橢圓函數在濾波器上的應用

卓群忠

(福建廣播電視大學莆田分校，福建 莆田351100)

上世紀初，研究人員在雙模準橢圓函數方面的研究上取得了一定的成果，同時將這一理論應用在了濾波器的諧振單元中，形成了L型結構耦合單元。新世紀初，Lung-Hwa Hsieh和Kai Chang等人的研究促進了橢圓函數濾波器的發(fā)展，他們通過將圓環(huán)諧振器和間隙耦合發(fā)明了緊湊型的橢圓函數濾波器。沒過多久，Lung-Hwa Hsieh和Kai Chang等人又通過耦合臂和方形環(huán)搭配諧振電路設計出了L型支節(jié)耦合的雙模準橢圓函數濾波器。之后，吳勝陽概括總結了橢圓函數低通濾波器的工作原理和設計方法，通過對MATLAB的仿真，結合橢圓函數的設計步驟，給出了一個能夠在微帶線上的橢圓函數低通濾波器設計方案。綜上，對于橢圓函數濾波器的研究并不少見。文章就橢圓函數的定義和推導出發(fā)，介紹橢圓函數在濾波器中的應用，以及橢圓函數的響應特性，綜合闡述橢圓函數在濾波器方面的應用及發(fā)展。

1 橢圓函數基本概念

1.1 橢圓函數

雅可比橢圓函數是橢圓濾波器的數學基礎，通過積分的思想方法，借助勒讓德第一類橢圓積分導出其具體性質：

在我們研究的范圍內，參數k是小于1的實數，稱為模數，把t做如下代換：

第一類橢圓積分可以推導出以下函數：

橢圓積分顧名思義，與橢圓的性質有很大關系，具有對稱性，同時也具有周期性，因此任意實數k的函數值都能夠在0≤Ψ≤π/2周期內的計分表中獲得。

要是把公式(2)的積分上限φ當作是u和k的函數，那么可以引入符號：φ=am(u，k)，其中φ稱為以k為模的u的幅度函數，通過變換可以獲得x=sinφ=sin am(u，k)，這就是以k為模的雅可比橢圓正弦函數。

1.2 橢圓函數的性質

函數：

這個函數的極點是當sn(u，k)的函數值為零的地方，此時u=0，因為sn(u，k)=0，并且是關于4K和j2K'雙周期函數，因此函數sn(u，k)的極點為2mK+j(2n+1)K'，這里的n，m是一個整數。因為n階橢圓函數具有低通的性質：

這個函數當中，如果n是一個奇數，那么這個函數的特征函數是：

如果n是一個偶數，那么這個函數的特征函數是：

函數中K1=K(k1)；K=K(k)被定義為全橢圓積分，這兩個函數的模為k1和k。Fn(w)是一個特征函數，這里可以得到有理函數(這個有理函數是兩個含w的多項式比值)，有理函數定義域范圍內包含的零點完全落在阻帶范圍內，并且定義域內的所有極點也全部在阻帶范圍內。例如：令n=3，k=1/1.4=0.71429，可以獲得Fn(w)，通過積分表可以獲得K=K(k)=K(0.71429)=1.86282，式中θ=sin-lk=45°35'，則可得出：

當n=4(偶數)，k=1/1.4=0.71429

1.3 濾波器中橢圓函數的數學模型

橢圓函數的性質應用于濾波器，需要對其的數學模型進行確定包括橢圓函數特征函數的相關參數，物理上表現在濾波器上的性能為衰減特性、工作傳輸函數，通過數學模型能夠把濾波器的電路圖和相關的電器元件參數進行設計。

衰減特性為：

式中y0=ω/ω0。

這個衰減特性函數的特征函數為：

式中v=1，…，n；k=1，…，(n-1)/2，s作為復歸一頻率，有函數s=jy，s(v)為傳輸函數的自然模式，即傳輸函數的零點；pk是衰減函數的衰減極點，存在于阻帶的范圍內；c(v)是衰減函數的衰減零點，存在于通帶的范圍內；n是電路階次。切比雪夫近似在數學上表現為過渡帶趨于∞時，橢圓函數能夠獲得的數值，可以通過一系列的遞推公式獲得奇階橢圓函數近似。通常來說，能夠獲得兩個遞推公式，依照正向的遞推公式，能夠獲取切比雪夫近似的一般通式，同時在這基礎上能夠利用反向遞推的方法，獲得橢圓函數的相關模型，進而可以獲得橢圓函數濾波器的電路形式和電路元件的相關數據。

公式(6)的變化中，能夠獲得特征函數為零的頻率點，這些點對應著傳輸函數的最大值：

這個函數當中，如果n是一個奇數，那么可以獲得：

如果n是一個偶數，那么可以獲得：

理論上能夠獲得的最小通帶增益為：

這個值對應于Fn(w)=±1。

這個函數當中，如果n是一個奇數，那么可以獲得：

如果n是一個偶數，那么可以獲得：

所以理論上可以獲得的直流增益是：

函數值的曲線上有一個極點(最低點)，此時通帶上有w=wc，可以獲得對應于n的最小增益都有：

H是一個固定值的情況下，ε(波紋因子)主要是通帶中峰表現。其中波紋和通帶的數學關系為：

阻帶能夠得到的最低點是零，為特征函數的極點，因此：

所以理論上可以獲得的阻帶增益是：

這時的頻率為：

阻帶衰減量與k1，ε的函數值之間有如下關系：

增益特性從通帶到阻帶單調地減小，一般會把阻帶邊緣對應的增益下降到最大處頻率稱為ws。這就有如下關系式：

能夠獲得F為：

K為選擇因子，其倒數為陡度，表征過渡帶增益特性。

1.4 橢圓函數濾波器

橢圓函數為基礎的這一類濾波器具有有限傳輸點，具有等波紋的特點，定義傳輸函數為：

這個函數中，Ω為角頻率，通過第一類雅克比橢圓函數積分獲得，函數Fn(Ω)是關于Ω的函數。通過函數信號圖像的繪制，可以獲得橢圓函數濾波器的頻響曲線，見圖1。

圖1 橢圓函數濾波器頻率響應衰減特性

2 橢圓函數濾波器的應用

通常微波濾波器有多種形式，濾波器的頻率響應主要有巴特沃茲型、切比雪夫型和橢圓函數型。巴特沃茲型濾波器要需要更多的階數，這就使得這種濾波器的設計更為復雜，而橢圓函數濾波器能夠使濾波器獲得更好的選擇性，相較于另一種切比雪夫型濾波器，設計結構上更加簡單易行。橢圓函數濾波器在設計中，通常使得其組成中相關的諧振電容電感器件成對排布，因而相比較與另外兩種濾波器，橢圓函數濾波器的性能更加優(yōu)越。同時在設計過程中，能夠利用橢圓函數的元件選擇，對橢圓函數濾波器的性能進行調節(jié)，從而使得橢圓函數濾波器在寄生效應方面具有更大優(yōu)勢，能夠讓系統(tǒng)S參數曲線更加符合預期。

吳勝陽概括總結了橢圓函數低通濾波器的工作原理和設計方法，通過MATLAB的仿真，結合橢圓函數的設計步驟，給出了一個能夠在微帶線上的橢圓函數低通濾波器設計方案。賈曉斌等采用了一種新的歸一方法，該方法基于DDS，能夠利用EDA軟件對Muhisim2001進行仿真，通過對橢圓函數濾波器的結構，物理參數，電階數等方面進行設計，他的設計讓他獲得了具有一定的較快衰減特性，并且幅頻性能也具有一定的優(yōu)勢的160MHz的7階橢圓函數濾波器。他的設計方案能夠應用于不同頻段、階數、類型的濾波器設計。李嬋娟等以橢圓函數低通濾波器為基礎，設計了一款能夠克服以往濾波器結構過大，渡帶衰減慢等問題的高低阻抗線微帶低通濾波器，主要是利用了橢圓函數，設計給出了這種濾波器相關參數的理論計算方法，利用ADS和HFSS對濾波器的設計進行了模擬優(yōu)化，并最終做出了實物，展開測試驗證，獲得了較好的實驗結果，證明了他的設計方案是有效的。董利芳基于傳統(tǒng)的高低阻抗線結構濾波器，利用橢圓函數設計了低通濾波器，能夠應用于微波平面電路，通過HFSS仿真模擬可以獲得，該濾波器的過渡帶較傳統(tǒng)濾波器更陡峭，同時也具有更加寬泛的頻域，并且在物理結構上能夠減小使用材料，減小體積和結構復雜性。

3 結論

橢圓函數濾波器具有更高的選擇性和更好的性能優(yōu)勢，在設計中，通常其組成中相關的諧振電容電感器件成對排布，橢圓函數濾波器的性能更加優(yōu)越。同時在設計過程中，能夠利用橢圓函數的元件選擇，對橢圓函數濾波器的性能進行調節(jié)，從而使得橢圓函數濾波器在寄生效應方面具有更大優(yōu)勢，讓系統(tǒng)S參數曲線更加符合預期，并且以橢圓函數為基礎的這一類濾波器具有有限傳輸點，等波紋特點，因而能夠應用于高性能濾波器。