獻(xiàn)［7］中相關(guān)內(nèi)容.

Remark 1：當(dāng)目標(biāo)個(gè)數(shù)K滿足2 K＋2≤kA＋kAp＋kB的條件時(shí)，ALS算法得到的估計(jì)矩陣各列僅存在幅度和順序上的模糊［14］，其中kA，kAp和kB分別表示矩陣A，Ap和B的秩.當(dāng)快拍數(shù)Q≥K時(shí)有kB＝K，此時(shí)當(dāng)目標(biāo)數(shù)滿足K≤MN＋34時(shí)可以唯一分解出K個(gè)秩1張量.每個(gè)秩1張量?jī)H包含對(duì)應(yīng)目標(biāo)的方向余弦信息，因此可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)角度估計(jì)的自動(dòng)配對(duì).

2.2 二維收發(fā)角估計(jì)算法

其中arg［·］表示復(fù)數(shù)的幅角.同理可得wtk，vrk和wrk的估計(jì).當(dāng)陣元間距大于λ／2時(shí)，方向余弦存在周期性模糊.下面提出一種基于EMVA極化特性的解模糊算法.

式中，ui和vi分別為σi對(duì)應(yīng)的左、右奇異向量.由式（2）易得和均為列滿秩矩陣與Ck等秩.假設(shè)Ck滿秩，則有2個(gè)非零奇異值，由式（12）可得

式中：gu1，gu2，gv1和gv2為未知復(fù)常數(shù)，且滿足均為正實(shí)數(shù)；（·）＊表示取復(fù)數(shù)的共軛；04表示4×4全零矩陣和分別組成矩陣和的零空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基；即為秩等于2時(shí)的2個(gè)非零奇異值，且慮到矩陣Ck可能存在未滿秩的情況，因此僅利用最大奇異值所對(duì)應(yīng)的左、右奇異向量和估 計(jì)目標(biāo)角度.將劃分為兩個(gè)3×1向量，由式（2）和式（13）可得

［·］i表示向量第i個(gè)元素.由式（2）和式（15）得

c3為未知實(shí)常數(shù)，不難得到

下面的表1中列出了算法的基本步驟：

表1 算法基本步驟

3 仿真實(shí)驗(yàn)

通過(guò)蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的有效性，并與文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［11］中算法對(duì)比.本文的收發(fā)陣列為完備EMVA構(gòu)成的2×3均勻矩形陣列.為保證可比性，文獻(xiàn)［7］中收發(fā)陣列采用6×6均勻矩形標(biāo)量陣列.文獻(xiàn)［11］中發(fā)射陣列與文獻(xiàn)［7］中發(fā)射陣列相同，接收陣列與本文接收陣列相同.7個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)不相關(guān)目標(biāo)的參數(shù)如表2所示.快拍數(shù)均為100，噪聲為獨(dú)立零均值加性高斯白噪聲，以所有目標(biāo)角度估計(jì)均方根誤差衡量算法性能，實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100次.各圖中實(shí)線、虛線和點(diǎn)畫(huà)線分別表示本文算法、文獻(xiàn)［7］算法和文獻(xiàn)［11］算法的仿真數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)下標(biāo)分別為v，s和sv.

表2 仿真目標(biāo)參數(shù)

圖1為3種MIMO雷達(dá)多目標(biāo)DOD和DOA估計(jì)誤差隨信噪比變化曲線.空間中存在表2中的目標(biāo)1～3，信噪比變化范圍為［0dB，30dB］，本文和文獻(xiàn)［11］所用EMVA陣元間距為5λ，文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［11］中所用標(biāo)量陣元的間距為λ／2.由圖1（b）可知本文及文獻(xiàn)［11］的算法擴(kuò)展了接收陣列孔徑，DOA估計(jì)精度大于標(biāo)量陣MIMO雷達(dá).在此基礎(chǔ)上，本文算法還擴(kuò)展了發(fā)射陣列孔徑，由圖1（a）可知本文算法可以獲得更高的DOD估計(jì)精度，這一優(yōu)勢(shì)在低信噪比時(shí)仍然保持.

圖1 估計(jì)誤差與信噪比關(guān)系曲線

圖2 估計(jì)誤差與陣元間距關(guān)系曲線

圖2為本文和文獻(xiàn)［11］所提算法的角度估計(jì)誤差隨收發(fā)陣元間距變化的對(duì)比曲線.空間中存在表2中目標(biāo)1～3，信噪比為0dB，所有EMVA陣元間距變化范圍為［2λ，23λ］，文獻(xiàn)［11］發(fā)射陣列陣元間距為λ／2.由圖2可知，文獻(xiàn)［11］未能提高M(jìn)IMO雷達(dá)的DOD估計(jì)性能，而本文算法在保證相同的DOA估計(jì)性能的情況下，DOD估計(jì)性能也得到了顯著提升.

圖3為MIMO雷達(dá)估計(jì)性能隨目標(biāo)個(gè)數(shù)變化的關(guān)系曲線.空間目標(biāo)個(gè)數(shù)變化范圍為［1，7］，信噪比為0dB，標(biāo)量陣元間距為λ／2，EMVA陣元間距為5λ.由圖3可知，隨著目標(biāo)個(gè)數(shù)增多，本文所提算法的DOD估計(jì)誤差上升幅度低于另兩種MIMO雷達(dá)，DOA估計(jì)誤差上升幅度低于標(biāo)量陣MIMO雷達(dá).

圖3 估計(jì)誤差與目標(biāo)個(gè)數(shù)關(guān)系曲線

4 結(jié) 論

文章提出了一種收發(fā)陣列均采用EMVA技術(shù)的雙基地MIMO雷達(dá)多維角度估計(jì)方法，給出了更嚴(yán)格的發(fā)射信號(hào)正交約束條件.首先利用經(jīng)典算法（如ESPRIT算法）從張量分解后的4維陣列流形矩陣中估計(jì)出存在周期性模糊的目標(biāo)角度，然后從目標(biāo)極化散射矩陣出發(fā)分析了接收信號(hào)極化信息的構(gòu)成，以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)了從極化信息矩陣中求解收發(fā)角的不模糊估計(jì)的算法，且實(shí)現(xiàn)了自動(dòng)配對(duì).仿真結(jié)果表明該算法在不同的信噪比和目標(biāo)數(shù)條件下均具有良好的角度估計(jì)性能，且陣元間距無(wú)半波長(zhǎng)限制，通過(guò)擴(kuò)展孔徑提高了參數(shù)估計(jì)精度.

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