傅里葉分析的發(fā)展與現(xiàn)狀

曾海東+韓峰+劉瑤琳

摘 要： 在計(jì)算機(jī)技術(shù)的支持下傅里葉分析得到了充分的發(fā)展。離散傅里葉變換（DFT）奠定了工程應(yīng)用的基礎(chǔ)； 快速傅里葉變換（FFT）使其進(jìn)入到了實(shí)用階段。21世紀(jì)以來(lái)，高速微處理器使得速度不再是制約傅里葉分析的主要因素。由于高端科技對(duì)高準(zhǔn)確度分析的需求，解決非同步采樣條件下頻譜誤差問(wèn)題成了現(xiàn)階段最為迫切的任務(wù)。已有頻譜校正成果采用了基本傅里葉理論以外的技術(shù)方法，開(kāi)啟了一個(gè)以尋求普適性頻譜分析方法為目標(biāo)、DFT后方法為主的發(fā)展方向。

關(guān)鍵詞： 傅里葉分析； DFT/FFT； DFT頻譜校正； 參數(shù)估計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)： TN911.7?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）03?0144?04

Development and current situation of Fourier analysis

ZENG Hai?dong， HAN Feng， LIU Yao?lin

（Collage of Mechanical Engineering， Inner Mongolia University of Technology， Huhhot 010051， China）

Abstract： With the support of computer technology， Fourier analysis has been fully developed. Discrete Fourier transform （DFT） lays the foundation of engineering application. The fast Fourier transform （FFT） lead it to applicable stage. Since 21st century， speed is no longer the main factor restricting the application of Fourier analysis owing to the development of high speed microprocessor. In order to satisfy the requirement of sophisticated techniques for high accuracy analysis， solving spectrum error under asynchronous sampling has become the most urgent task at present. Some techniques beyond the basic Fourier theory have been adopted in current spectrum correction works， which implies a post?DFT developing direction for seeking universal spectrum analysis method.

Keywords： Fourier analysis； DFT/FFT； DFT spectrum correction； parameter estimation

0 引 言

傅里葉分析已有200多年的歷史，目前FFT及其校正算法在工程實(shí)際中仍在廣泛應(yīng)用，展現(xiàn)了其不竭的生命力。從傅里葉分析的概念提出，理論完善到面向工程應(yīng)用以及各種頻譜分析技術(shù)的出現(xiàn)，每一次里程碑式的跨越，都以計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為推動(dòng)力。傅里葉分析方法發(fā)展到目前已經(jīng)在信號(hào)處理、圖像處理、電力和通信等領(lǐng)域獲得極為廣泛的應(yīng)用，但是由于傅里葉頻譜分析理論一直無(wú)法解決非同步采樣信號(hào)的分析問(wèn)題，這就迫使該領(lǐng)域的學(xué)者必須以一個(gè)新的角度來(lái)審視這一現(xiàn)狀，嘗試傅氏理論體系以外的技術(shù)方法，只有這樣才能為今后離散傅里葉分析方法注入新的活力，改變當(dāng)前高準(zhǔn)確度頻譜分析方法進(jìn)展緩慢的狀態(tài)。

1 傅里葉分析理論的確立

傅里葉（J.Fourier，1768?1830），法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，早在1807年就寫(xiě)成關(guān)于熱傳導(dǎo)的基本論文《熱的傳播》，其中最大的創(chuàng)新點(diǎn)是用正弦曲線(xiàn)來(lái)描述溫度的分布。文中有個(gè)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)的周期信號(hào)都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€(xiàn)組合而成。當(dāng)時(shí)審查這篇論文的著名數(shù)學(xué)家拉格朗日，認(rèn)為這種方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，因此否定了傅里葉的工作。

1811年傅里葉又提交了經(jīng)過(guò)修改的論文，推導(dǎo)出了著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)的級(jí)數(shù)表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)這一論斷。傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換理論均由此創(chuàng)立。1822年，傅里葉終于出版了專(zhuān)著《熱的解析理論》。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級(jí)數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級(jí)數(shù)后來(lái)就以傅里葉的名字命名[1]。

2 離散傅里葉分析方法的提出

DFT的提出是傅里葉分析發(fā)展的第一個(gè)里程碑，它使得有限長(zhǎng)的離散信號(hào)可以被變換到頻域處理。DFT經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的理論研究階段，主要由兩個(gè)原因造成：DFT算法計(jì)算量較大；當(dāng)時(shí)的硬件技術(shù)水平有限，無(wú)法完成如此大規(guī)模的計(jì)算。電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及其發(fā)展有力地推動(dòng)了DFT算法的工程應(yīng)用。本文將結(jié)合電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展所經(jīng)歷的四個(gè)時(shí)期來(lái)概括DFT的發(fā)展過(guò)程。

從硬件上劃分，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展大概經(jīng)歷了電子管、晶體管、集成電路和大規(guī)模集成電路四個(gè)時(shí)代[2]。

第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)誕生于在二戰(zhàn)期間，于1946年問(wèn)世，當(dāng)時(shí)取名為ENIAC電子數(shù)字積分器和計(jì)算機(jī)[3]，整機(jī)約有18 000個(gè)電子管，這個(gè)占地面積達(dá)170 m2、重達(dá)30 t的龐然大物，進(jìn)行加法運(yùn)算需要0.2 ms，乘法運(yùn)算需要0.8 ms。若不計(jì)計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)存取過(guò)程消耗的時(shí)間，單從運(yùn)算所消耗的時(shí)間來(lái)衡量，做一次1 024點(diǎn)的DFT運(yùn)算就需要一個(gè)多小時(shí)。并且由于第一代計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)是，操作指令是為特定任務(wù)而編制的二進(jìn)制機(jī)器碼，每種機(jī)器有各自不同的機(jī)器語(yǔ)言， DFT運(yùn)算的機(jī)器化根本無(wú)法實(shí)現(xiàn)。當(dāng)時(shí)的計(jì)算機(jī)主要用于科學(xué)研究和工程計(jì)算，功能的單一性使得在當(dāng)時(shí)的硬件條件下DFT應(yīng)用可望而不可即。

第二代電子計(jì)算機(jī)的內(nèi)部元件使用的是晶體管。1954年美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室研制出第一臺(tái)晶體管計(jì)算機(jī)TRADIC，該機(jī)裝有大約800只晶體管，進(jìn)行加法計(jì)算降低到了15 μs。晶體管比電子管小得多，處理更迅速、更可靠。此時(shí)的電子計(jì)算機(jī)主要用于商業(yè)、大學(xué)教學(xué)和政府機(jī)關(guān)。這個(gè)時(shí)期出現(xiàn)了一些高級(jí)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，以單詞、語(yǔ)句和數(shù)學(xué)公式代替了二進(jìn)制機(jī)器碼，使計(jì)算機(jī)編程更容易。計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的高級(jí)化是后期DFT算法實(shí)現(xiàn)的重要基礎(chǔ)。1958年集成電路誕生，更多的元件可以被集成到單一的半導(dǎo)體芯片上。于是，計(jì)算機(jī)變得更小，功耗更低，速度更快。1953年，美國(guó)IBM公司開(kāi)始批量生產(chǎn)用于科研的大型計(jì)算機(jī)，從此電子計(jì)算機(jī)走上了工業(yè)生產(chǎn)階段。1964年4月7日，美國(guó)IBM公司研制成世界上第一個(gè)采用集成電路的通用計(jì)算機(jī)系列IBM360，加法平均周期是8 μs，這標(biāo)志著第三代電子計(jì)算機(jī)已經(jīng)成型。不計(jì)讀取指令消耗的時(shí)間，運(yùn)行一次1 024點(diǎn)DFT至少需要128 s，基本解決了一般的離線(xiàn)應(yīng)用問(wèn)題。

3 快速傅里葉算法及其應(yīng)用

20世紀(jì)60年代初，在Garwin的研究中迫切需要解決快速傅里葉變換的問(wèn)題，而Turkey正在做該方面的研究，他概括地對(duì)Garwin介紹了一種方法，實(shí)質(zhì)上就是后來(lái)著名的Cooley?Turkey算法，在Garwin的迫切要求下，1963年，IBM公司的Cooley根據(jù)Turkey的想法編寫(xiě)了第一個(gè)FFT算法程序[4]。1965年Cooley、Turkey在Mathematic of Computation 雜志上發(fā)表了著名的“An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series” [5]，提出一種快速計(jì)算DFT的方法和計(jì)算機(jī)程序，揭開(kāi)了FFT發(fā)展史上的第一頁(yè)。該算法使得1 024個(gè)點(diǎn)的DFT運(yùn)算時(shí)間降到了原來(lái)的[1100，]為傅里葉分析方法賦予了新的生命力，之后被廣泛地應(yīng)用于工程技術(shù)領(lǐng)域中，所以FFT是傅里葉分析方法發(fā)展的第二個(gè)輝煌的里程碑。

在FFT提出時(shí)，算法速度依然是制約離散傅里葉變換方法工程應(yīng)用的主要因素，從FFT的提出到70年代中期，該領(lǐng)域?qū)W者依然集中在提高算法速度的一系列研究上，其思路基本延續(xù)了FFT算法的思路，主要包括時(shí)間軸取基2算法[5]、頻域抽取基2算法[6]、基4算法等。

4 頻譜校正技術(shù)的誕生與演化

在眾多該領(lǐng)域研究者致力于算法速度提升的同時(shí)，有部分學(xué)者注意到DFT在非同步采樣時(shí)存在誤差。以單頻信號(hào)為例，如果將離散數(shù)據(jù)序列直接進(jìn)行頻譜分析，其幅值最大誤差可達(dá)36.4%，相位最大誤差高達(dá)90°，頻率最大誤差為±0.5個(gè)頻率分辨率。于是這部分學(xué)者開(kāi)始了對(duì)DFT頻譜校正方法的研究：Rife和Vincent在1970年首次提出快速插值傅里葉算法（IFFT），單頻信號(hào)的幅值校正精度可達(dá)10-3，頻率精度可達(dá)[7]0.001[Δf。]插值法對(duì)后續(xù)DFT頻譜校正理論的發(fā)展影響巨大，至今仍然有人在研究其改進(jìn)型算法，插值法的提出標(biāo)志著頻譜校正方法研究悄悄地拉開(kāi)帷幕，它是在DFT頻譜獲得后對(duì)其進(jìn)行處理，即稱(chēng)為DFT后頻譜分析方法，這使得離散傅里葉分析方法的分析精度顯著提高，使傅里葉分析理論又向前邁了一步。

第四代計(jì)算機(jī)在70年代初問(wèn)世，采用大規(guī)模集成電路制造。高度的集成化使得計(jì)算機(jī)的中央處理器和其他主要功能可以集中到同一塊集成電路中，這就是人們常說(shuō)的“微處理器”。1971年英特爾公司研制成第一臺(tái)微處理器“4004芯片”，將2 300個(gè)晶體管集成在面積僅為4.2 mm×3.2 mm的芯片上。從此微處理器的發(fā)展進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期。1981年，IBM以Intel8088為CPU的個(gè)人計(jì)算機(jī)問(wèn)世，開(kāi)創(chuàng)了今天的“微機(jī)”時(shí)代。微處理器的問(wèn)世真正實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)技術(shù)向各領(lǐng)域的滲透。計(jì)算速度的飛速發(fā)展是后續(xù)DFT算法由速度研究慢慢轉(zhuǎn)向精度研究的一個(gè)重要原因。

在20世紀(jì)70年代中期到80年代中期，對(duì)提高DFT算法速度的研究達(dá)到了一個(gè)巔峰，這個(gè)時(shí)期里主要以Good開(kāi)創(chuàng)的算法[8]為主導(dǎo)，在該算法的基礎(chǔ)上，一維DFT可映射成多維DFT[9]，美國(guó)數(shù)學(xué)家Winograd設(shè)計(jì)了計(jì)算這個(gè)多維DFT的方法[10]，也就是現(xiàn)在的Winograd Fourier變換算法（WFTA），這曾對(duì)DFT算法研究產(chǎn)生過(guò)重大影響，其所需要的乘法次數(shù)大約是基2FFT所需乘法次數(shù)的[13，]此時(shí)基2類(lèi)算法仍在繼續(xù)發(fā)展，在實(shí)踐中由于WFTA算法并不像人們預(yù)期的那樣有效，人們又轉(zhuǎn)回來(lái)研究基2類(lèi)算法，這也是FFT發(fā)展的第三個(gè)時(shí)期。

在這個(gè)期間，研究頻譜誤差校正技術(shù)的學(xué)者們也越來(lái)越多，新的成果陸續(xù)發(fā)表，1975年，John C. Burges等從事電學(xué)領(lǐng)域研究工作的學(xué)者采用插值法[11]對(duì)加矩形窗的離散化頻譜進(jìn)行了校正， 解決了電學(xué)中的離散高次諧波參數(shù)的精確測(cè)量問(wèn)題。1983年，Thomas Grandke首次提出加窗插值算法，使頻譜分析精度大大提高[12]。對(duì)單頻信號(hào)的分析精度，最大幅值精度小于10-4，頻率誤差小于[0.000 1Δf，]相位誤差小于1°。

從20世紀(jì)80年代中期到20世紀(jì)90年代中期是個(gè)過(guò)渡階段，電子計(jì)算機(jī)的硬件的發(fā)展步入了大規(guī)模集成電路時(shí)期，1985年，Intel386型芯片可進(jìn)行多任務(wù)處理。微軟首次發(fā)布Windows操作系統(tǒng)，這個(gè)時(shí)期計(jì)算機(jī)的速度已近發(fā)展到每秒以?xún)|次來(lái)計(jì)了，計(jì)算機(jī)硬件的發(fā)展極大地推動(dòng)了計(jì)算的實(shí)時(shí)性的實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，離散頻譜分析研究領(lǐng)域的研究重點(diǎn)大部分轉(zhuǎn)移到DFT分析的精度上了。除了繼承前期經(jīng)典的加窗插值校正方法外，又有一些新的技術(shù)方法產(chǎn)生。1993年丁康和謝明提出了三點(diǎn)卷積法，1994年，謝明、丁康等提出和發(fā)展了比值頻譜校正法[13]，使內(nèi)插法系統(tǒng)地成為一種通用的頻譜校正方法。20世紀(jì)90年代中期，科技進(jìn)步對(duì)計(jì)算機(jī)發(fā)展產(chǎn)生了極大的推動(dòng)力，運(yùn)行一次1 024點(diǎn)的FFT需要3 ms。直到今天，運(yùn)行一次這樣的運(yùn)算所花費(fèi)的時(shí)間已經(jīng)降到了微秒級(jí)。近幾年，工業(yè)生產(chǎn)對(duì)頻譜分析精度的要求也越來(lái)越高，促使一大批學(xué)者致力于頻譜誤差的研究。研究的信號(hào)也越來(lái)越豐富，涉及的行業(yè)和領(lǐng)域也越來(lái)越廣。校正信號(hào)種類(lèi)也由以前的單頻信號(hào)發(fā)展到多頻信號(hào)。1995年劉進(jìn)明、應(yīng)懷樵對(duì)FFT譜的局部頻譜進(jìn)行細(xì)化分析，提出了FFT+FT法[14]，通過(guò)該方法對(duì)三個(gè)頻率成分（頻率間隔較遠(yuǎn)）的信號(hào)進(jìn)行校正，頻率誤差小于0.1%，幅值誤差在0.5%左右，相位誤差在0.5°之內(nèi)。1996年Andria和他的同事進(jìn)一步將內(nèi)插法擴(kuò)展到非穩(wěn)態(tài)信號(hào)的瞬時(shí)估計(jì)中。2001年丁康、朱利民等發(fā)展了能量重心校正法。2005年吳國(guó)喬， 王兆華和黃曉紅提出了離散頻譜的全相位校正法。2007年丁康、楊志堅(jiān)和曹翌提出了相位差法+單點(diǎn)FT法。2007年秦樹(shù)人等提出頻域抽取法。2008年陳奎孚等人提出了低頻信號(hào)的一種DFT頻譜校正新方法[15]，在低頻信號(hào)條件下（周期數(shù)從1到8，步長(zhǎng)0.02），進(jìn)行單頻信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明幅值誤差上限不超過(guò)0.3%，相位誤差不超過(guò)0.3°。這些成果表明DFT后頻譜分析方法進(jìn)入到了百花齊放的階段，但是由于傅里葉頻譜分析理論的缺失而造成的頻譜誤差問(wèn)題仍未徹底消除。

5 結(jié) 語(yǔ)

為了克服DFT對(duì)同步采樣的不適應(yīng)性，在先前的30年里嘗試了許多的DFT頻譜校正方法，但是仍存在以下問(wèn)題：

（1） 信號(hào)適用性差。多數(shù)校正方法僅適用于單頻信號(hào)，或者間隔較遠(yuǎn)的多頻信號(hào)（實(shí)際上是將間隔較遠(yuǎn)的多頻信號(hào)分別按單頻信號(hào)校正）；在極端信號(hào)條件下（極近頻率、極低頻率和低信噪比）還存在許多不足[16]。

（2） 無(wú)法徹底解決頻譜干涉問(wèn)題[17]]。這也是現(xiàn)有校正方法針對(duì)一些特殊信號(hào)無(wú)法有效使用的主要原因。顯然，目前信號(hào)頻譜分析的水平與現(xiàn)代高端科學(xué)技術(shù)的要求越來(lái)越不適應(yīng)。面對(duì)這一現(xiàn)狀，雖然可以通過(guò)頻譜細(xì)化等手段來(lái)盡量降低譜線(xiàn)干涉對(duì)頻譜準(zhǔn)確度的影響，但無(wú)法從譜線(xiàn)的構(gòu)成機(jī)理上徹底消除該誤差，因而制約了高準(zhǔn)確度頻譜分析技術(shù)的發(fā)展。

展望未來(lái)DFT頻譜校正技術(shù)的發(fā)展，預(yù)期最有效的方法是通過(guò)建立模型來(lái)實(shí)現(xiàn)干涉成分的徹底分離，進(jìn)而給出高準(zhǔn)確度的DFT頻譜。通過(guò)建立解析模型實(shí)現(xiàn)理論上的精確求解，達(dá)到徹底消除柵欄效應(yīng)和譜線(xiàn)干涉誤差的目的。已有學(xué)者開(kāi)始了這方面的研究[15，18，19]。從工程實(shí)用角度來(lái)看，這些方法還存在實(shí)時(shí)性差的問(wèn)題，但從理論上開(kāi)啟了一個(gè)新的研究方向。

總體來(lái)講，DFT后頻譜分析理論將得到新的突破，并終將獲得能夠消除頻譜誤差、信號(hào)適應(yīng)性強(qiáng)的普適性的頻譜分析方法。

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5 結(jié) 語(yǔ)

為了克服DFT對(duì)同步采樣的不適應(yīng)性，在先前的30年里嘗試了許多的DFT頻譜校正方法，但是仍存在以下問(wèn)題：

（1） 信號(hào)適用性差。多數(shù)校正方法僅適用于單頻信號(hào)，或者間隔較遠(yuǎn)的多頻信號(hào)（實(shí)際上是將間隔較遠(yuǎn)的多頻信號(hào)分別按單頻信號(hào)校正）；在極端信號(hào)條件下（極近頻率、極低頻率和低信噪比）還存在許多不足[16]。

（2） 無(wú)法徹底解決頻譜干涉問(wèn)題[17]]。這也是現(xiàn)有校正方法針對(duì)一些特殊信號(hào)無(wú)法有效使用的主要原因。顯然，目前信號(hào)頻譜分析的水平與現(xiàn)代高端科學(xué)技術(shù)的要求越來(lái)越不適應(yīng)。面對(duì)這一現(xiàn)狀，雖然可以通過(guò)頻譜細(xì)化等手段來(lái)盡量降低譜線(xiàn)干涉對(duì)頻譜準(zhǔn)確度的影響，但無(wú)法從譜線(xiàn)的構(gòu)成機(jī)理上徹底消除該誤差，因而制約了高準(zhǔn)確度頻譜分析技術(shù)的發(fā)展。

展望未來(lái)DFT頻譜校正技術(shù)的發(fā)展，預(yù)期最有效的方法是通過(guò)建立模型來(lái)實(shí)現(xiàn)干涉成分的徹底分離，進(jìn)而給出高準(zhǔn)確度的DFT頻譜。通過(guò)建立解析模型實(shí)現(xiàn)理論上的精確求解，達(dá)到徹底消除柵欄效應(yīng)和譜線(xiàn)干涉誤差的目的。已有學(xué)者開(kāi)始了這方面的研究[15，18，19]。從工程實(shí)用角度來(lái)看，這些方法還存在實(shí)時(shí)性差的問(wèn)題，但從理論上開(kāi)啟了一個(gè)新的研究方向。

總體來(lái)講，DFT后頻譜分析理論將得到新的突破，并終將獲得能夠消除頻譜誤差、信號(hào)適應(yīng)性強(qiáng)的普適性的頻譜分析方法。

參考文獻(xiàn)

[1] 武娜.傅里葉級(jí)數(shù)的起源和發(fā)展[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2008.

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[15] 陳奎孚，王建立，張森文.低頻成分的頻譜校正[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2008，21（1）：38?42.

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[17] 丁康，謝明，楊志堅(jiān).離散頻譜分析校正理論與技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[18] PROVENCHER S. Estimation of complex single?tone parameters in the DFT domain [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2010， 58（7）： 3879?3883.

[19] HAN F， MEI X， CUI H. Parameter estimation of multi?frequency signal based on 2D?spectrum [C]// Proceedings of 2010 International Conference on Computer Design and Applications. Qinhuangdao， China： ICCDA， 2010， V1： 269?272.

5 結(jié) 語(yǔ)

為了克服DFT對(duì)同步采樣的不適應(yīng)性，在先前的30年里嘗試了許多的DFT頻譜校正方法，但是仍存在以下問(wèn)題：

（1） 信號(hào)適用性差。多數(shù)校正方法僅適用于單頻信號(hào)，或者間隔較遠(yuǎn)的多頻信號(hào)（實(shí)際上是將間隔較遠(yuǎn)的多頻信號(hào)分別按單頻信號(hào)校正）；在極端信號(hào)條件下（極近頻率、極低頻率和低信噪比）還存在許多不足[16]。

（2） 無(wú)法徹底解決頻譜干涉問(wèn)題[17]]。這也是現(xiàn)有校正方法針對(duì)一些特殊信號(hào)無(wú)法有效使用的主要原因。顯然，目前信號(hào)頻譜分析的水平與現(xiàn)代高端科學(xué)技術(shù)的要求越來(lái)越不適應(yīng)。面對(duì)這一現(xiàn)狀，雖然可以通過(guò)頻譜細(xì)化等手段來(lái)盡量降低譜線(xiàn)干涉對(duì)頻譜準(zhǔn)確度的影響，但無(wú)法從譜線(xiàn)的構(gòu)成機(jī)理上徹底消除該誤差，因而制約了高準(zhǔn)確度頻譜分析技術(shù)的發(fā)展。

展望未來(lái)DFT頻譜校正技術(shù)的發(fā)展，預(yù)期最有效的方法是通過(guò)建立模型來(lái)實(shí)現(xiàn)干涉成分的徹底分離，進(jìn)而給出高準(zhǔn)確度的DFT頻譜。通過(guò)建立解析模型實(shí)現(xiàn)理論上的精確求解，達(dá)到徹底消除柵欄效應(yīng)和譜線(xiàn)干涉誤差的目的。已有學(xué)者開(kāi)始了這方面的研究[15，18，19]。從工程實(shí)用角度來(lái)看，這些方法還存在實(shí)時(shí)性差的問(wèn)題，但從理論上開(kāi)啟了一個(gè)新的研究方向。

總體來(lái)講，DFT后頻譜分析理論將得到新的突破，并終將獲得能夠消除頻譜誤差、信號(hào)適應(yīng)性強(qiáng)的普適性的頻譜分析方法。

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[17] 丁康，謝明，楊志堅(jiān).離散頻譜分析校正理論與技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

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[19] HAN F， MEI X， CUI H. Parameter estimation of multi?frequency signal based on 2D?spectrum [C]// Proceedings of 2010 International Conference on Computer Design and Applications. Qinhuangdao， China： ICCDA， 2010， V1： 269?272.