FRP加固具單裂紋RC梁疲勞分析

劉 鋒，陳得良

(1.長沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南 長沙 410014；2. 湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082)

0 引 言

橋梁這類工程結(jié)構(gòu)，常承受不同類型、不同重量和不同速度車輛的作用。RC(鋼筋混凝土梁)梁在運(yùn)營的過程中易產(chǎn)生裂紋，而FRP(纖維增強(qiáng)復(fù)合材料)具有質(zhì)輕、高強(qiáng)、抗疲勞等特性，因此用FRP對該類帶裂紋RC構(gòu)件進(jìn)行加固是橋梁加固的有效方法[1-3]。

FRP復(fù)合材料運(yùn)用于橋梁加固的時(shí)間相對較短，現(xiàn)還鮮有關(guān)于FRP加固具單裂紋RC梁疲勞性能的研究報(bào)道。且現(xiàn)有的研究成果主要集中于實(shí)驗(yàn)研究。為了研究FRP加固RC梁后的疲勞性能，G.Williams，等[4]對加固后的Vintage橋進(jìn)行了長期監(jiān)控，并將數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)測試的結(jié)果進(jìn)行對比研究。黃培彥，等[5-6]對FRP加固RC梁的疲勞主裂紋擴(kuò)展速率和主裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了相關(guān)研究。國內(nèi)學(xué)者研究了CFL(碳纖維薄板)增強(qiáng)RC梁在循環(huán)載荷作用下的疲勞性能，并對其在隨機(jī)變幅疲勞荷載下進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究[7-8]。裂紋導(dǎo)致的應(yīng)力集中效應(yīng)在國內(nèi)外現(xiàn)有關(guān)于具單裂紋加固梁的研究還鮮有報(bào)道。在對具單裂紋加固梁進(jìn)行疲勞分析時(shí)，筆者通過引入裂紋影響因子來描述裂紋尖端附近的應(yīng)力集中現(xiàn)象，并結(jié)合加固梁對外載荷的位移響應(yīng)，分析加固梁的疲勞性能。

1 動(dòng)力學(xué)方程的建立

圖1為FRP加固具單裂紋RC簡支梁模型圖，在梁上作用大小為Psinωt的簡諧載荷，xC為裂紋距梁左端支座的距離，xP為載荷作用點(diǎn)距離梁左端支座的距離，AS1，AS2分別表示受壓鋼筋和受拉鋼筋的截面面積,b表示梁寬的一半，d為梁高的一半，l表示梁的全長。

圖1 FRP加固具單裂紋RC梁模型Fig.1 Model of cracked RC beam strengthened with FRP

FRP加固具單裂紋RC梁由混凝土、鋼筋和FRP復(fù)合材料3種材料組成。為便于問題的研究，筆者將以上材料視為均質(zhì)的彈性材料，并引入以下假設(shè)：

1)FRP上的應(yīng)力不沿厚度方向發(fā)生變化[9]；

2)應(yīng)變沿梁截面高度線性變化；

3)鋼筋與混凝土、FRP與混凝土不產(chǎn)生相對滑移；

4)忽略梁的剪切效應(yīng)以及黏結(jié)層的作用；

5)只研究裂紋發(fā)生較小擴(kuò)展的情況。

基于以上假設(shè)，加固梁的位移模式可表示為：

(1)

(2)

式中:xC為裂紋的位置;a，d分別為裂紋的深度和梁高的1/2;α為裂紋沿尖端應(yīng)力的衰減率,本模型中α=1.276[11]；m為應(yīng)力沿橫向線性變化的斜率。

對于不超過中性軸的微小裂紋，加固梁中性軸以上的應(yīng)力、應(yīng)變可以忽略裂紋對其的影響，其中Heaviside 函數(shù)u(d-a-z)為：

(3)

通過Hamilton能量變分原理，具單裂紋加固梁的動(dòng)力學(xué)方程為：

(4)

式中：T，U和V分別為系統(tǒng)的動(dòng)能、應(yīng)變能和外力勢能;δ為變分符號(hào);t為時(shí)間變量。

混凝土、鋼筋和FRP的動(dòng)能分別為：

(5)

(6)

(7)

式中：ρC，ρS，ρF分別為混凝土、鋼筋和FRP的密度；AC為混凝土梁截面面積；AS1，AS2分別為受壓鋼筋和受拉鋼筋的截面面積；AF為FRP截面面積；VC，VS，VF分別為混凝土梁、鋼筋和FRP的體積。

對于細(xì)長梁，式(5)～式(7)的第二項(xiàng)可以忽略不計(jì)，對式(5)～式(7)沿截面高度積分可得：

(8)

含單裂紋混凝土梁、鋼筋和FRP的應(yīng)變能分別為：

(9)

(10)

(11)

將式(1)代入式(9)～式(11),并沿截面積分，得：

(12)

式中：EC，ES，EF分別為混凝土、鋼筋和FRP的彈性模量，其中：

(13)

式中：zSi(i=1,2)，zF分別為中性軸到鋼筋和FRP形心的距離。

加固梁總的動(dòng)能和應(yīng)變能為：

(14)

加固梁的外力勢能V為：

(15)

式中：q(x,t)為分布荷載，簡介q。

將方程(14)和方程(15)代入方程(4)，可得：

(16)

對式(16)進(jìn)行分部積分后可得：

(17)

簡支梁的邊界條件為：在x=0 和x=l處δw=0，δw″=0。

根據(jù)分離變量法，假設(shè)式(17)的解為：

w=W(x)T(t)

(18)

(19)

將式(18)和式(19)代入式(17)，可得：

(20)

式中：α1=ECf(x)+ES[fS1(x)+fS2(x)]+EFfF(x)；α2=ρCAC+ρS(AS1+AS2)+ρFAF。

(21)

整理后為：

(22)

將式(22)寫成矩陣的形式：

(23)

式中：T=[T1,T2,…,Tn]T為n階列向量。

質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K和廣義力矩陣Q可以寫成：

(24)

(25)

(26)

式中：[I] 為n×n單位矩陣。

2 疲勞壽命計(jì)算公式推導(dǎo)

現(xiàn)有研究成果表明，當(dāng)FRP加固RC梁發(fā)生以鋼筋疲勞斷裂為主導(dǎo)的破壞方式時(shí)，能最大限度地發(fā)揮加固梁上各材料的材料性能[12]。因此，筆者對加固梁進(jìn)行疲勞性能分析也是基于此種破壞方式?，F(xiàn)假設(shè)當(dāng)加固梁的裂紋擴(kuò)展到一定的深度時(shí)，由于剛度的減小梁會(huì)產(chǎn)生較大的變形，隨即鋼筋相繼發(fā)生脆性斷裂，同時(shí)加固梁完全喪失承載能力。

根據(jù)材料力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，加固梁上任意一點(diǎn)的應(yīng)變可表示為：

(27)

式中：Ei和Ii分別表示彈性模量和慣性矩；i=C、S1、S2、F分別表示混凝土、受壓鋼筋、受拉鋼筋和FRP；M為點(diǎn)所在截面處的彎矩；y為中性軸到所要計(jì)算應(yīng)變點(diǎn)的距離。

因此，梁上任意一處的應(yīng)力可表示為：

(28)

加固梁上任意一處彎矩的大小可表示為：

M=∑EiIiw″

(29)

將式(29)代入式(28)可得：

σC=ECyw″

(30)

將FRP加固具單裂紋RC梁在Psinωt作用下的位移響應(yīng)式(18)代入式(30)可得:

(31)

根據(jù)斷裂力學(xué)的相關(guān)理論，加固梁裂紋處的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子可表示為：

(32)

式中：F(ξ)為是應(yīng)力強(qiáng)度因子修正系數(shù)[13]，其與梁的形狀、加載方式和邊界條件有關(guān)，且

F(ξ)=1.017-2.120ξ+7.710ξ2-13.55ξ3+14.25ξ4

(33)

式中：ξ=a/h；a為裂紋長度；h為梁的高度。

將式(31)代入式(32)可得：

(34)

根據(jù)相關(guān)疲勞裂紋擴(kuò)展速率研究成果，假設(shè)加固梁疲勞主裂紋的穩(wěn)定擴(kuò)展速率為da/dN，通過Paris-Erdogan方法，其可以表示為：

(35)

式中：C和m為材料常數(shù)，C=0.902，m=5.74[13]。

故，式(35)可表示為：

(36)

式中：ΔK為梁在最大交變應(yīng)力σmax和最小交變應(yīng)力σmin時(shí)計(jì)算得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子值之差：

ΔK=Kmax-Kmin

(37)

對式(36)進(jìn)行積分可計(jì)算出加固梁的疲勞壽命：

(38)

式中：a0為裂紋的初始長度；aC為裂紋臨界長度；N0為a0時(shí)載荷作用的周期數(shù)；NC為aC時(shí)載荷作用的周期數(shù)。

為了提高計(jì)算精度，現(xiàn)將初始裂紋到臨界裂紋的長度平均劃分成m段，即：

(39)

故加固梁總的疲勞壽命為：

(40)

3 數(shù)值分析結(jié)果與討論

圖1中FRP加固具單裂紋RC簡支梁在簡諧荷載作用下模型的參數(shù)如表1。

表1模型的參數(shù)Table 1 Parameters of modeling

將理論計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。為了準(zhǔn)確模擬裂紋對梁的影響，梁用SOLID95單元模擬，鋼筋用LINK8單元模擬，而FRP片材用SHELL63單元模擬。ANSYS模型未考慮鋼筋與混凝土、FRP與混凝土間的滑移，同時(shí)忽略黏結(jié)層的作用。

3.1 加固梁應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

圖2為加固梁在跨中分別作用頻率為ω=10 Hz，大小為P=1，2，3 kN的正弦載荷時(shí)，理論計(jì)算與數(shù)值模擬的應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋深度關(guān)系曲線對比圖。

圖2 不同方法分析的應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋深度的關(guān)系曲線Fig.2 Relation curve of stress intensity factor and crack depth analyzed by different methods

從圖2可看出，與數(shù)值模擬的結(jié)果相比理論計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度相對較小，但兩者具有相同的變化趨勢；當(dāng)a=0.04 m時(shí)兩種方法計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度因子均達(dá)到最大值，而當(dāng)a>0.04 m時(shí)，兩種方法計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度因子均隨裂紋深度的增加而減小，這是因?yàn)殡S著裂紋不斷擴(kuò)展，F(xiàn)RP復(fù)合材料將逐漸發(fā)揮其對梁的加固作用；當(dāng)施加的載荷較大時(shí)，兩種方法計(jì)算的結(jié)果吻合得較好。

3.2 加固梁疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命分析

圖3為加固梁在跨中分別作用頻率為ω=10 Hz，大小為P=1，2，3 kN的正弦載荷時(shí)，理論計(jì)算與數(shù)值模擬加固梁疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測值曲線。

圖3 不同方法分析的疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命與裂紋深度的關(guān)系曲線Fig.3 Relation curve of fatigue life of crack propagation and crack depth analyzed by different methods

從圖3可看出，對加固梁疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命進(jìn)行計(jì)算時(shí)，理論計(jì)算的結(jié)果與數(shù)值模擬的結(jié)果變化趨勢相一致，但數(shù)值模擬的結(jié)果較理論值??；加固梁在較小的載荷作用時(shí)，兩種方法計(jì)算的結(jié)果差值較大，而當(dāng)加固梁所受到的載荷較大時(shí)，理論值與數(shù)值模擬的結(jié)果吻合的較好；同時(shí)隨著裂紋深度的增加，理論值與數(shù)值模擬結(jié)果的差值逐漸增大。

4 結(jié) 論

為研究FRP加固具單裂紋RC梁在循環(huán)載荷作用下的疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命，筆者先求出加固梁對載荷的位移響應(yīng)，再運(yùn)用材料力學(xué)和斷裂力學(xué)的相關(guān)理論計(jì)算裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，最后采用Paris-Erdogan方法對加固梁進(jìn)行疲勞壽命分析，并將該種方法計(jì)算的結(jié)果與有限元模擬的結(jié)果進(jìn)行了對比。通過分析得出了以下結(jié)論：

1)裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋深度的增加呈現(xiàn)先上升后下降的變化趨勢，且隨載荷的增加逐漸變大。

2)加固梁的疲勞壽命對載荷的變化較為敏感。加固梁的疲勞剩余壽命隨著裂紋的擴(kuò)展先緩慢減少，而當(dāng)a>0.15 m時(shí)裂紋梁的疲勞剩余壽命加速減少，當(dāng)a>0.55 m時(shí)梁的疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命曲線變緩。

3)對加固梁進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算時(shí)，數(shù)值模擬的結(jié)果與理論方法計(jì)算的結(jié)果具有相同的變化趨勢，但理論值均小于數(shù)值模擬的結(jié)果。當(dāng)加固梁受到較大的載荷作用時(shí)，兩者的計(jì)算結(jié)果吻合得較好。

4)對加固梁進(jìn)行疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命分析時(shí)，理論值與數(shù)值模擬的結(jié)果具有相同的變化趨勢，但數(shù)值模擬的結(jié)果較理論值小。

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