高等數(shù)學(xué)思想方法在高職工科專(zhuān)業(yè)技能中的應(yīng)用探索

張學(xué)茂，李濱恩，王大增

（泰州學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 泰州 225300）

高職院校是為社會(huì)培養(yǎng)所需的技術(shù)型應(yīng)用人才，要求具有寬廣的技術(shù)理論基礎(chǔ)，同時(shí)要求掌握一定的技能。圍繞這一培養(yǎng)目標(biāo)，許多專(zhuān)家學(xué)者從教材建設(shè)、教學(xué)內(nèi)容、師資隊(duì)伍建設(shè)、學(xué)習(xí)模塊等方面給出了不少真知灼見(jiàn)[1-4]。從這些文獻(xiàn)中可看出，高等數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)課程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生專(zhuān)業(yè)技能的功效研究尚處于初始階段。專(zhuān)業(yè)技能是指掌握應(yīng)用專(zhuān)業(yè)技術(shù)的能力。要掌握專(zhuān)業(yè)技能關(guān)鍵在于對(duì)相關(guān)專(zhuān)業(yè)技能的認(rèn)知、理解，要知道為什么這樣做[5]。本課題組通過(guò)大量的實(shí)踐，充分意識(shí)到高等數(shù)學(xué)思想方法在專(zhuān)業(yè)技能實(shí)踐中有著重要的應(yīng)用，它能培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生認(rèn)知與理解相關(guān)專(zhuān)業(yè)技能的本質(zhì)屬性提供了必要的理論與思考決策。數(shù)學(xué)思想方法是指對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，并應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的策略和程序[4]。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中奠基性和總結(jié)性思維成果。高等數(shù)學(xué)作為一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，不僅體現(xiàn)在工具性，更應(yīng)體現(xiàn)其思想方法對(duì)相應(yīng)專(zhuān)業(yè)技能的引導(dǎo)。極限思想、微積分思想、矩陣思想、函數(shù)方程思想、概率統(tǒng)計(jì)思想等數(shù)學(xué)思想方法在高職工科專(zhuān)業(yè)技能中均有著廣泛的應(yīng)用，為學(xué)生的專(zhuān)業(yè)技能實(shí)踐提供有效的活動(dòng)策略。

一、應(yīng)用極限思想探索終極目標(biāo)

極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。表示某個(gè)無(wú)限的變化過(guò)程的終極狀態(tài)，它思想揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律的應(yīng)用。借助極限思想，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線(xiàn)形認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)形，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變，從近似認(rèn)識(shí)精確。

例1（投資問(wèn)題）：國(guó)家向某企業(yè)投資200萬(wàn)元，這家企業(yè)將投資作為抵押品同銀行貸款，得到相當(dāng)于抵押品的90%的貸款，該企業(yè)將這筆貸款再次進(jìn)行投資，并又將投資作為抵押向銀行貸款，得到相當(dāng)于抵押品90%，企業(yè)又將新貸款進(jìn)行再投資，如此反復(fù)擴(kuò)大再投資，問(wèn)實(shí)際效果相當(dāng)于國(guó)家投資多少萬(wàn)元所產(chǎn)生的直接效果？

分析：企業(yè)的投資是一個(gè)無(wú)限變化的過(guò)程，而結(jié)果是要顯示顯示其終極狀態(tài)，故將該企業(yè)每次投資額依次排隊(duì)，形成無(wú)窮等比數(shù)列 200, 200× 90%,…200 × 90%n-1…

設(shè)Tn為第n次前投資總額，T表示所有的總投資額，

由分析易知：當(dāng)n→∞時(shí)Tn→T

例 2：（電路信號(hào)）求正弦信號(hào) x (t )= Asin(? t)的均值μx，方差和均方差，說(shuō)明他們間的關(guān)系并驗(yàn)證。

分析：電路信號(hào)問(wèn)題體現(xiàn)了其過(guò)程變化的無(wú)限性，而主要研究的是其最終的狀態(tài)。因此應(yīng)用極限思想，構(gòu)建起相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，探求出相應(yīng)的頻譜函數(shù)，進(jìn)而分析出信號(hào)的頻域。

解：由極限與連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)周期T趨于無(wú)窮時(shí)，周期信號(hào)x(t)等價(jià)于瞬態(tài)信號(hào)。

極限思想方法本質(zhì)上是一種主觀意識(shí)不斷尋求客觀突破的思維過(guò)程，融分析、邏輯推理、綜合、拆解重組于一體，是一種層次較高的綜合技能。數(shù)控專(zhuān)業(yè)中車(chē)床刀口的切入點(diǎn)、會(huì)計(jì)學(xué)中的投資與管理等技能中都要運(yùn)用極限的思想方法。因此對(duì)于許多專(zhuān)業(yè)技能中有關(guān)過(guò)程不斷變化而要探求其終極目標(biāo)的問(wèn)題，均可通過(guò)求相應(yīng)關(guān)系（式）的極限，使一些抽象的復(fù)雜問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化，可達(dá)到事半功倍之效果。

二、應(yīng)用微積分思想打造微元變量

微積分思想方法的是利用“微元”化刻畫(huà)一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的變化快慢速度，為求出某一時(shí)刻的量，用局部“以勻代非勻”求得這個(gè)量的近似值，然后再通過(guò)取極限的方法實(shí)現(xiàn)從近似到精確的過(guò)渡。是為了解決客觀實(shí)際中諸如“變與不變”、“勻與非勻”、“直與曲”等問(wèn)題的過(guò)程中產(chǎn)生的思想方法[6]，其本質(zhì)是局部微元化、線(xiàn)性化的思想[7]。

例 3（液體壓力問(wèn)題）設(shè)一個(gè)水閘門(mén)呈等腰三角形，長(zhǎng)為3m的上邊平行于水面，且距水面4m，高為2m，求閘門(mén)一側(cè)抽受到的水的壓力。

分析：閘門(mén)所受的壓力因水深不同而顯示不同的壓力，具體到每一細(xì)微的小分割，其所受的壓力可求出，再把各細(xì)微分割的壓力相加，可得到閘門(mén)所受壓力的近似值，這就是微積分中的微元思想。

例4（流體混合問(wèn)題）一容器中盛有鹽水100升，含鹽50克?，F(xiàn)將濃度為2g/l的鹽水以3l/min的速度注入容器中，假設(shè)流入的鹽水與原有的鹽水因攪拌而迅速為均勻的混合物，同時(shí)此混合物又以2l/min的速度流出，求60min后容器中混合物的含鹽量。

分析：若設(shè)x=x(t)表示含鹽量隨時(shí)間變化的函數(shù)。則：鹽流入的速度為 3l /min× 2= 6 g/min ，鹽水的濃度為鹽流出的速度從而容器含鹽的變化速度等于

其流入速度與流出速度之差。

解：設(shè)設(shè)x=x(t)表示含鹽量隨時(shí)間變化的函數(shù)。由題意得：時(shí)， x=261.4 g 。

微積分思想，是辯證法與常量數(shù)學(xué)交叉且用形式邏輯表達(dá)的一種綜合思想方法[8]。在電子技術(shù)、船舶制造等專(zhuān)業(yè)技能中，總是就用微元的思想，進(jìn)行“標(biāo)準(zhǔn)化”估計(jì)，再加以精確。應(yīng)用微元化、局部化的思想方法有利于分析客觀事物變化的過(guò)程，從而探求出相應(yīng)的變化規(guī)律和結(jié)果。

三、應(yīng)用矩陣思想形成決策思維

矩陣思想是指通過(guò)對(duì)原始感性材料進(jìn)行矩陣般的分析與規(guī)整，形成全面、系統(tǒng)、嚴(yán)謹(jǐn)、專(zhuān)業(yè)并具有很強(qiáng)邏輯和關(guān)聯(lián)性的理性思想，從而有助于正確思考、研究、決策等高層次思維形成的思想方法。電子電工、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)等專(zhuān)業(yè)技能中，因信息量大、過(guò)程復(fù)雜，采用矩陣的思想方法，可探索出其蘊(yùn)含的相應(yīng)的規(guī)律，從而易于問(wèn)題的解決。

例5（網(wǎng)絡(luò)中最短問(wèn)題）如圖求所有節(jié)點(diǎn)之間的最短路

分析：這是計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中最常見(jiàn)的問(wèn)題，因節(jié)點(diǎn)較多，為使問(wèn)題計(jì)算與推理較簡(jiǎn)易直觀，可利用矩陣思想方法，按一定的迭代規(guī)律來(lái)探索出最短路問(wèn)題。

解：記最短路長(zhǎng)短陣為u，最短路短矩陣為p，按節(jié)點(diǎn)1-2-3-4的順序存放信息。

初始值為：

經(jīng)過(guò)第4次迭代后

最后得到的最短路路長(zhǎng)可直接由U(5)得到，根據(jù)對(duì)應(yīng)的P(5)得到最后短路為

終點(diǎn) 1 2 3 4 1（1，2） （1，3） （1，3）（3，4）起點(diǎn)2 （2，1） （2，3） （2，3）（3，4）3 （3，4）（4，2）（2，1）（4，2）（3，4） （3，4）4 （4，2）（2，1） （4，2） （4，2）（2，3）

有學(xué)者認(rèn)為“矩陣是運(yùn)動(dòng)的描述”，“矩陣是線(xiàn)性空間里躍遷的描述”。這表明矩陣是對(duì)萬(wàn)物變化的精練抽象，提取其富有內(nèi)涵的信息并將其融合。應(yīng)用矩陣的理論與思想方法可以抓住問(wèn)題的主要要件，通過(guò)對(duì)大量信息進(jìn)行精煉與邏輯推理，形成有針對(duì)性的科學(xué)決策。矩陣思想及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域, 在物理學(xué)、控制論、機(jī)器人理論、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科有大量的應(yīng)用。

四、應(yīng)用函數(shù)方程思想構(gòu)建等量關(guān)系

函數(shù)與方程思想就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問(wèn)題。通過(guò)解方程（或方程組）或者運(yùn)用方程的性質(zhì)來(lái)分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題得以解決。

例6（電路問(wèn)題）如圖R-L-C電路中，先將開(kāi)關(guān)K撥向A，使電容充電，當(dāng)它達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，再將開(kāi)關(guān)撥向B，設(shè)撥向B的時(shí)間為t=0，求t＞0時(shí)電壓Uc(t)與電流強(qiáng)度i(t)。已知 E=20 v,R=4.8Ω,L=1.6H, C =0.5

分析：回路電壓定律是構(gòu)建等量關(guān)系的核心，利用電荷、電流、電壓、時(shí)間等動(dòng)態(tài)變量間的關(guān)系可構(gòu)建方程組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

解：由回路電壓定律有： UL+UR+UC=0，即

從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。這在工科許多專(zhuān)業(yè)技能中都需構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)與方程思想，就能扣準(zhǔn)問(wèn)題的關(guān)鍵，輕松解決相應(yīng)的問(wèn)題。

五、應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)思想實(shí)施預(yù)測(cè)控制

概率統(tǒng)計(jì)思想方法主要是通過(guò)隨機(jī)抽樣、對(duì)樣本進(jìn)行科學(xué)統(tǒng)計(jì)、利用公理化建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)可能的結(jié)果進(jìn)行推測(cè)與檢驗(yàn)的一種重要的數(shù)學(xué)思想。其核心理念是由“非決定論”通過(guò)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的客觀分析，把握總體的內(nèi)在規(guī)律，進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)與控制，從而形成科學(xué)決策。

例7（生產(chǎn)中的檢驗(yàn)）某車(chē)間生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一直較穩(wěn)定，可認(rèn)為其折斷力X服從正態(tài)分布，今從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10根檢查折斷力，得數(shù)據(jù)如下（單位：kg）；

578 572 570 568 572 570 572 570 596 584

是否可相信該車(chē)間生產(chǎn)的鋼絲折斷力的方差為64（取α =0.05）?

解 假設(shè) H :δ2=82由樣本計(jì)算得=575.2，

0

因?yàn)?2070 ＜ χ2=10.65＜19.02

所以接受原假設(shè) H0:δ2=82，可相信該車(chē)間生產(chǎn)的鋼絲折斷力的方差為64。

概率與統(tǒng)計(jì)思想還蘊(yùn)含隨機(jī)思想、公理化思想、映射思想、建模思想、統(tǒng)計(jì)與推斷思想等。這些思想的共性都是通過(guò)相應(yīng)的過(guò)程分析，對(duì)結(jié)果進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)估計(jì)，并形成有效的控制和決策，這些思想方法在今后的生產(chǎn)管理、經(jīng)濟(jì)分析等方面均有著較廣泛的應(yīng)用。

思想方法的掌握與應(yīng)用將會(huì)使學(xué)生終身受益。這些數(shù)學(xué)思想的實(shí)質(zhì)，只有與相應(yīng)的專(zhuān)業(yè)技能相結(jié)合，才能從更高的層次上把握它們、運(yùn)用它們。

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