線性規(guī)劃的教學模式探討

苗連英，逄世友

（中國礦業(yè)大學　理學院，江蘇　徐州　221008）

線性規(guī)劃的教學模式探討

苗連英，逄世友

（中國礦業(yè)大學理學院，江蘇徐州221008）

線性規(guī)劃是運籌學的核心內(nèi)容，求解線性規(guī)劃的單純形法在理論上已趨于成熟，應用也越來越廣泛。為了使學生更容易、更深刻地理解這種算法及其理論基礎，本文給出了一種循序漸進的教學模式。這種模式也適用于運籌學其他內(nèi)容的教學。

單純形法；循序漸進；教學模式

運籌學是二戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一門應用學科，它廣泛應用現(xiàn)有的科學技術知識和數(shù)學方法，解決實際中提出的一些問題，為決策者選擇最優(yōu)策略提供定量依據(jù)，其內(nèi)容包括：規(guī)劃論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、多目標規(guī)劃等）、圖論與網(wǎng)絡分析、對策論、排隊論、存儲論、決策論、排序與統(tǒng)籌方法等[1]。運籌學的實際應用涉及生產(chǎn)計劃、運輸問題、人事管理、庫存管理、市場營銷、財務和會計等方面。另外，還應用于設備維修、更新和可靠性分析，項目的選擇與評價、工程優(yōu)化設計、環(huán)境保護等問題中。據(jù)統(tǒng)計，50%數(shù)學建模問題與運籌學內(nèi)容相關，可以用運籌學的方法解決。另外，為各大高校數(shù)次爭得榮譽的建模隊伍，長期以來一直接受運籌學相關知識的培訓。

運籌學中最主要的分支是線性規(guī)劃。線性規(guī)劃模型是前蘇聯(lián)著名經(jīng)濟學家康托羅維奇于1939年提出的，這一重大發(fā)現(xiàn)使他獲得了諾貝爾經(jīng)濟學獎。1947年G.B.Dantzig提出求解線性規(guī)劃的單純形法。針對退化問題，1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]給出了攝動法，1954年G.B.Dantzig，A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法，1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法則，這些方法都能避免循環(huán)發(fā)生。線性規(guī)劃理論上已趨于成熟，應用也越來越廣泛。事實上，運籌學中許多問題都可以或需要用線性規(guī)劃模型來描述或近似地描述，如運輸問題——求解運輸問題的表上作業(yè)法本質(zhì)上就是單純形法，并且這種方法充分展示了單純形法的魅力。求最短路、最小費用最大流的問題都可以用線性規(guī)劃模型來解決。求解指派問題的匈牙利法本質(zhì)上也是單純形法[5]。矩陣對策問題最后轉(zhuǎn)化成求解線性規(guī)劃。學習運籌學的先修課程主要有線性代數(shù)、微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計。事實上，運籌學不僅應用了這些學科，也從理論上進一步發(fā)展了這些學科。

單純形法是建立在一系列理論基礎之上的。首先，如果線性規(guī)劃的可行域非空，則它是一個凸集，這個結(jié)論很容易證明。線性規(guī)劃的可行域的頂點與基可行解之間是一一對應的，所以其頂點個數(shù)有限，這個結(jié)論與單純形法的關系不大，其證明可以省略。其次，線性規(guī)劃若有可行解，則一定有基可行解，這個結(jié)論是很重要的，為了更好地理解它的證明，我們先看下面的例子。

任意找出該線性規(guī)劃的一個可行解，比如X0=（1，1，12，2，3）T。由于其正分量的個數(shù)大于3，所以它不是基可行解。如何找出一個基可行解呢？由（1）可知P1-P2-2P3-4P4+2P5=0，令α=（1，-1，-2，-4，2）T.

設t是一個很小的正數(shù)，構(gòu)造兩個向量：

首先注意到AXi=A（X0±tα）=AX0±tAα=b.另外我們要取適當?shù)膖，使得X1≥0，X2≥0.通過觀察上面兩式可知時，X1和X2都是可行解。取得，

進一步講，若線性規(guī)劃有最優(yōu)解，其最優(yōu)解一定可以在其可行域的頂點上找到，也就是在其基可行解中找到，這樣就把一個從無限個可行解中找最優(yōu)轉(zhuǎn)化成在有限個可行解中找最優(yōu)。這是單純形法的理論基礎。為了更好地理解這一重要結(jié)論的證明，我們看下一個例子。

X0=（1，2，0，1）T是（2）的一個最優(yōu)解，由于其正分量的個數(shù)大于2，所以它不是基可行解。下面找一個基可行解也是最優(yōu)解，方法與例1類似。由（2）可知2P1-P2-P4=0，令α=（2，-1，0，-1）T.

設t是一個很小的正數(shù)，構(gòu)造兩個向量：

首先注意到AXi=A（X0±tα）=AX0±tAα=b。另外我們要取適當?shù)膖，使得X1≥0，X2≥0。通過觀察上面的式子可知時，X1和X2都是可行解。

而且有CX0≥CX1，CX0≥CX2，即CX0+tCα=CX1≤CX0，CX0-tCα=CX2≤CX0.從而Cα=0，即X1和X2都是最優(yōu)解。X2的正分量的個數(shù)是2。由于P2，P4線性無關，所以X2是基可行解。這樣我們就找到了一個最優(yōu)解也是基可行解。一般地，若X2的正分量對應的系數(shù)列與線性相關，繼續(xù)上述過程，直到找到基可行解為止。

從基可行解中找最優(yōu)解所用的方法是單純形迭代法。那么，如何判斷一個線性規(guī)劃是否有最優(yōu)解？如何判斷一個基可行解是否是最優(yōu)解？在一個基可行解不是最優(yōu)的情況下如何迭代到下一個與其相鄰的更好的基可行解？為回答這些問題，我們舉例說明。

該問題有一明顯的基可行解X0=（0，0，18，6，5）T，且（3）就是X0對應的典式，由于x1，x2的價值系數(shù)都小于0，從而X0是最優(yōu)解，且是唯一的最優(yōu)解。因為若還有另一個最優(yōu)解則必有，從而即X0=X1.

把上例稍作修改，如下例：

X0是（4）的基可行解。由于x1的價值系數(shù)是0，所以只要保持x2=0，x1的增加不會改變z的值。由約束方程組可知，x1可取中的任何值。當時，可得另一最優(yōu)解，X0的X1任意凸組合都是最優(yōu)解，從而該問題有無窮多最優(yōu)解。

再看下例：

X0是（5）的基可行解，但不是最優(yōu)解，因為只要x1增大，z就會增大。若令x2=0，則約束方程組變成：

令x1=θ＞5，則得一個可行解X=（θ，0，18+4θ， 6+4θ，5）T，其對應的由此可知，該問題無最優(yōu)解或有無界解。

通過例3~例5可以引出最優(yōu)性判別定理：

設X0是基可行解，其對應典式為：

①如果對一切j=m+1，…，n，有σj≤0，則X0是線性規(guī)劃的最優(yōu)解。

②如果對一切j=m+1，…，n，有σj＜0，則X0是線性規(guī)劃的唯一最優(yōu)解。

③如果對一切j=m+1，…，n，有σj≤0，且存在某個σm+k=0，則線性規(guī)劃有無窮多最優(yōu)解。

④若存在某個σm+k＞0，且對一切i=1，2，…，m，有βi，m+k≤0，則線性規(guī)劃無最優(yōu)解（最優(yōu)值為無窮大）。

再看一個例子：

X0是（6）的基可行解，但不是最優(yōu)解，因為當x1、x2增大時，z也會增大。注意我們只能讓x1、x2之一增大，這樣才能得到一個與X0相鄰的基可行解。由于x1的價值系數(shù)比x2的價值系數(shù)大，我們一般是讓x1增大，x2還是0。

由于x1最大可以增大到，從而得到新的基可行解：

這里需要說明X1還是基可行解，只要證明P1，P2，P3線性無關即可。由于P1，P3，P4與P3，P4，P5等價（容易看出，從而X1也是基可行解。通過變換求出X1對應的典式，完成一次單純形迭代。

通過上例可以引入基可行解的改進定理：

設X0是基可行解，其對應典式如（6）：

①若存在某個σm+k＞0.

②存在i∈{1，2，…，m}，使得βi，m+k＞0.

③所有的αi＞0，i∈{1，2，…，m}，則一定存在另一個基可行解X1，使得CX0＜CX1。

進而提出單純形算法的基本步驟：

①找出一個初始基可行解X0，寫出X0相應的典式。

②如果所有非基變量xj的檢驗數(shù)都不大于0，則X0是最優(yōu)解，計算結(jié)束，否則轉(zhuǎn)至③。

③取一個最大的檢驗數(shù)σk＞0，如果所有的βik≤0，則線性規(guī)劃問題無最優(yōu)解，計算結(jié)束，否則轉(zhuǎn)至④。

則xk為換入變量，xl為換出變量，得到一個新的基可行解X1，轉(zhuǎn)⑤。

⑤進行基變換，得到X1的典式，轉(zhuǎn)②。

先講特例再引入最優(yōu)性判別定理、基可行解的改進定理以及單純形法的迭代步驟，學生就容易理解。即使針對有些專業(yè)的學生講解這些定理的證明，也容易接受。

總之，現(xiàn)代社會信息量大，大學生需要學習的課程很多，用于預習或復習的時間就很少，這樣上課時間就尤為珍貴，教師應該如何講，才能使學生當堂聽明白所授內(nèi)容，這是一個必須思考的問題。其實，運籌學這門學科更側(cè)重的是應用，數(shù)學理論并不難，之所以有人覺得難學，是因為沒有把握一種好的學習方法。本文針對單純形法給出了一種循序漸進的教學模式，實踐證明這種模式能使學生更容易的理解課堂內(nèi)容，有利于激發(fā)學生的自信心和學習興趣，使學生在輕松掌握數(shù)學理論的基礎上，能更好地探討運籌學的經(jīng)典案例的建模和求解，加強學生運用所學知識解決實際問題的能力和創(chuàng)新能力。

[1]《運籌學》教材編寫組.運籌學[M].北京：清華大學出版社，2004.

[2]Charnes，A.And CooperW.W.，The stepping stonemethod of explaining linear programm ing calculations in thansportation problems，ManagementScience，1954，（1）：49-69.

[3]Dantzig，G.B.，O rden.A.and W olfe.P.，Note on linear programm ing，Pacific J.Math.1955，（5）：183-195.

[4]Bland，G.G.，New finite pivoting rules of Simplex method，Math.O fOperationsResearch，1977，（2）：103-107.

[5]Hamdy，A.Taha，Operations Research-An Introduction[M].北京：人民郵電出版社，2007.

G642.0

A

1674-9324（2014）45-0036-04

2014年度江蘇省研究生教育教學改革研究與實踐課題，《運籌學》立體化教學平臺建設；2014年中國礦業(yè)大學精品資源共享課：《運籌學》

苗連英（1966-），女，中國礦業(yè)大學理學院教授，主要從事運籌學教學和科研工作。