綜合孔徑輻射計亮溫反演算法研究

黃傳祿 晁 坤 毛云志

（中國電波傳播研究所，山東 青島266107）

引 言

綜合孔徑輻射計引入射電天文中“孔徑綜合”的概念，通過小孔徑陣列等效合成大孔徑，利用干涉測量、相關處理等技術，有效提高了輻射計的空間分辨率，成為當前輻射計研究和發(fā)展的熱點［1-5］.綜合孔徑輻射計亮溫反演成像的基礎是利用干涉測量得到的可視度函數(shù)反演成像得到觀察區(qū)域的輻射亮溫分布［1-2］.在遠場條件及系統(tǒng)理想的情況下，可視度函數(shù)與修正亮溫分布呈傅里葉變換關系，而且所有相同長度和取向的基線具有相同的干涉測量結(jié)果，從而可以使用稀疏天線的布局，避免了大口徑天線的加工困難及機械掃描問題，并可以在一定程度上緩解由于積分時間引起的空間分辨率和溫度分辨率的矛盾［1-2］.

綜合孔徑亮溫反演從本質(zhì)上屬于空域傅里葉變換［3-4］，其陣列參數(shù)決定了系統(tǒng)的空間分辨率、觀察范圍、反演結(jié)果精度等重要指標.為了簡化陣列結(jié)構(gòu)，獲得盡可能多的空間頻率點，綜合孔徑輻射計稀疏陣列的組合形式是設計中的關鍵問題，對此已有許多深入的研究［1，6-7］.反演中G矩陣求逆運算直接關系反演結(jié)果的誤差，因此在設定陣列參數(shù)時需要十分謹慎［1，4］.

消條紋函數(shù)，也稱為梳狀（Fringe Wash）濾波函數(shù)，描述了各陣元之間傳輸延時造成的空間解相關效應，對系統(tǒng)性能具有重要影響［2，7-8］.在窄帶信號、陣列孔徑不太大且各通道特性完全一致的理想情況下，消條紋函數(shù)值接近于常數(shù)1，從而空間解相關效應可以不考慮.然而在實際應用中，為了提高輻射計的靈敏度，綜合孔徑輻射計盡量采用大的通道帶寬，當陣列孔徑造成的信號延時與系統(tǒng)帶寬的倒數(shù)可比擬時，便不再滿足陣列窄帶信號的假設［7］.此時，綜合孔徑反演算法中空間解相關效應不可忽略.此外，實際系統(tǒng)中的各個通道的特性并非完全一致，也會造成空間解相關效應.因此，消條紋函數(shù)在綜合孔徑輻射計亮溫反演中占據(jù)重要位置，傳統(tǒng)的反演算法（如快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）算法，（Backus-Gilbert，BG）算法等）中忽略消條紋函數(shù)的影響，必然帶來反演誤差［8-9］.

本文從空域傅里葉變換角度分析了綜合孔徑陣列各參數(shù)的設計約束，采用一維均勻等距線陣為例，探討了陣元間距和陣元數(shù)以及陣列波束寬度等對綜合孔徑系統(tǒng)性能的影響.根據(jù)干涉測量基本原理，通過消條紋函數(shù)分析了系統(tǒng)帶寬以及通道特性造成的空間去相關效應對反演誤差的影響.基于BG算法，分析了G矩陣相關性對亮溫反演誤差的影響.利用消條紋函數(shù)建立了考慮帶寬效應和通道不一致性時的誤差校正模型.

1 理論分析

1.1 綜合孔徑輻射計陣列參數(shù)分析

綜合孔徑輻射計通過相關干涉測量獲得可視度函數(shù)，可視度函數(shù)與目標亮溫分布呈傅里葉變換關系［1］.綜合孔徑輻射計實際上是在空間頻率域上進行采樣，采樣值即為可視度函數(shù)值.

為簡化分析，采用一維均勻線陣進行分析，設陣元間隔為d，陣元數(shù)為N.圖1為綜合孔徑輻射計信號處理中傅里葉變換關系示意圖.如圖1所示，頻域采樣間隔為u1＝d／λ，頻域采樣孔徑為us＝Nu1.在空域中間隔xs＝1／us，空域周期即口徑x1＝1／u1.

圖1 綜合孔徑空域傅里葉變換示意圖

空間域x＝sinθ，可見，空間域由空間角度決定，因此空域也稱為角域.空域即陣列觀測區(qū)域，一般取陣列上半空間，即對應角度范圍為［-90°，90°］，則x范圍為［-1，1］.

設陣列波束范圍為［-θL，θL］，按照傅里葉變換性質(zhì)，為無失真的恢復采樣信號，應滿足

為保證全方向無模糊，即在［-90°，90°］范圍內(nèi)無失真采樣，應具有d≤λ／2，即頻域采樣間隔u1≤0.5.

1.2 綜合孔徑輻射計亮溫反演算法

設接收通道中心頻率為fc，系統(tǒng)帶寬為B，一般B?fc，可以當作窄帶隨機過程來處理［1］.設兩接收陣元天線的激勵電壓為VT（θ，t）和VT（θ，t-τ）.τ＝Δr／c為時間延遲.兩天線單元的接收電壓分別為

式中，Θ為天線方向圖積分區(qū)域.經(jīng)過功分、乘法運算及低通濾波得到如下復相關輸出

由于Va（t）和Vb（t）為遍歷信號，可認為時間平均等價與集平均.＜VT（θ，t），VT（θ′，t）＞是信號的功率，它與天線方向圖加權(quán)的亮度溫度T（θ）成正比.式（3）可表示為

式中：Gi表示i通道最大增益；Bi表示i通道的等效噪聲帶寬；對于一維陣列，τ＝dsinθ／c.

式（4）即建立了亮溫與可視度函數(shù)的對應關系.由式（4）可以建立亮溫反演模型，將積分離散化為

式中：θn為空間第n個區(qū)域角度；dm為第m對基線長度.

1.3 BG算法中G矩陣相關性分析

在實際應用中，為便于降低反演誤差，亮溫反演中一般采用BG算法.根據(jù)式（6），并忽略消條紋函數(shù)影響，可得如下矩陣方程

式中：V為M×1的可視度函數(shù)向量，M＝2 N＋1，N為等效一維均勻線陣的陣元數(shù)；T為Np×1為目標亮溫分布向量；G為M×Np的傅里葉變換矩陣.因此，反演過程即由M個可視度函數(shù)反演Np個亮溫，一般Np＞M，因此過程是欠定的，并且往往是病態(tài)的.采用最小二乘法求解矩陣方程（7），得

式中：G＋為G的廣義逆矩陣［2］.BG算法的核心是構(gòu)造G矩陣，并且求其廣義逆G＋.G矩陣的相關性，嚴重影響求逆運算的穩(wěn)定性和準確性.當矩陣的條件數(shù)很大時，矩陣是病態(tài)的，求逆結(jié)果很不穩(wěn)定，誤差增大.

G矩陣中第i列的導向矢量為

式中，θi為目標輻射信號的入射角度.

定義G矩陣任兩矢量的內(nèi)積為

內(nèi)積J（i，j）可以描述兩矢量的相關性，J（i，j）越大，則相關性越大.當分母項為零，即2πu1（sinθi-sinθj）＝2πK，K為非零整數(shù)時，J（i，j）取極大值.G矩陣的相關性由其任意兩列矢量相關性的綜合效果決定，這里取各矢量相關性的均方值來定義G矩陣的相關性為

設目標區(qū)域按正弦值均勻劃分，共分為Np個區(qū)域，間隔為Δx＝2sinθL／（Np-1）.如果存在

則表明其中兩矢量相關性陷入極值，G矩陣條件數(shù)非常大，求逆運算誤差將極大.因此，在設計空間分辨率時，應選取合適的區(qū)域間隔，使G矩陣相關性最小，以減少求逆誤差，從而降低亮溫反演誤差.

1.4 空間解相關效應分析

由sinc函數(shù)特性，在｜πBτ｜接近0時，函數(shù)值接近1，式（6）中可以忽略（τ）的效應.按照陣列信號理論，當πB?｜1／τ｜時，信號定義為陣列窄帶信號，此時空間解相關效應可以忽略［1］.

理想矩形帶通濾波器在實際中是物理不可實現(xiàn)的，為了模擬現(xiàn)實系統(tǒng)中通道的帶通特性，采用如下的二階系統(tǒng)來描述通道特性：

式中：G為通道最大增益；Q＝fc／Δf為品質(zhì)因數(shù)；Δf為系統(tǒng)3dB帶寬.將其帶入式（5）中即可得到（τ）表達式.

按照式（5），除了帶寬的影響外，通道不一致性也會造成空間解相關效應［10］.因此，利用消條紋函數(shù)，可以建立考慮帶寬誤差和通道不一致性誤差的校正模型.

式（6）描述的方程，轉(zhuǎn)化為如下矩陣方程：

式中：G是維數(shù)為M×N的傅里葉變換矩陣，同式（7）定義一致，G（m，n）＝ej2πdmsinθn／λ；Gr是維數(shù)為M×N的消條紋函數(shù)修正矩陣，也叫去相關矩陣，Gr（m，n）＝（dmusinθn／c）.對Gr·G求解廣義逆，得到亮溫的最小二乘解.

2 仿真分析

以Ka波段綜合孔徑輻射計為例進行仿真分析，假設等效陣元數(shù)N＝90；波束范圍-35°～35°.

由式（1）計算得到d／λ≤0.87，否則會產(chǎn)生頻譜混疊造成反演失真.圖2及圖3為陣元間隔波數(shù)u1分別為0.5和2時，信號頻譜圖和亮溫反演結(jié)果.由圖2可以看出，當陣元間隔為0.5時，頻譜采樣沒有混疊，包含了目標的大部分頻率分量.因此經(jīng)過反演，能較準確地恢復原始信號.而如圖3所示，當間隔波數(shù)為2時，頻譜產(chǎn)生混疊，在高頻部分出現(xiàn)較大失真分量.

圖2 u1＝0.5時可視度函數(shù)值和反演亮溫

由圖2可以看出，反演結(jié)果在目標亮溫變化部分出現(xiàn)振蕩.這實際上是頻域采樣時對高頻截斷造成的吉布斯振蕩效應.由圖2中的信號頻譜圖可以看出，綜合孔徑陣列采樣時最高只采到2 Nd／λ的頻率分量，其余的高頻分量被舍棄導致高頻分量截斷，因此在反演中出現(xiàn)高頻振蕩［2］.在實際系統(tǒng)中，陣列孔徑不可能無限增加，因此高頻振蕩效應無法完全消除，但可以采用加窗的方式降低其影響［3］.

圖3 u1＝2時可視度函數(shù)值和反演亮溫

在u1＝0.87時，按照式（11）計算的G矩陣相關性最小處對應的區(qū)域劃分點數(shù)分別為181.由上述分析可得，u1＝0.87的陣列在頻域內(nèi)采樣數(shù)為181，因此經(jīng)過傅里葉變換在空域僅能準確得到181個目標亮溫值，更多的反演目標點由這181個點插值得到.這點也可以從矩陣理論上分析得到，G矩陣為行滿秩，其行秩為M，即可視度函數(shù)的數(shù)目［1］.因此G矩陣求逆后，只有M行是線性無關的，其余的行向量都由該M行向量線性組合得到.

圖4給出了在u1＝0.87時，選取區(qū)域劃分數(shù)目分別為140、181及543時，反演的亮溫結(jié)果.由圖4（b）看出，目標劃分點數(shù)為140時，反演結(jié)果誤差非常大.這是因為此時G矩陣相關性極大，從而導致求逆誤差很大.圖4（c）為選取最佳反演點數(shù)即181時反演結(jié)果，其反演非常準確，誤差很小.圖4（d）為選取3倍反演點數(shù)時反演結(jié)果，可以看出，其誤差相比181點數(shù)時較大，但與原目標相比仍比較準確.而此時反演結(jié)果更加平滑.因此在實際應用中可以選取3倍最佳點數(shù)，反演結(jié)果更加平滑，同時反演誤差和計算時間也可以接受.

下面計算分析空間解相關效應對亮溫反演的影響.采用一維稀疏陣列，單元數(shù)為16，最小間隔為0.5λ.通道特性如式（14）描述，通道3dB帶寬為200MHz，等效噪聲帶寬為300MHz，假設各通道特性完全一致.

圖5為對應的消條紋函數(shù)曲線.如圖所示，該消條紋函數(shù)為一單邊減幅余弦信號，在τ＝0時，函數(shù)值為1.設陣元最大基線長度（即陣列口徑）為2m，天線方向圖區(qū)域為［-40°，40°］，則計算可得最大延時約為3.3ns.由圖5可以看出該時延值下，消條紋函數(shù)值約為0.3，其代表的空間解相關效應不可忽略.從另一角度計算，此時Bτ≈1，不滿足陣列窄帶信號定義，因此其空間解相關效應必須進行補償.另外，計算發(fā)現(xiàn)，當πBτ＜0.5時，消條紋函數(shù)大于0.95，即誤差在5%之內(nèi)，空間解相關效應可以忽略.

圖4 不同劃分數(shù)目時亮溫反演結(jié)果

圖6給出了點目標反演仿真結(jié)果.在角度0°和6.5°設置了兩個點目標，其亮溫為1K.如圖6所示，在采用無修正的BG算法時，反演結(jié)果誤差很大，在利用式（15）考慮消條紋函數(shù)修正模型后，反演結(jié)果與目標亮溫非常接近.圖7為區(qū)域［-40°，40°］范圍內(nèi)連續(xù)分布目標反演結(jié)果.可以看出修正算法顯著地改善了由空間解相關效應造成的誤差.

圖5 消條紋函數(shù)

圖6 點目標反演結(jié)果

圖7 連續(xù)目標反演結(jié)果

從圖6和圖7還可以看出，在陣列法線位置附近時，消條紋函數(shù)造成的誤差很小，而隨著角度增大，誤差變大.兩陣元的時延為τ＝dsinθ／c，因此角度增加時，時延也會增加，從而使空間解相關效應增大，誤差增大，本文模型對解相關效應進行補償后，消去了該誤差.

由上面分析，利用消條紋函數(shù)，可以補償兩陣元時延造成的空間解相關效應，同時對通道增益、相位不一致性等進行修正.但對陣元位置誤差，陣元互耦等誤差不能完全進行補償修正.由式（15）可以看出，陣列位置誤差會同時影響消條紋函數(shù)矩陣Gr和傅里葉變換矩陣G，需要對兩矩陣同時進行修正，對陣元位置誤差和陣元互耦誤差進行校正也是當前綜合孔徑輻射計的研究熱點［9-10］.

3 結(jié) 論

本文基于空域傅里葉變換規(guī)律分析了綜合孔徑亮溫反演算法，分析了G矩陣相關性對反演結(jié)果的誤差影響.利用干涉測量中消條紋函數(shù)建立了空間解相關效應修正矩陣.理論及仿真計算發(fā)現(xiàn)，設計空間分辨率時，應使G矩陣相關性較小，以降低矩陣求逆誤差.空間解相關效應隨觀測角度和陣元間距的增加而變大，并與系統(tǒng)帶寬和陣元間信號時延有關，當πBτ較小時，可假設為陣列窄帶信號，從而忽略其效應.在工程應用中，一般選取πBτ＜0.5即可滿足要求.

本文的研究對綜合孔徑輻射計實際參數(shù)的設計具有指導意義，對綜合孔徑輻射計中帶寬效應和通道不一致效應的研究都具有應用價值，對進一步研究亮溫反演誤差校正也具有參考意義.

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