一類(lèi)具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

畢殿杰，孫玉濤，陳 濤

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠，233030)

對(duì)于捕食系統(tǒng)模型的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值，能更好的解決生態(tài)學(xué)的問(wèn)題。文獻(xiàn)［1～6］提出的捕食系統(tǒng)模型都是假設(shè)捕食者對(duì)食餌具有相同的捕食能力，但是自然界中的大多數(shù)種群都經(jīng)歷從幼體到成年的一個(gè)成長(zhǎng)過(guò)程，因此捕食者的捕食能力是變化的。但考慮到在某一階段內(nèi)，捕食者的捕食能力則是相對(duì)穩(wěn)定的，因此具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)模型受到了眾多研究者的關(guān)注［7～10］，這些模型也更貼近現(xiàn)實(shí)生態(tài)系統(tǒng)。在自然生態(tài)系統(tǒng)中，狩獵時(shí)滯這一因素對(duì)狩獵種群的繁衍會(huì)產(chǎn)生很大的影響，同時(shí)對(duì)食餌種群的繁衍也會(huì)產(chǎn)生很大的影響，因此引入該系統(tǒng)參數(shù)無(wú)疑更能有效的對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行反饋控制，更真實(shí)的反應(yīng)現(xiàn)實(shí)。正因如此，近年來(lái)帶有時(shí)滯性的階段捕食系統(tǒng)成為一些學(xué)者研究的熱點(diǎn)，文獻(xiàn)［11～13］以不同的方法研究帶有時(shí)滯性的階段捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性問(wèn)題。文獻(xiàn)［9］研究了如下具有階段結(jié)構(gòu)和Crowley-Martin功能性反應(yīng)的捕食系統(tǒng)模型:

其中，x(t)為t時(shí)刻食餌的密度，y1(t)和y2(t)分別為t時(shí)刻幼年捕食者和成年捕食者的密度。a，a1，b，d，d1，d2，r，α與β均為正常數(shù)。其中，a表示捕食者的處理時(shí)間，b表示捕食者之間的相互干擾程度，a1表示食餌種群的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)，d表示幼年捕食者到成年捕食者的轉(zhuǎn)化系數(shù)，d1和d2分別表示幼年捕食者和成年捕食者的死亡率，r是食餌種群的增長(zhǎng)率，β表示捕食者的捕獲率，α表示捕食者的轉(zhuǎn)化率。系統(tǒng)(1)雖然考慮到了捕食者的狩獵時(shí)間等因素，卻忽略了狩獵時(shí)滯;由于捕食者從覓食到捕捉到食餌這一過(guò)程，均會(huì)有一定的時(shí)延，即一定會(huì)有狩獵時(shí)滯?；谙到y(tǒng)(1)，筆者將捕食者的狩獵時(shí)滯引入到系統(tǒng)(1)得到如下時(shí)滯捕食系統(tǒng)模型:

其中，常數(shù)τ≥0表示捕食者的狩獵時(shí)滯?；谙到y(tǒng)的生態(tài)含義，筆者只在={(x，y1，y2)|x ＞0，y1＞0，y2＞0}內(nèi)討論系統(tǒng)(2)。

1 共存平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

所以，有下面的結(jié)果。

定理1.1 如果條件(H2)，(H3)和(H4)成立，那么

(i)當(dāng)時(shí) τ∈［0，τ0］，系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn) E*(x*，y1*，y2*是漸近穩(wěn)定的;

(ii)當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E*(x*，y1*，y2*處產(chǎn)生Hopf分支。

2 仿真實(shí)例

令 r=3.5，a=0.0 1，a1=0.5，b=1.2，α =0.2，β =1 0，d=0.4，d1=0.8，d2=0.4 5，得到系統(tǒng)(2)的一個(gè)實(shí)例系統(tǒng)(1 0)。

顯然，a1－ar=0.465 0＞0，即系統(tǒng)(10)滿(mǎn)足條件(H1):a1－ar≥0。系統(tǒng)(10)存在唯一正平衡點(diǎn)E*(1.065 8，0.527 1，0.468 5)。經(jīng)過(guò)計(jì)算得到 ω0=2.701 5，τ0=0.536 6，λ′(τ0)=1.009 2 －0.307 0 i。根據(jù)定理1.1 可知，當(dāng) τ∈［0，0.536 6)時(shí)，系統(tǒng)(10)的正平衡點(diǎn) E*(1.065 8，0.527 1，0.468 5)是漸近穩(wěn)定的，如圖1 所示。當(dāng) τ＞0.536 6 時(shí)，系統(tǒng)(10)的正平衡點(diǎn) E*(1.065 8，0.527 1，0.468 5)是不穩(wěn)定的，如圖2所示。

圖1 初值為“1.545，0.487，0.685”，τ=0.495 ＜τ0=0.536 6時(shí)，E*漸近穩(wěn)定

圖2 初值為“1.545，0.487，0.685”，τ=0.575 ＜τ0=0.536 6時(shí)，E*是不穩(wěn)定的

3 結(jié) 論

本次研究了一類(lèi)捕食者具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)模型。以成年捕食者的狩獵時(shí)滯為參數(shù)，分析了系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定和局部Hopf分支的存在性。結(jié)果表明，當(dāng)成年捕食者的狩獵時(shí)滯足夠小(τ∈［0，τ0))，系統(tǒng)是局部漸近穩(wěn)定的。一旦成年捕食者的狩獵時(shí)滯超越臨界值τ0，系統(tǒng)將失去穩(wěn)定性，并在臨界值τ0處產(chǎn)生Hopf分支周期解。對(duì)于分支周期解的性質(zhì)，有待進(jìn)一步研究。

［1］ GAO Yong-fei，XIA Yong-hui.Periodic solutions of a nonautonmous plant-hare model［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2012，39(5):507-511.

［2］ HU Guang-ping，LI Xiao-ling.Stability and Hopf bifurcation for a delayed predator-prey model with disease in the prey［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2012，45:229-237.

［3］ 劉娟，李醫(yī)民.具有收獲率的Holling III類(lèi)生態(tài)系統(tǒng)的定性分析［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2012，39(3):249-252.

［4］ 秦桂毅，何德材，黃文韜.污染環(huán)境中一類(lèi)捕食-食餌系統(tǒng)的持續(xù)性分析［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，34(6):805-810.

［5］ BAEK Hunki.Species extinction and permanence of an impulsively controlled two-prey one-predator system with seasonal effects［J］.BioSystems，2009，98:7-18.

［6］ YANG Yu.Hopf bifurcation in a two-competitor，one-prey system with time delay［J］.Appl Math Comput，2009，214:228-235.

［7］ ZHANG Lai，LIN Zhi-gui.A Holling’s type II prey-predator model with stage structure and nonlocal delay［J］.Appl Math Comput，2011，217:5 000-5 010.

［8］ 張少林，朱婉珍.具有階段結(jié)構(gòu)的連續(xù)時(shí)滯生態(tài)系統(tǒng)的一致生存與全局漸近穩(wěn)定性［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2006，33(4):376-378，392.

［9］ SHI Xiang-yun，ZHOU Xue-yong，SONG Xin-yu.Analysis of a stage-structured predator-prey model with Crowley-Martin function［J］.J Appl Math Comput，2011，36:459-472.

［10］ GE Zhi-hao，YAN Jing-jing.Hopf bifurcation of a predator-prey system with stage structure and harvesting［J］.Nonlinear Analysis:Theory，Methods and Applications，2011，74:652-660.

［11］ 王玲書(shū).一類(lèi)具有時(shí)滯和階段結(jié)構(gòu)的捕食者-食餌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，28(1):51-62.

［12］ 耿春梅，林支桂.一類(lèi)具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性［J］.淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版:2007，6(3):179-186.

［13］ 袁媛，段復(fù)建.一類(lèi)食餌具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性與Hopf分支［J］.云南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，35(1):13-20.

(責(zé)任編輯:朱寶昌)