小學(xué)數(shù)學(xué)解題中排列組合思想的應(yīng)用價值

葛敏

排列和組合是組合學(xué)中最基本的概念，也是數(shù)學(xué)解題中的重要方法之一。在數(shù)學(xué)解題和實際生活中，排列和組合思想都有著廣泛的應(yīng)用，在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透排列組合的思想，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的實際能力，發(fā)展小學(xué)生抽象思維和邏輯思維能力有著重要的意義。

一、排列思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運用

排列是就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進(jìn)行排序。給定元素為n，取出元素為r，組合A■■=■，“！”為階乘，n！=n·（n-1）·…·1。

【案例一】放暑假了，小朋友到動物園去玩，但動物園需要買門票，一張門票10元，現(xiàn)在有1元、5元和10元三種面值的人民幣，一共可以有幾種付錢的方法可以買到門票？

這是一道簡單的排列組合題，解題時，學(xué)生很快給出“10個1元，5個1元、1個5元，2個5元，1個10元”四種方法。在學(xué)生大致了解排列組合的概念后，可結(jié)合生活實際將排列組合思想融入課本的題目。

【案例二】學(xué)校要舉行運動會，某班有三個學(xué)生參加乒乓球比賽，但胸前的號碼還沒有編，要求用1、2、3三個數(shù)字編出不同的兩位數(shù)，一共可編出幾個個位數(shù)與十位數(shù)不重復(fù)的兩位數(shù)？

用小學(xué)方法解題：先將“1”作為十位數(shù)上的固定數(shù)字，則有 “12”、“13”兩種編法，以“2”作為十位數(shù)上的規(guī)定數(shù)字，有“21”、“23”兩種編法，同理得出“31”、“32”兩個號碼，則用“1、2、3”三個數(shù)字共可以編出6個個位數(shù)與十位數(shù)不重復(fù)的兩位數(shù)。

用排列組合思想解題：利用三個數(shù)字編兩位數(shù)號碼，即是從三個數(shù)字中抽出兩個進(jìn)行任意排列，A■■=■=6，即利用三個數(shù)編個位數(shù)與十位數(shù)不重復(fù)的數(shù)字共可編出6個。

在用小學(xué)方法進(jìn)行解題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用排列公式解決此類問題，使學(xué)生更好地理解排列的概念和應(yīng)用方法，提高學(xué)生對知識的實際應(yīng)用能力。

二、組合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運用

組合是指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不需要進(jìn)行排列，給定元素為n，取出元素為r，則組合C■■=■。

將排列組合思想應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)時，學(xué)生往往難以理解排列和組合的差別，這一點也是教學(xué)的難點之一。通過對此題的分析，可以讓學(xué)生更好地感受到二者的差別，明白排列是與順序有關(guān)系的，而組合與順序則沒有關(guān)系。

【案例三】班里一共有30個學(xué)生，玩“握手游戲”，每兩個學(xué)生間都要握一次手，一共握手多少次？

用小學(xué)方法解決這道問題時，有兩種方法：

第一種方法是假設(shè)30個學(xué)生排成一排，從右邊開始，第一學(xué)生分別與其余的29個學(xué)生各握手一次，共握手29次，然后離開隊伍；剩下的29個學(xué)生中，第二個學(xué)生與其他人各握手一次，共握手28次，握完手后離開隊伍；以此類推，直到第29個學(xué)生與隊伍中剩下的第30個學(xué)生握手，握手次數(shù)為1次，則總的握手次數(shù)為29+28+…+1=435（次）。

第二種方法是將每個握手的次數(shù)都算作29次，則30個學(xué)生共握手870次，但每兩個學(xué)生間握手次數(shù)都算作了兩次，因此共握手次數(shù)為870÷2=435（次）。

用排列組合的思想解題：30個學(xué)生每兩個學(xué)生握一次手即是從30個學(xué)生中任意抽出兩個學(xué)生進(jìn)行組合，則組合次數(shù)為C■■=■=435（次）。每一個組合是表示握手一次，則30個學(xué)生共握手435次。

【案例四】數(shù)一數(shù)下圖中三角形的個數(shù)。

■

用小學(xué)方法解題：圖中的三角形共六排，第一排中從左邊算起，以第一條邊固定不變，則有三角形6個，第二條邊為三角形一邊固定不變時有5個，以此類推，以第6條邊為三角形固定一邊時有三角形1個，則第一排中共有三角形6+5+…+1=21（個），每排中三角形的個數(shù)是相同的，則一共有三角形6×21=126（個）。

用排列組合思想解題：每一排三角形的個數(shù)與底邊的條數(shù)是相等的，底邊共有7個點，每兩個點可組成一個三角形，即是從七個點中任意選取兩個點組合，則六排三角形的個數(shù)為6C■■=6×■=126（個）。

排列組合不僅是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)，對發(fā)展學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力也發(fā)揮著重要的作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過將小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與排列組合方法相融合，將排列組合思想滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能很好地培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和實際解題能力，培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)小學(xué)生綜合全面發(fā)展。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

排列和組合是組合學(xué)中最基本的概念，也是數(shù)學(xué)解題中的重要方法之一。在數(shù)學(xué)解題和實際生活中，排列和組合思想都有著廣泛的應(yīng)用，在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透排列組合的思想，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的實際能力，發(fā)展小學(xué)生抽象思維和邏輯思維能力有著重要的意義。

一、排列思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運用

排列是就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進(jìn)行排序。給定元素為n，取出元素為r，組合A■■=■，“！”為階乘，n！=n·（n-1）·…·1。

【案例一】放暑假了，小朋友到動物園去玩，但動物園需要買門票，一張門票10元，現(xiàn)在有1元、5元和10元三種面值的人民幣，一共可以有幾種付錢的方法可以買到門票？

這是一道簡單的排列組合題，解題時，學(xué)生很快給出“10個1元，5個1元、1個5元，2個5元，1個10元”四種方法。在學(xué)生大致了解排列組合的概念后，可結(jié)合生活實際將排列組合思想融入課本的題目。

【案例二】學(xué)校要舉行運動會，某班有三個學(xué)生參加乒乓球比賽，但胸前的號碼還沒有編，要求用1、2、3三個數(shù)字編出不同的兩位數(shù)，一共可編出幾個個位數(shù)與十位數(shù)不重復(fù)的兩位數(shù)？

用小學(xué)方法解題：先將“1”作為十位數(shù)上的固定數(shù)字，則有 “12”、“13”兩種編法，以“2”作為十位數(shù)上的規(guī)定數(shù)字，有“21”、“23”兩種編法，同理得出“31”、“32”兩個號碼，則用“1、2、3”三個數(shù)字共可以編出6個個位數(shù)與十位數(shù)不重復(fù)的兩位數(shù)。

用排列組合思想解題：利用三個數(shù)字編兩位數(shù)號碼，即是從三個數(shù)字中抽出兩個進(jìn)行任意排列，A■■=■=6，即利用三個數(shù)編個位數(shù)與十位數(shù)不重復(fù)的數(shù)字共可編出6個。

在用小學(xué)方法進(jìn)行解題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用排列公式解決此類問題，使學(xué)生更好地理解排列的概念和應(yīng)用方法，提高學(xué)生對知識的實際應(yīng)用能力。

二、組合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運用

組合是指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不需要進(jìn)行排列，給定元素為n，取出元素為r，則組合C■■=■。

將排列組合思想應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)時，學(xué)生往往難以理解排列和組合的差別，這一點也是教學(xué)的難點之一。通過對此題的分析，可以讓學(xué)生更好地感受到二者的差別，明白排列是與順序有關(guān)系的，而組合與順序則沒有關(guān)系。

【案例三】班里一共有30個學(xué)生，玩“握手游戲”，每兩個學(xué)生間都要握一次手，一共握手多少次？

用小學(xué)方法解決這道問題時，有兩種方法：

第一種方法是假設(shè)30個學(xué)生排成一排，從右邊開始，第一學(xué)生分別與其余的29個學(xué)生各握手一次，共握手29次，然后離開隊伍；剩下的29個學(xué)生中，第二個學(xué)生與其他人各握手一次，共握手28次，握完手后離開隊伍；以此類推，直到第29個學(xué)生與隊伍中剩下的第30個學(xué)生握手，握手次數(shù)為1次，則總的握手次數(shù)為29+28+…+1=435（次）。

第二種方法是將每個握手的次數(shù)都算作29次，則30個學(xué)生共握手870次，但每兩個學(xué)生間握手次數(shù)都算作了兩次，因此共握手次數(shù)為870÷2=435（次）。

用排列組合的思想解題：30個學(xué)生每兩個學(xué)生握一次手即是從30個學(xué)生中任意抽出兩個學(xué)生進(jìn)行組合，則組合次數(shù)為C■■=■=435（次）。每一個組合是表示握手一次，則30個學(xué)生共握手435次。

【案例四】數(shù)一數(shù)下圖中三角形的個數(shù)。

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用小學(xué)方法解題：圖中的三角形共六排，第一排中從左邊算起，以第一條邊固定不變，則有三角形6個，第二條邊為三角形一邊固定不變時有5個，以此類推，以第6條邊為三角形固定一邊時有三角形1個，則第一排中共有三角形6+5+…+1=21（個），每排中三角形的個數(shù)是相同的，則一共有三角形6×21=126（個）。

用排列組合思想解題：每一排三角形的個數(shù)與底邊的條數(shù)是相等的，底邊共有7個點，每兩個點可組成一個三角形，即是從七個點中任意選取兩個點組合，則六排三角形的個數(shù)為6C■■=6×■=126（個）。

排列組合不僅是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)，對發(fā)展學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力也發(fā)揮著重要的作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過將小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與排列組合方法相融合，將排列組合思想滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能很好地培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和實際解題能力，培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)小學(xué)生綜合全面發(fā)展。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

排列和組合是組合學(xué)中最基本的概念，也是數(shù)學(xué)解題中的重要方法之一。在數(shù)學(xué)解題和實際生活中，排列和組合思想都有著廣泛的應(yīng)用，在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透排列組合的思想，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的實際能力，發(fā)展小學(xué)生抽象思維和邏輯思維能力有著重要的意義。

一、排列思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運用

排列是就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進(jìn)行排序。給定元素為n，取出元素為r，組合A■■=■，“！”為階乘，n！=n·（n-1）·…·1。

【案例一】放暑假了，小朋友到動物園去玩，但動物園需要買門票，一張門票10元，現(xiàn)在有1元、5元和10元三種面值的人民幣，一共可以有幾種付錢的方法可以買到門票？

這是一道簡單的排列組合題，解題時，學(xué)生很快給出“10個1元，5個1元、1個5元，2個5元，1個10元”四種方法。在學(xué)生大致了解排列組合的概念后，可結(jié)合生活實際將排列組合思想融入課本的題目。

【案例二】學(xué)校要舉行運動會，某班有三個學(xué)生參加乒乓球比賽，但胸前的號碼還沒有編，要求用1、2、3三個數(shù)字編出不同的兩位數(shù)，一共可編出幾個個位數(shù)與十位數(shù)不重復(fù)的兩位數(shù)？

用小學(xué)方法解題：先將“1”作為十位數(shù)上的固定數(shù)字，則有 “12”、“13”兩種編法，以“2”作為十位數(shù)上的規(guī)定數(shù)字，有“21”、“23”兩種編法，同理得出“31”、“32”兩個號碼，則用“1、2、3”三個數(shù)字共可以編出6個個位數(shù)與十位數(shù)不重復(fù)的兩位數(shù)。

用排列組合思想解題：利用三個數(shù)字編兩位數(shù)號碼，即是從三個數(shù)字中抽出兩個進(jìn)行任意排列，A■■=■=6，即利用三個數(shù)編個位數(shù)與十位數(shù)不重復(fù)的數(shù)字共可編出6個。

在用小學(xué)方法進(jìn)行解題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用排列公式解決此類問題，使學(xué)生更好地理解排列的概念和應(yīng)用方法，提高學(xué)生對知識的實際應(yīng)用能力。

二、組合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的運用

組合是指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不需要進(jìn)行排列，給定元素為n，取出元素為r，則組合C■■=■。

將排列組合思想應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)時，學(xué)生往往難以理解排列和組合的差別，這一點也是教學(xué)的難點之一。通過對此題的分析，可以讓學(xué)生更好地感受到二者的差別，明白排列是與順序有關(guān)系的，而組合與順序則沒有關(guān)系。

【案例三】班里一共有30個學(xué)生，玩“握手游戲”，每兩個學(xué)生間都要握一次手，一共握手多少次？

用小學(xué)方法解決這道問題時，有兩種方法：

第一種方法是假設(shè)30個學(xué)生排成一排，從右邊開始，第一學(xué)生分別與其余的29個學(xué)生各握手一次，共握手29次，然后離開隊伍；剩下的29個學(xué)生中，第二個學(xué)生與其他人各握手一次，共握手28次，握完手后離開隊伍；以此類推，直到第29個學(xué)生與隊伍中剩下的第30個學(xué)生握手，握手次數(shù)為1次，則總的握手次數(shù)為29+28+…+1=435（次）。

第二種方法是將每個握手的次數(shù)都算作29次，則30個學(xué)生共握手870次，但每兩個學(xué)生間握手次數(shù)都算作了兩次，因此共握手次數(shù)為870÷2=435（次）。

用排列組合的思想解題：30個學(xué)生每兩個學(xué)生握一次手即是從30個學(xué)生中任意抽出兩個學(xué)生進(jìn)行組合，則組合次數(shù)為C■■=■=435（次）。每一個組合是表示握手一次，則30個學(xué)生共握手435次。

【案例四】數(shù)一數(shù)下圖中三角形的個數(shù)。

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用小學(xué)方法解題：圖中的三角形共六排，第一排中從左邊算起，以第一條邊固定不變，則有三角形6個，第二條邊為三角形一邊固定不變時有5個，以此類推，以第6條邊為三角形固定一邊時有三角形1個，則第一排中共有三角形6+5+…+1=21（個），每排中三角形的個數(shù)是相同的，則一共有三角形6×21=126（個）。

用排列組合思想解題：每一排三角形的個數(shù)與底邊的條數(shù)是相等的，底邊共有7個點，每兩個點可組成一個三角形，即是從七個點中任意選取兩個點組合，則六排三角形的個數(shù)為6C■■=6×■=126（個）。

排列組合不僅是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)，對發(fā)展學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力也發(fā)揮著重要的作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過將小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與排列組合方法相融合，將排列組合思想滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能很好地培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和實際解題能力，培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)小學(xué)生綜合全面發(fā)展。

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