求解多尺度目標電磁散射的積分方程快速算法

鄭宇騰 趙延文 賈苗苗 蔡強明 聶在平

（電子科技大學電子工程學院，四川 成都611731）

引 言

基于頻域表面電場積分方程（Electric Field Integral Equation，EFIE）的矩量法可用于許多電磁問題的求解.然而由于傳統(tǒng)矩量法的計算復雜度高，對于大未知量問題需要采用快速算法以降低計算復雜度.多層快速卡特森展開算法（Multilevel Accelerated Cartesian Expansion Algorithm，MLACEA）［1］是一種更適合于模擬電小尺寸目標電磁散射／輻射問題的快速算法.該算法與多層快速多極子算法（Multilevel Fast Multipole Algorithm，MLFMA）［2-4］相似，采用了基于八叉樹結構對基函數進行分組，將矩矢相乘分解為聚合、轉移、配置的三個過程以降低計算復雜度；而不同之處在于采用了卡特森張量來展開格林函數［5-6］.卡特森張量展開是三元函數泰勒展開的張量表達形式，適用于小宗量的函數展開，并可通過調整張量的階數來控制展開精度.對于電大目標的電磁問題，由于格林函數的宗量較大該方法無法求解.

另一方面，在傳統(tǒng)的MLFMA算法中，對于含有精細結構的電大目標的電磁散射／輻射問題，為避免快速算法的低頻不穩(wěn)定現象［7］，MLFMA算法的最細層分組大小一般要求不能小于0.25個波長.這樣，在目標被精細剖分（如低頻問題或具有精細結構）的情況下，MLFMA算法的單個分組內未知量數目會顯著上升、導致計算量及內存開銷增大.因而，若采用MLFMA算法與MLACEA算法的混合算法可大幅度降低求解多尺度問題的計算復雜度［8］.

1 多層快速卡特森展開算法

假設S為位于均勻背景介質（通常選取為自由空間）中的理想導體表面，入射電場為Einc（r）.利用導體表面上切向電場所滿足的邊界條件，可得到理想導體表面S上感應電流J（r）所滿足的混合位電場積分方程，

而標量格林函數G（r，r′）為

式中

為了降低電場積分方程矩量法的計算復雜度，可采用MLACEA及其與MLFMA的混合算法MLACEA-MLFMA算法，該算法基于八叉樹結構對目標進行多層遞推分組.最細層分組盒子邊長可按照實際需求（如最細層分組內的平均未知量數目等）設置，算法不會出現低頻不穩(wěn)定問題，更適合于求解包括含精細結構的多尺度目標電磁散射／輻射問題.

利用卡特森張量可將任意標量函數ψ（r-r′）展開為

式中，▽（q）表示關于r的q次復合梯度算子，它將所作用的標量函數映射成為一個q階張量函數.而A（p＋q）·q·B（q）則表示張量A（p＋q）與張量B（q）之間的張量壓縮運算，張量r′（q）以及張量▽（q）G（r，r′）均為完全對稱張量.

式中，Anear、Φnear和Afar、Φfar分別表示對應于標量位和矢量位的近區(qū)及遠區(qū)場源組對之間的阻抗矩陣.利用（9）可以將遠區(qū)場源組對對矩陣與矢量乘積的貢獻）表示為

而標量位對應的聚合因子、配置因子及聚合量分別為

2 MLACEA-MLFMA混合算法

在MLFMA算法中，遠區(qū)組作用對矩矢相乘的貢獻Vfar可以表示為

而快速多極子的配置因子

設映射張量Tmap（p·R）為，

在此基礎上再結合MLFMA的遞推公式（21）～（22），即可構建完整的MLACEA-MLFMA混合算法.

3 數值計算結果

通過數值算例來對比分析混合算法的精度與計算效率.計算平臺采用Intel Core-i5處理器，主頻3.0GHz，內存8GB，采用單精度浮點數計算.在以下各例子中，矩陣方程均采用收斂門限為0.01的廣義最小殘差迭代法求解.

第一個實例為半徑為1.5個波長的理想導體球，基函數總數為12.8萬.入射波沿＋z方向傳播、電場極化沿x軸方向.采用3層的MLFMA算法、而MLACEA-MLFMA混合算法則是在MLFMA算法基礎上再細分一層，且MLACEA算法采用4階卡特森張量展開.表1對比了MLFMA算法和MLACEA-MLFMA混合算法的計算復雜度，圖1對比分析了MLFMA算法和MLACEA-MLFMA混合算法所計算的雙站雷達散射截面積.由表1和圖1可以看出，與單獨采用MLFMA算法相比，混合算法顯著地降低了內存需求，加快了附近組的阻抗矩陣填充和矩陣與矢量乘積的計算速度.

表1 MLFMA與MLACEA-MLFMA的計算復雜度對比

圖1 兩種方法計算理想導體球雙站雷達散射截面積結果對比

第二個例子結合實際應用，以載體天線陣列一體化模型的散射計算作為實例.載體及天線單元尺寸如圖2所示，天線陣列為8×8的Vivaldi天線陣.由于天線陣列較載體的復雜程度高，因而在剖分時對載體采用邊長約為0.125稀疏網格剖分出11 722個三角單元，而對天線以邊長約為0.025λ的高密度網格剖分出21 750個三角單元，總未知量為48 963.平面波傳播方向平行于xoz面，與＋z軸夾角θ＝135°，電場極化沿y軸方向.從表2統(tǒng)計的計算開銷對比可以看出，MLACEA-MLFMA通過細分底層盒子，減少了近區(qū)組元素，因而在近區(qū)組阻抗矩陣的計算時間與總內存消耗上都遠遠小于MLFMA方法.另外，對比前一算例可以看出，多尺度網格對近區(qū)組計算時間及內存開銷的影響相當劇烈.圖3的雙站雷達散射截面積對比可以反應出，混合形式的快速算法在計算實際工程問題時依然能夠具有與MLFMA方法相當的計算精度.并且為提高矩陣矢量相乘的計算效率，該算例雖僅采用了3階的卡特森張量展開，但依然能保證計算結果的準確性.

圖2 車載天線陣列模型示意圖

表2 MLFMA與MLACEA-MLFMA的計算復雜度對比

圖3 兩種方法計算車載天線陣列模型雙站雷達散射截面積結果對比

4 結 論

詳細闡述了多層快速卡特森展開算法（MLACEA）及其與多層快速多級子算法（MLFMA）的混合算法MLACEA-MLFMA.MLACEA算法大幅度降低了精細剖分網格條件下積分方程矩量法的計算復雜度；而MLACEA-MLFMA混合算法能夠更高效地模擬含精細結構的電大尺寸目標（寬帶）電磁散射及輻射問題.

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