二次曲線視角下含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的解法

趙興杰，張曉蘭，王麗蓉

（1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002；2.遵義五中，貴州遵義563003；3.遵義市上海路學(xué)校，貴州遵義563002）

二次曲線視角下含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的解法

趙興杰1，張曉蘭2，王麗蓉3

（1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002；2.遵義五中，貴州遵義563003；3.遵義市上海路學(xué)校，貴州遵義563002）

分別利用橢圓和雙曲線的軌跡定義，總結(jié)出了|x-a|+|x-b|≥c（或≤c）和|x-a|-|x-b|≥c（或≤c）型不等式的簡(jiǎn)單解法，既克服了利用絕對(duì)值幾何意義在三個(gè)區(qū)間上分別討論或去絕對(duì)值分別討論的煩瑣，又避免了作分段函數(shù)圖象的困難，還能利用“橢圓的焦距不大于直徑（定長(zhǎng)）的原理”，迅速求出不等式|x-a|+|x-b|≥c（或≤c）中待定參數(shù)的取值范圍。

絕對(duì)值；不等式；公式；方法

|x-a|+|x-b|≥c（或≤c）和|x-a|-|x-b|≥c（或≤c）型不等式是近四年高考全國(guó)卷及大多數(shù)?。▍^(qū)、市）的命題內(nèi)容之一，一般為5分。如2012年全國(guó)課標(biāo)卷第24題（1）（5分）；2013年全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷第24題（1）（5分）；2013年重慶卷第16題（5分）；2010年、2011年和2012陜西卷第15題（5分）；2011年山東卷第4題（5分）；2012年江西卷第15題（5分）；2012年廣東卷第9題（5分）；2011年遼寧卷第24題（10分）；2011年天津卷第13題（5分）等。因此，該類型的不等式是選修4-5《不等式選講》的教學(xué)重點(diǎn)之一。

對(duì)前兩種類型的不等式，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》教科書(shū)選修4-5《不等式選講》在17～19頁(yè)介紹了三種解法：第一種方法是利用絕對(duì)值的幾何意義，以分實(shí)數(shù)軸為三個(gè)區(qū)間后，分別在三個(gè)區(qū)間上討論不等式的解的情況，最后綜合得到不等式的解集；第二種方法是去絕對(duì)值分類討論，最后綜合得到不等式的解集；第三種方法是圖象法，利用不等式構(gòu)造分段函數(shù)，作出圖形，根據(jù)圖形求解。這三種方法雖然分別體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合思想”、“分類思想”和“函數(shù)思想”，但就解法過(guò)程來(lái)看，均有弱點(diǎn)：前兩種方法都需要討論，最后綜合得出解集，顯得煩瑣；第三種作圖方法對(duì)于不少的學(xué)生來(lái)說(shuō)，將絕對(duì)值函數(shù)表示為分段函數(shù)本身就是教學(xué)的難點(diǎn)。教科書(shū)配套的教師用書(shū)亦無(wú)新的方法介紹。雖然文[4]以兩個(gè)例子分別介紹了“構(gòu)造橢圓模型”和“構(gòu)造雙曲線模型”解不等式的思路，文[5]也介紹了“構(gòu)造雙曲線模型”解不等式，但兩文均未較系統(tǒng)地給出解法。筆者分別利用橢圓和雙曲線的軌跡定義，系統(tǒng)地總結(jié)出兩類不等式的簡(jiǎn)單解法，利用其原理，可迅速求出不等式中待定參數(shù)的取值范圍。這種方法，既克服了利用絕對(duì)值幾何意義在三個(gè)區(qū)間上分別討論或去絕對(duì)值分別討論的煩瑣，又避免了作分段函數(shù)圖象的困難，可對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考。

1 |x-a|+|x-b|≥c（≤c）型不等式的解法

圖1

不妨假設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為x軸，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（a,0）和(b,0)，且(a＜b)，定長(zhǎng)（直徑）為c，橢圓與長(zhǎng)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0與x1，則當(dāng)y=0時(shí)，x0,x1恰好是x軸上到a和b的距離等于定長(zhǎng)c的點(diǎn)（如圖1），即x0,x1是|x-a|+|x-b|=c的兩個(gè)根，因此，x軸上到（a,0）和(b,0)的距離大于定長(zhǎng)c的點(diǎn)必定落在這兩根之外，即不等式|x-a|+|x-b|≥c的解集為(-∞,x0]∪[x1,+∞)。同理，不等式|x-a|+|x-b|≤c的解集是［x0,x1］。從而，對(duì)于a＜b和c(≥0)，只要求出x0,x1，可得出不等式|x-a|+|x-b|≥c和(≤c)的解集，而根據(jù)圖1可得

例1（2012年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)課標(biāo)卷第24題）已知函數(shù)?(x)=|x+a|+|x-2|，（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求不等式?(x)≥3的解集。

解 因?yàn)椴坏仁絴x-3|+|x-2|≥3的解在方程|x-3|+|x-2|=3兩根x0,x1之外，而所以，當(dāng)a=-3時(shí)，不等式?(x)≥3的解集為(-∞,1]∪[4,+∞)。

例2（教科書(shū)［2］20頁(yè)8.(3)）解不等式|x-1|+|x-2|＜2。

解因?yàn)閨x-1|+|x-2|＜2的解在方程|x-1|+|x-2|=2兩根x0,x1之內(nèi)，而所以，不等式的解集為

事實(shí)上，利用“橢圓的焦距不大于直徑（定長(zhǎng)）的原理”，還可以迅速求出不等式中待定參數(shù)的取值范圍。

例3（2011年陜西卷第15題）若關(guān)于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

解因?yàn)椴坏仁接袑?shí)數(shù)解，所以，根據(jù)“橢圓的焦距不大于直徑（定長(zhǎng)）”得|2-(-1)|≤|a|，即a∈(-∞, 3]∪[3,+∞)。

例4（2012年陜西卷第15題）若存在實(shí)數(shù)x使|x-a|+|x-1|≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

解因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x使不等式成立，所以，根據(jù)“橢圓的焦距不大于（直徑）定長(zhǎng)”得|a-1|≤3，即a∈［-2,4］。

例5（2013年重慶卷第16題）若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x-5|+|x+3|＜a無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

解因?yàn)椤皺E圓的焦距不大于直徑（定長(zhǎng)）”，而不等式無(wú)解，所以a≤5-(-3)=8，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，8］。

2 |x-a|-|x-b|≥c（≤c）型不等式的解法

圖2

因?yàn)椋?dāng)|c|＜b-a時(shí)，平面上到兩定點(diǎn)(a,0)和(b, 0)的距離之差等于定長(zhǎng)|c|的點(diǎn)的軌跡，是以(a,0)和(b,0)為焦點(diǎn)，兩頂點(diǎn)的距離為|c|的雙曲線（如圖2）。所以，當(dāng)|c|=x1-x0＜b-a時(shí)，方程|x-a|-|x-b|=|c|的根是雙曲線的右半支與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，于是|xa|-|x-b|≥|c|的解集為[x1，+∞)，|x-a|-|x-b|≤|c|的解集為(-∞，x1］。由于于是因此，當(dāng)c＞0時(shí)，|x-a|-|x-b|≥c的解集為的解集為

同理，由于雙曲線的左半支與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0，而于是，當(dāng)c＜0時(shí)，|x-a|-|x-b|≥c的解集為≤c的解集為取c=0，便得到|x-a|-|x-b|≥0的解集為的解集為

例6（2010年陜西卷第15題）不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集為_(kāi)_____。

例7（2012年廣東卷第9題）|x+2|-|x|≤1的解集為_(kāi)_____。

例8（2012年湖南卷第10題）不等式|2x+1| -2|x-1|＞0的解集為_(kāi)_____。

解 不等式|2x+1|-2|x-1|＞0等價(jià)于|x+

3 結(jié)束語(yǔ)

本文僅對(duì)含兩個(gè)絕對(duì)值，且其中x的系數(shù)相同的不等式的解法進(jìn)行了總結(jié)。對(duì)于兩個(gè)絕對(duì)值中的系數(shù)不同的不等式的解法，還有待進(jìn)一步研究。

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社,2003.

[2]人民教育出版社,課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修4-5（A版）不等式選講（第2版）[M].北京：人民教育出版社,2007.

[3]人民教育出版社,課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修4-5（A版）不等式選講教師用書(shū)（第2版）[M].北京：人民教育出版社,2007.

[4]馮作維,張國(guó)彬.構(gòu)造圓錐曲線模型巧解不等式[J].中學(xué)教學(xué)參考(理科版),2013,(3)：50.

[5]劉冰.構(gòu)造圓錐曲線模型巧解題[J].高中生學(xué)習(xí)(高二版), 2012,(3)：32.

（責(zé)任編輯：朱彬）

Method of Solving Two Absolute Inequation under the Perspective of Quadratic Curve

ZHAO Xing-jie1,ZHANG Xiao-lan2,WANG Li-rong3
(1.School of Mathematics and Computational Science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China;2.NO.5 Middle School of Zunyi, Zunyi 563002,China;3.Shanghai Road School of Zunyi,Zunyi 563002,China;)

In this paper,the authors use track definition of ellipse and hyperbola to conclude a simple solution of the inequation|x-a|+|x-b|≥c（≤c）and|x-a|-|x-b|≥c（≤c）,where the trivialdiscussiondetails with or without the geometric mean of theabsolute value in three intervals are overcome,and the difficulties drawing a piecewise function image are avoided,and the principle in which the ellipse focal length is less than or equal to diameter(fixed length)is also adopted to quickly determine undetermined parameters scope in|x-a|+|x-b|≥c（≤c）.

absolute value;inequation;formula;method

G632.0

：A

1009-3583（2014）-0109-02

2014-04-25

遵義師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究課題（13ZYJ031）

趙興杰，男，貴州習(xí)水縣人，遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院教授，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究。