基于微分方程的橋梁裂縫檢測研究

王家偉，楊庭庭，蔣 偉

(1.重慶交通大學 信息科學與工程學院，重慶 400074；2. 重慶交通大學 理學院，重慶 400074 )

0 引 言

近幾年，隨著中國經濟的快速發(fā)展，中國的橋梁事業(yè)得到了飛速的提升，造橋數量已居世界首位。斜拉橋、懸索橋、拱橋、梁橋、組合橋等各式橋梁隨處可見。但國內塌橋事故也呈上升趨勢[1]，種種原因中，橋梁裂縫是最常見的橋梁病害之一。橋梁裂縫是一種危及橋梁安全但卻較難計測的破損狀態(tài)。裂縫一旦產生，首先會對橋梁產生一系列的危害，輕則影響行車舒適性和路面美觀，嚴重時危及行車安全，甚至威脅到生命安全；其次，水容易滲入橋梁內部，破壞橋梁的內部結構，降低橋梁的使用性能，加速橋梁整體破壞，縮短使用壽命，造成經濟損失。因此，有必要定期檢查橋梁裂縫，并做出相應的維護措施，以便在橋梁裂縫出現的早期發(fā)現它、修繕它，確保橋梁的正常運營，減少經濟損失。

目前對此類病害檢測多停留在人工階段，通常使用近距離檢測儀器將裂縫放大后進行檢測，這樣的檢測結果不僅精度低，而且人員安全問題得不到保障，操作費用高[2-4]。鑒于當前國內橋梁檢測技術的不足以及數字圖像處理技術的優(yōu)勢，筆者采用基于數字圖像處理的橋梁裂縫檢測自動識技術，利用圖像處理技術中的邊緣檢測方法來進行橋梁裂縫檢測，從而確保橋梁安全運營，降低檢測成本。

迄今，由偏微分理論可以推導出多種邊緣檢測方法，其中最為常用的是整數階微分方法。但整數階微分在對高頻部分增強效果的同時會丟失部分低頻信息。分數階微分作為其改進和推廣的方向之一，被廣泛應用到醫(yī)學圖像處理、交通違規(guī)圖像檢測和信息科學等多個研究領域，并已成功解決了諸多圖像處理問題，如圖像去噪、邊緣檢測和圖像增強等。將分數階偏微分應用到圖像去噪中，不僅具有較強的抑制噪聲能力，較好地保持圖像邊緣特征，還能保留更多的圖像紋理細節(jié)信息[5]。張旭秀，等[6]將分數階微分引入醫(yī)學圖像邊緣檢測，從而提高醫(yī)生的診斷速度和準確性；楊柱中，等[7]提出了基于分數階微分的圖像增強方法，分數階微分能夠增強信號的高頻成分，同時對中頻信號也有提升的作用，并且甚低頻信號也得到了非線性保留，因此將分數階微分應用于圖像增強能夠明顯突出圖像的邊緣、紋理更加清晰和圖像平滑區(qū)域信息得以保留的增強圖像。盡管分數階微分理論已被應用于數字圖像處理的多個領域，但它在對信號的中、低頻進行較好處理的同時對高頻的提升卻不及整數階微分。

針對以上方法的不足，筆者以分數階微分理論為基礎，將分數階微分和Sobel算子相結合應用于圖像處理技術之一的邊緣檢測中，得到了一種邊緣檢測模型，并將該邊緣檢測方法應用到橋梁裂縫檢測中。仿真實驗表明，筆者的方法能較好地提取橋梁裂縫特征，同時能夠抑制噪聲的影響。將該方法用于處理紋理細節(jié)豐富的圖像時，模型能更好地檢測紋理細節(jié)。與其它邊緣檢測方法相比，筆者的方法檢測效果更好，優(yōu)于其它檢測方法，能夠達到橋梁裂縫檢測的目的。

2 橋梁裂縫檢測模型的建立

2.1 整數和分數階微分理論的比較和分析

從數字信號處理的角度看，分數階微分的物理意義可以理解為廣義的調幅調相[8]，其振幅隨頻率呈分數階冪指數變化。對應的1、2階和分數階微分的幅頻特性曲線如圖1。

圖1 信號的幅頻特性Fig.1 Amplitude frequency characteristics of signals

圖1表明，整數和分數階微分運算對高頻信號都有提升的作用，并且提升的效果隨著微分階數的增加而呈非線性增長，但提升高頻信號的同時會削弱信號的低頻部分。同時還得出：2階微分對信號高頻的提升和低頻的削弱效果明顯強于1階微分。對于分數階微分而言，分數階微分雖然可以彌補整數階微分不能很好的檢測出中、低頻信號的缺陷，但對高頻信號的提升程度卻小于1、2階微分；與此同時，用分數階微分進行處理時，中頻信號得到了一定程度的加強，低頻信號卻沒有像整數階微分那樣被大幅度的衰減，而是得到了非線性保留。因此，分數階微分與整數階微分相比，它具有整數階微分能夠提升圖像的高頻信號的優(yōu)點，同時也克服了整數階微分的缺點，即增強了中頻信號，非線性的保留了低頻信號。因此將分數階微分用于邊緣檢測，在較好的提取圖像邊緣特征的同時，還能檢測出圖像的紋理細節(jié)信息，并且對噪聲具有一定的抑制作用。

通過對整數階和分數階微分的對比分析，筆者將建立基于分數階微分的邊緣檢測模型，并將其用于橋梁裂縫檢測。

2.2 橋梁裂縫檢測新模型的推導

Sobel 算子進行邊緣檢測時，沿不同的邊緣檢測方向，其梯度的幅度是一致的，對應的水平梯度和豎直梯度掩模[9]如下：

假設一幅圖像的灰度函數為F(x,y)，取其3×3的像素鄰域，如圖2。

圖2 3×3像素鄰域Fig.2 3×3 pixel neighborhood

利用上面所述的Sobel算子的水平梯度和豎直梯度掩膜對該 3 × 3 的像素區(qū)域作卷積運算，得到像素點(x，y)處的水平梯度GR(x，y)和豎直梯度GC(x，y)：

GR(x,y)=F(x-1,y+1)+2F(x-1,y)+F(x-1,y-1)-F(x+1+,y+1)-2F(x+1,y)-F(x+1,y-1)

(1)

GC(x,y)=F(x-1,y-1)+2F(x,y-1)+F(x+1,y-1)-F(x-1,y+1)-2F(x,y+1)-F(x+1,y+1)

(2)

對圖像進行等間隔采樣，取步長Δx=1，進行中心差分得：

(3)

同理可得：

(4)

文獻[8]給出了一元信號F(t)分數階微分的差分近似表達式如式(5)：

(5)

針對數字圖像的特點(二元信號)，根據一元信號F(t)分數階微分的差分近似表達式，由此可得F(x，y)的分數階偏微分表達式如式(6)：

(6)

根據分數階微分理論，用v階 (0

(7)

(8)

為了簡化并較好地實現邊緣檢測，將式(6)的前3項代入式(7)和式(8)中，整理得到優(yōu)化后新模型的行梯度和列梯度模型，如式(9)、式(10)：

F(x,y-1)]+2v[F(x-1,y+1)+2F(x-1,y)+

F(x-1,y-1)]-(v2-v)[F(x-2,y+1)+

2F(x-2,y)+F(x-2,y-1)]

(9)

F(x+1,y)]+2v[F(x-1,y-1)+2F(x,y-1)+

F(x+1,y-1)]-(v2-v)[F(x-1,y-2)+

2F(x,y-2)+F(x+1,y-2)]

(10)

得到優(yōu)化后的模型對應的水平梯度和豎直梯度掩模如下：

3 仿真實驗和結果分析

3.1 不同微分階數邊緣檢測效果對比與分析

以“Abutment cracks圖”和“Bridge crack1圖”為例，借助工具MATLAB 7.1，進行計算機仿真實驗[10]。

從圖3可看出，實驗效果隨微分階數v的增加而逐漸變好；當v=0.9時，實驗效果最好，不僅能較好的檢查出邊緣，也能檢查出紋理細節(jié)；當v>0.9時，檢測的效果出現了雙邊緣，如圖3(d)。圖3 (a)為處理前的原始圖像，圖3 (b)～圖3(f)是本文方法選取不同參數v的實驗結果。

圖3 本文方法取不同微分階數檢測Abutment cracks圖Fig.3 Method with different fractional order tocheck “Abutment cracks” graph

為進一步證明本文方法在選擇較好微分階數v的情況下能很好的達到檢測效果，對“Bridge crack1圖”選取不同的參數v進行實驗。

如圖4，當0

圖4 本文方法取不同微分階數檢測Bridge crack 1圖Fig.4 Method with different fractional order to check “Bridge crack 1” graph

3.2 本文方法與其他邊緣檢測方法的實驗對比

針對不同的圖像，將優(yōu)化后的模型首先進行若干組實驗，選取較好的微分階數v，與現有的邊緣檢測方法進行對比，如圖5。

圖5 本文方法與其他方法的對比(Bridge crack 2圖)Fig.5 Comparison of the proposed method and othermethods(Bridge crack 2)

從圖5的對比可以得出：Roberts算子檢測出的邊緣不連續(xù)；Sobel算子雖然可以提取出圖形的邊緣特征，但對于某些點而言，不能很好的區(qū)分圖像的主體和背景信息；Canny算子為了滿足較好的檢測效果，需要使用較大的濾波尺度，因此一些圖像細節(jié)容易丟失；文獻[8]方法是利用分數階微分定義的掩模算子作為模板來進行圖像邊緣檢測，雖然可以更好的檢測出圖像的紋理細節(jié)，但是對某些邊緣的提升強度不夠，容易丟失部分邊緣。本文模型不僅能很好的檢測出邊緣特征，同時對紋理細節(jié)的檢測效果也很好，優(yōu)于現有的邊緣檢測方法，能夠較好地達到橋梁裂縫檢測的目的。

4 本文模型的客觀評價

針對邊緣檢測的客觀評價，常用的客觀評價標準有線性連接程度(L)、錯檢率(N)和漏檢率(F)[11]。有效邊緣的連接程度L越高，錯檢率N越小，漏檢率F越少，則邊緣評價越高。將客觀評價的3個指標組合起來，定義新的邊緣評價度量Me，Me是由3個指標的加權平均而得到的，如式(11)：

(11)

式中：α，β，γ分別表示不同評價指標對評價度量的影響程度。

以hand圖為例，進行實驗對比。假設評價指標L，和F對綜合評價指標Me的權重分別是α=0.15，β=0.65，γ=0.2，計算結果如表1。

從表1中可得出，本文方法的綜合評價指標Me優(yōu)于其余幾個方法，漏檢率F=0，能很好的檢測到圖像的邊緣紋理細節(jié)。本文模型的3個指標都優(yōu)于Sobel算子的；與文獻[8]方法相比，本文模型錯檢率N更低，在分數階微分的基礎上有一定的改進，明顯優(yōu)于現有的整數階微分算法。對應的實驗對比如圖6。

圖6 對hand圖客觀評價實驗對比Fig.6 Experimental comparison of objective evaluationof “hand” graph

5 結 語

筆者將分數階微分理論與現有的Sobel 算子方法相結合，得到了一種新的邊緣檢測方法，并進行仿真實驗。實驗表明：文中方法優(yōu)于現有的邊緣檢測方法。將文中方法運用到橋梁裂縫檢測中，既能避免人工檢測時出現較大的誤差，也能節(jié)省費用，是一種實用且有效的方法。但是，由于該模型是基于分數階微分推導而得，而分數階微分具有對圖像邊緣提升不夠的缺點，因此可以將該思想進一步推廣到有理數階微分，這將是進一步研究的內容。

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