基于壓縮感知的穩(wěn)健單通道波達(dá)方向估計(jì)方法

王超宇 梅 湄 李洪濤 朱曉華

（南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京210094）

引 言

近年來(lái)，信息論和信號(hào)處理領(lǐng)域中提出的壓縮感知［1-3］（Compressive Sensing，CS）理論被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、圖像處理、無(wú)線(xiàn)通信和生物醫(yī)學(xué)等諸多工程領(lǐng)域［4］，吸引了研究者們的極大關(guān)注.CS理論指出，通過(guò)求解一個(gè)范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題便可通過(guò)少量的非自適應(yīng)隨機(jī)測(cè)量值以較高精度重構(gòu)可稀疏表征的信號(hào)［5］.

實(shí)際空間中感興趣目標(biāo)場(chǎng)景的強(qiáng)散射中心僅占據(jù)少量的角度分辨單元，照射區(qū)域內(nèi)目標(biāo)回波信號(hào)是稀疏的，由此CS在波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)中的應(yīng)用也得到了廣泛的研究.文獻(xiàn)［6］提出了基于CS的多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIM）雷達(dá)DOA估計(jì)方法，充分利用雷達(dá)回波信號(hào)的稀疏性對(duì)陣列接收信號(hào)進(jìn)行時(shí)域壓縮采樣，降低了陣列接收的時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù).文獻(xiàn)［7］采用陣元隨機(jī)分布的天線(xiàn)陣列對(duì)空域信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，降低了接收陣列的前端接收通道個(gè)數(shù)，隨后通過(guò)CS重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)DOA高分辨估計(jì).然而，文獻(xiàn)［6］和［7］將均勻量化感興趣區(qū)域角度范圍得到的超完備基矩陣作為冗余字典，不能保證對(duì)應(yīng)感知矩陣滿(mǎn)足約束等容條件（Restricted Isometry Property，RIP）［8］，并且未考慮實(shí)際應(yīng)用中接收陣列射頻通道間增益不一致以及感知矩陣和目標(biāo)角度信息的匹配關(guān)系對(duì)DOA估計(jì)精度的影響，導(dǎo)致目標(biāo)角度信息估計(jì)誤差增大.文獻(xiàn)［9］從理論上分析了CSDOA中系統(tǒng)模型失配誤差對(duì)目標(biāo)角度信息估計(jì)精度的影響，結(jié)果表明稀疏基矩陣與目標(biāo)角度信息匹配關(guān)系不理想時(shí)，常見(jiàn)CS算法對(duì)目標(biāo)信息重構(gòu)性能劣化非常明顯.文獻(xiàn)［10］提出一種增加稀疏基矩陣分辨力的方法，降低了系統(tǒng)感知模型失配誤差對(duì)目標(biāo)角度信息重構(gòu)精度的影響，然而隨著稀疏基矩陣分辨力的提高，感知矩陣的相關(guān)系數(shù)亦會(huì)隨之變大，嚴(yán)重影響了CS重構(gòu)稀疏信號(hào)的精度；此外，當(dāng)稀疏基矩陣分辨力較高時(shí)，感知矩陣規(guī)模過(guò)大，導(dǎo)致CS重構(gòu)算法運(yùn)算量急劇增加.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種單通道CS-DOA估計(jì)方法.首先，構(gòu)建系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配背景下的DOA估計(jì)模型；其次，引入一種單通道陣列［11］體制，采用0／π移相器對(duì)每個(gè)陣元進(jìn)行隨機(jī)移相處理，經(jīng)合路器輸出一路數(shù)據(jù)以完成空域隨機(jī)采樣，克服了射頻通道間增益不一致，幅相不平衡等因素對(duì)CS-DOA方法的影響；最后，將丹茨格（Dantzig Selector，DS）［12］算法和遺傳算法相結(jié)合，提出一種新的CS-DOA估計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)感知模型失配時(shí)的高分辨DOA估計(jì).與CS-DOA估計(jì)算法RMFOCUSS［13］相比，本文方法有效降低了系統(tǒng)模型失配誤差對(duì)DOA估計(jì)精度的影響；與傳統(tǒng)的CAPON算法和多重信號(hào)分類(lèi)（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法相比，本文方法能夠?qū)θ我庀嚓P(guān)的信號(hào)進(jìn)行有效估計(jì)，具有更高的角度分辨力和更優(yōu)的估計(jì)性能.

1 DOA估計(jì)信號(hào)模型

1.1 DOA估計(jì)壓縮感知模型

假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到由L個(gè)陣元組成的均勻線(xiàn)性陣列上，考慮噪聲干擾時(shí)，陣列接收信號(hào)可表示為

設(shè)感興趣區(qū)域的角度范圍Δθ＝［0°，180°］經(jīng)均勻量化后獲得角度網(wǎng)格矢量為＝，N為網(wǎng)格總數(shù)，φ＝為角度分辨單元，則式（1）可改寫(xiě)為

式中：s（t）＝［s1（t），…，sN（t）］T是目標(biāo)角度信息矢量；A）＝［a，…，a）］為角度分辨單元相對(duì)接收陣列的導(dǎo)向矢量矩陣.

實(shí)際中，照射區(qū)域內(nèi)目標(biāo)僅占據(jù)少量角度分辨單元，即‖s（t）‖0＝K?N，‖v‖0表示矢量v的l0范數(shù)，由此陣列接收信號(hào)x（t）為K稀疏信號(hào)，為稀疏基矩陣，K為目標(biāo)角度信息矢量的稀疏度.

1.2 系統(tǒng)感知模型失配時(shí)DOA估計(jì)模型

假設(shè)照射區(qū)域內(nèi)K 個(gè)目標(biāo)相對(duì)接收陣列的角度矢量θ＝［θ1，…，θK］中的第k個(gè)元素θk，即第k個(gè)目標(biāo)的角度信息與系統(tǒng)預(yù)先設(shè)定的角度網(wǎng)格矢量不匹配，稱(chēng)系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配.由CS理論可知，系統(tǒng)感知模型失配誤差將導(dǎo)致預(yù)先設(shè)定的角度網(wǎng)格矢量無(wú)法準(zhǔn)確表示目標(biāo)場(chǎng)景，造成常見(jiàn)CS-DOA估計(jì)方法目標(biāo)角度信息估計(jì)誤差變大，角度分辨力降低等問(wèn)題.

由式（4）可知，當(dāng)系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配時(shí)，Φ為真實(shí)導(dǎo)向矢量的二階近似；當(dāng)系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息匹配時(shí)，Φ為真實(shí)導(dǎo)向矢量的零階近似，即β＝［0，…，0］T.

因此，不考慮測(cè)量噪聲的近似誤差時(shí)，式（2）可近似表示為

1.3 基于單通道陣列的DOA估計(jì)模型

由于單通道陣列僅有一個(gè)射頻通道（如圖1所示），故除功耗低、成本低、體積小等優(yōu)點(diǎn)，還可以有效避免接收陣列通道間增益不一致，幅相不平衡等因素對(duì)后續(xù)信號(hào)處理的影響，具有很強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值［11，14-15］.

基于上述特點(diǎn)，本文將單通道陣列體制引入基于CS的DOA估計(jì)中.首先，將接收陣列中各陣元均連接一個(gè)0／π移相器，通過(guò)隨機(jī)變化各移相器的相位完成對(duì)空域的隨機(jī)采樣；其次，利用L路合路器將每個(gè)陣元加權(quán)后的接收信號(hào)合為一路信號(hào)輸出；最后，經(jīng)過(guò)單路射頻通道和A／D轉(zhuǎn)換器后輸出數(shù)字信號(hào)ys（t）：

式中，ψ＝［ψ1，…，ψL］為L(zhǎng)組0／π移相器隨機(jī)生成的加權(quán)系數(shù)矢量，ψi＝cos（0／π）.

圖1 單通道體制陣列模型

由于目標(biāo)在空間是稀疏的，根據(jù)目標(biāo)信號(hào)的時(shí)間相關(guān)性，設(shè)在M個(gè)快拍期間目標(biāo)未跨角度單元移動(dòng)，即si（t）與sj（t）（i≠j）非零元素位置相同，那么單通道陣列對(duì)感興趣目標(biāo)場(chǎng)景的M個(gè)快拍測(cè)量值可表示為

通過(guò)分析式（8）不難發(fā)現(xiàn)，采用單通道陣列對(duì)空間信號(hào)進(jìn)行接收，可看作采用測(cè)量矩陣Ψ對(duì)回波信號(hào)y（t）進(jìn)行隨機(jī)投影測(cè)量，并且感知矩陣Θ為元素服從伯努利分布的矩陣Ψ與逆傅里葉變換矩陣的乘積，在很大概率上滿(mǎn)足RIP條件，保證了采用壓縮感知重構(gòu)算法進(jìn)行DOA估計(jì)的有效性和穩(wěn)健性.

2 改進(jìn)的CS-DOA估計(jì)算法

基于CS的DOA估計(jì)方法主要有MOMP、MORMP以及RMFOCUSS等.一般情況下，即系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息匹配時(shí)，可利用上述方法直接優(yōu)化求解欠定性方程組獲得高分辨DOA估計(jì).在系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配情況下，上述方法無(wú)法克服失配誤差對(duì)DOA估計(jì)精度的影響，導(dǎo)致估計(jì)誤差增大.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種適用于系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配情況下的CS-DOA估計(jì)方法.該方法將DS算法和遺傳算法相結(jié)合對(duì)系統(tǒng)感知模型失配誤差和目標(biāo)角度信息交替迭代優(yōu)化，經(jīng)過(guò)有限次迭代后獲得有效的DOA估計(jì)結(jié)果，具體步驟如下：

步驟1：初始化迭代次數(shù).p＝0.β（p）＝0，［s（t）］（p）＝ΘHys（t）.

步驟2：當(dāng)?shù)恋趐＋1次時(shí)，經(jīng)前p次迭代后估計(jì)出的各參數(shù)分別記為［s（t）］（p）和β（p），則校正后的導(dǎo)向矢量矩陣為

由此，在感知矩陣Θ（p）＝ΨΦ（p）已知的條件下，利用DS算法重構(gòu)s（t）的結(jié)果為

式中μ是與噪聲有關(guān)的常量，并且當(dāng)μ＝（1＋η-1）時(shí)，s（t）能夠以較高的精度進(jìn)行重構(gòu)［16］，η為一個(gè)正實(shí)數(shù)，σ為式（8）中噪聲n的方差，vmax為Θ（p）中各列2范數(shù)的最大值.

需要指出，在低信噪比情況下，DS算法在抑制噪聲的同時(shí)也損失了部分目標(biāo)回波信號(hào)的能量，使得重構(gòu)目標(biāo)信號(hào)的幅值有所下降，故本文采用后向投影的方法對(duì)DS算法估計(jì)結(jié)果進(jìn)行校正：

步驟3：當(dāng)［s（t）］（p＋1）已知時(shí)，系統(tǒng)感知模型失配誤差β（p＋1）可通過(guò)求解一個(gè)最優(yōu)范數(shù)問(wèn)題進(jìn)行重構(gòu)：

需要說(shuō)明，步驟3中最小化式（12）的優(yōu)化問(wèn)題是典型的離散非線(xiàn)性多變量?jī)?yōu)化問(wèn)題.目前解決此類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題的方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，粒子群優(yōu)化法（Particle Swarm Optimization，PSO），模擬退火算法（Simulated Annealing，SA）和遺傳算法等.其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法通常收斂至局部最小值；PSO早期收斂速度較快，但到了尋優(yōu)的后期，其收斂速度減慢，且容易收斂到局部極小值；SA較好地解決了尋求最優(yōu)時(shí)陷入局部解的問(wèn)題，但增加了算法的復(fù)雜度；相比之下，遺傳算法仿照生物進(jìn)化和遺傳規(guī)律，遵循優(yōu)勝劣汰的自然進(jìn)化規(guī)則，對(duì)解空間不同區(qū)域的多個(gè)點(diǎn)進(jìn)行搜索，保證了在搜索過(guò)程中以最大概率尋找到全局最優(yōu)解，因此在實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用.本文采用遺傳算法求解式（12）的具體步驟如下：

步驟1：隨機(jī)產(chǎn)生若干個(gè)系統(tǒng)感知模型失配誤差矢量作為遺傳算法的初始化群體；

步驟2：以式（12）作為適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值；

步驟3：采用“輪盤(pán)賭”的方式，根據(jù)適應(yīng)度值來(lái)選擇優(yōu)良個(gè)體，同時(shí)將適應(yīng)度值最高的個(gè)體直接復(fù)制到下一代，保證最優(yōu)個(gè)體在遺傳過(guò)程中不丟失；

步驟4：以設(shè)定的交叉概率采用兩點(diǎn)交叉方法來(lái)產(chǎn)生新個(gè)體；

步驟5：以設(shè)定的變異概率在交叉后的種群中進(jìn)行變異產(chǎn)生后代；

步驟6：當(dāng)完成設(shè)定迭代次數(shù)或得到數(shù)學(xué)期望的適應(yīng)度值時(shí)，將最優(yōu)個(gè)體取出并進(jìn)行譯碼得到優(yōu)化后的系統(tǒng)感知模型失配誤差，算法結(jié)束，否則返回步驟2.

3 計(jì)算機(jī)仿真及分析

本節(jié)分別通過(guò)非相干信號(hào)和相干信號(hào)等信號(hào)模型，與傳統(tǒng)的CAPON算法、MUSIC算法以及RMFOCUSS算法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文方法的有效性.仿真中假設(shè)接收陣列的陣元個(gè)數(shù)為L(zhǎng)＝16，陣元間距在［0，Lλ／2］范圍內(nèi)均勻分布，陣列接收回波信號(hào)快拍數(shù)為M＝200，DOA估計(jì)均方根誤差為

實(shí)驗(yàn)1 非相干信號(hào)DOA估計(jì).假設(shè)角度分辨單元φ＝1°，當(dāng)信噪比RSN＝0dB，接收陣列各射頻通道一致性較好，多個(gè)非相干信號(hào)相對(duì)接收陣列的入射角分別 為［31.5°，37.3°，45.5°，50.2°］時(shí)，CAPON、MUSIC、RMFOCUSS算法以及本文方法的空域譜估計(jì)歸一化輸出結(jié)果對(duì)比如圖2所示.不同算法DOA估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化曲線(xiàn)的500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示.

由圖2可以看出：MUSIC算法和CAPON算法無(wú)法對(duì)目標(biāo)角度信息進(jìn)行高分辨估計(jì)；RMFOCUSS算法較傳統(tǒng)DOA估計(jì)方法具有更高的角度分辨力，然而系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配極大影響了該方法DOA估計(jì)的精度；相比之下，本文方法根據(jù)系統(tǒng)模型失配誤差的估計(jì)結(jié)果對(duì)系統(tǒng)感知模型進(jìn)行了校正，使得DOA估計(jì)精度得到了明顯的改善.通過(guò)對(duì)比圖3中各算法DOA估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線(xiàn)可以看出，在低信噪比條件下，由于本文方法迭代過(guò)程中采用后向投影的方式持續(xù)對(duì)DS估計(jì)結(jié)果進(jìn)行修正，提高了低信噪比下CS-DOA方法的適用性，并且通過(guò)抑制系統(tǒng)模型失配誤差，降低了系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配對(duì)DOA估計(jì)精度的影響，故較其他幾種方法具有更好的估計(jì)性能；RMFOCUSS算法稍差，但優(yōu)于傳統(tǒng)的MUSIC和CAPON算法，與圖1的結(jié)果相一致.

圖2 非相干信號(hào)的空域譜估計(jì)輸出

圖3 非相干信號(hào)DOA估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線(xiàn)

實(shí)驗(yàn)2 相干信號(hào)DOA估計(jì).假設(shè)本實(shí)驗(yàn)中多個(gè)目標(biāo)的RCS相關(guān)，信噪比RSN＝0dB，其他參數(shù)設(shè)置與實(shí)驗(yàn)1中非相干信號(hào)DOA估計(jì)的參數(shù)相同.圖4為不同算法的空域譜估計(jì)歸一化輸出結(jié)果對(duì)比.圖5為各算法對(duì)相干信號(hào)DOA估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線(xiàn)的500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比.從圖4可以看出：傳統(tǒng)DOA估計(jì)的MUSIC算法和CAPON算法在相干信號(hào)條件下，性能下降明顯，無(wú)法對(duì)目標(biāo)角度進(jìn)行高分辨估計(jì)；RMFOCUSS算法在相同條件下DOA估計(jì)性能存在一定程度的劣化，但是該算法較傳統(tǒng)算法譜估計(jì)輸出具有更窄的主峰和更低的旁瓣，優(yōu)于傳統(tǒng)DOA估計(jì)方法；本文方法通過(guò)對(duì)系統(tǒng)感知模型進(jìn)行校正，降低了系統(tǒng)模型失配誤差的影響，故較RMFOCUSS算法具有更高的估計(jì)精度.對(duì)比圖5中各算法DOA估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線(xiàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法在系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配的條件下，具有更高的角度分辨力以及更優(yōu)的DOA估計(jì)性能.

圖4 相干信號(hào)的空域譜估計(jì)輸出

圖6 射頻通道增益不一致時(shí)非相干信號(hào)的空域譜估計(jì)輸出

圖7 射頻通道增益不一致時(shí)非相干信號(hào)DOA估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線(xiàn)

實(shí)驗(yàn)3 射頻通道增益不一致時(shí)，非相干信號(hào)DOA估計(jì).假設(shè)本實(shí)驗(yàn)多個(gè)非相干信號(hào)相對(duì)接收陣列的入射角與實(shí)驗(yàn)1相同，接收陣列射頻通道間增益服從均值為1，方差為0.05的復(fù)高斯分布.圖6為各算法在RSN＝0dB時(shí)空域譜估計(jì)歸一化輸出結(jié)果對(duì)比.圖7為不同算法DOA估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化關(guān)系曲線(xiàn)的500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比.從圖6可以看出：MUSIC算法和CAPON算法在接收陣列通道間增益不一致時(shí)已經(jīng)無(wú)法進(jìn)行有效DOA估計(jì)；RMFOCUSS算法雖然較傳統(tǒng)DOA方法具有較更高的角度分辨力，但由于無(wú)法準(zhǔn)確抑制通道間的不同增益和系統(tǒng)模型失配誤差的干擾，導(dǎo)致DOA的估計(jì)精度下降非常明顯；相對(duì)而言，本文方法通過(guò)引入單通道陣列體制，有效避免了各通道間增益不一致對(duì)DOA估計(jì)的影響，并且采用改進(jìn)的DS算法提高了系統(tǒng)模型失配誤差存在時(shí)目標(biāo)角度信息的估計(jì)精度，保證了DOA估計(jì)的有效性.圖7中各算法DOA估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線(xiàn)也驗(yàn)證了本文方法在接收陣列各射頻通道增益不一致以及系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配等背景下，具有更優(yōu)的DOA估計(jì)性能和更好的穩(wěn)健性.

4 結(jié) 論

通過(guò)校正系統(tǒng)感知模型改善DOA估計(jì)性能是CS-DOA方法研究的一個(gè)重要方面，對(duì)于有效提高CS在實(shí)際中的適用性有著重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義.本文針對(duì)接收陣列射頻通道間不一致以及系統(tǒng)感知模型與目標(biāo)角度信息失配背景下CS-DOA估計(jì)性能下降的問(wèn)題，提出一種單通道陣列體制下的CSDOA估計(jì)算法.與常見(jiàn)DOA估計(jì)方法相比，該方法有效避免了接收陣列通道間增益不一致，幅相不平衡等因素對(duì)DOA估計(jì)性能的影響，且通過(guò)校正系統(tǒng)感知模型顯著降低了目標(biāo)角度信息的估計(jì)誤差.本文方法改善了多目標(biāo)波達(dá)方向的估計(jì)性能，增強(qiáng)了CS-DOA的有效性和穩(wěn)健性，具有較強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值.

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