二階線性系非振動(dòng)的充要條件

陳敏，王晶海

（1.福建工程學(xué)院 數(shù)理系，福建 福州350118；

2.福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州350116）

1 預(yù)備知識(shí)

關(guān)于系統(tǒng)振動(dòng)與非振動(dòng)的研究很多［1-5］，其中絕大部分是研究振動(dòng)的，結(jié)論一般是振動(dòng)的充分條件.本文給出非振動(dòng)的充要條件及一個(gè)充分條件.考慮如下二階周期系數(shù)線性系

定理A 或者式（2）的所有非零解都只有有限個(gè)零點(diǎn)，或者式（2）的所有解都有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)［6］.

定義1 若式（1）的所有非零解都只有有限個(gè)零點(diǎn)，那么稱式（1）是非振動(dòng)的.若式（1）的所有解都有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，那么稱式（1）是振動(dòng)的.

由于式（1）的非振動(dòng)行可歸結(jié)為式（2）的非振動(dòng)性，所以文中只討論式（2）的非振動(dòng)性.

2 結(jié)論及其證明

定理B［6］式（2）非振動(dòng)的充分且必要條件是對(duì)一切連續(xù)可微的π周期函數(shù)W（t）恒有

定理1 式（2）非振動(dòng)的充分且必要條件是存在一個(gè)連續(xù)可微的π周期函數(shù)φ（t），使

證明 充分性 .設(shè)Q（t）≤φ′（t）-φ2（t），于是對(duì)任意連續(xù)可微的π周期函數(shù)W（t）有

必要性 .設(shè)式（2）非振動(dòng).由文獻(xiàn)［6］可知式（2）存在一個(gè)非零解實(shí)解X（t）及一個(gè)正數(shù)ρ，使

式（4）中：ρ實(shí)為式（2）的特征乘數(shù) .

可以肯定，對(duì)任意t∈R，X（t）≠0，若不然，可設(shè)X（t0）＝0，那么，對(duì)任意自然數(shù)n有，X（t0＋nπ）＝ρn·X（t）＝0，這與式（2）非振動(dòng)矛盾.所以X（t）沒(méi)有零點(diǎn).

注1 若取ψ（t）＝φ（t）＋c，c＞0常數(shù)且使2φ（t）-c＜0，則易證Q（t）＜ψ′（t）-ψ2（t）.

3 實(shí)例驗(yàn)證

引理1 若式（3）非振動(dòng)，且f（t）不恒等于0，則必有λ＜0.

證明 由引理1可知，存在連續(xù)可微π周期函數(shù)φ（t），使

Mathieu方程x″＋（λ-cos 2t）·x＝0的最小特征值是λ0≈-0.122［7］，由文獻(xiàn)［6］可推斷式（8）是振動(dòng)的.由此可見(jiàn)定理1與定理2并非是粗糙結(jié)論.

例3 考慮二階線性系

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