基于Sylvester結式低次拼接條件的研究

孫 原，李耀輝

（天津職業(yè)技術師范大學計算機科學系，天津 300222）

基于Sylvester結式低次拼接條件的研究

孫 原，李耀輝

（天津職業(yè)技術師范大學計算機科學系，天津 300222）

根據(jù)拼接中的主曲面和輔助曲面方程，利用同倫映射方法構造出含有單位區(qū)間變元的代數(shù)方程，應用Sylvester結式方法消去變元得到拼接曲面表達式。然后，假設該曲面表達式能夠進行因式分解，分析G0和G1次光滑拼接中拼接曲面的次數(shù)最低時輔助曲面S（hi）應滿足的條件。最后，運用Grobner基理論判斷分解因式后各因式是否在主曲面和輔助曲面生成的理想中，從而得出符合條件的低次拼接曲面。

同倫映射；Sylvester結式；曲面拼接；分解因式；理想

0 引言

在計算機輔助幾何設計（CAGD）的應用中，基于功能和美觀要求常常需要將兩個或兩個以上的曲面進行光滑拼接，國內(nèi)外很多學者對此研究出了不少方法[1]-[5]，[9]，[11]-[14]，希望得到次數(shù)盡可能低的拼接曲面，目前很多學者用Grobner基對自由曲面進行拼接研究，婁文平等[6]利用理想的Grobner基得到了求出所有代數(shù)拼接曲面的方法，并求出所有次數(shù)最低的GCk連續(xù)的拼接曲面。Tie-ru Wu[7]得到兩個或以上的隱式代數(shù)曲面G1連續(xù)的拼接曲面的方法，并用Grobner基特性降低次數(shù)?，F(xiàn)在拼接方法是相對成熟，工業(yè)需求中往往需要的是低次拼接曲面。給定主曲面S（fi）時，如何選取確定次數(shù)的輔助曲面S（hi）來使相應的拼接曲面次數(shù)最低似乎更讓人們感興趣。對于實際問題，很多人將最低次數(shù)拼接曲面歸結為計算理想交[1]的Grobner基。但是，由于該方法計算復雜度高，難以實現(xiàn)，需另辟路徑。吳文俊在文獻[8]中提出特征列并對于兩個垂直圓管在與軸垂直的平面截口處C1光滑拼接充要條件，但算法不能推廣到高階幾何連續(xù)情形。李耀輝在文獻[10]中討論利用結式消元方法得出曲面拼接，實現(xiàn)簡單且效率高。本文就是利用結式消元理論討論兩二次曲面作為主曲面且其軸垂直的平面截口處G0和G1光滑拼接時的所滿足最低次拼接條件。

1 拼接曲面構造

設兩代數(shù)曲面S（f1），S（f2）是需要拼接的主曲面，S（h1），S（h2）是兩截面即輔助曲面，過渡曲面B從S（f1，h1）處開始過渡到S（f2，h2）并且光滑連接。由同倫概念可知，設X，Y是兩個弧式連通的Hausdorff空間，如果存在一個映射H：X×I→Y，其中I是單位區(qū)間0≤t≤1，使得對于所有的x∈X有H（x，0）=f0（x），H（x，1）=f1（x），則說f0，f1在映射H：X×I→Y是同倫的。現(xiàn)將兩被接拼曲面考慮為兩個Hausdorff空間，其中的過渡曲面（即拼接曲面B）認為是兩曲面對應點的弧式連通函數(shù)。連通函數(shù)的連續(xù)性保證了過渡曲面的連續(xù)性。這樣，曲面的拼接問題轉化為弧式連通函數(shù)的計算問題。根據(jù)同倫方法中連續(xù)變換的理論，f1在H的作用下映射為f2，輔助曲面h1映射為h2。這樣，李耀輝[10]得出如下定理：

定理1 對于代數(shù)曲面f1，f2及其對應的過渡曲面h1，h2，構造如下方程組

并利用Sylvester結式消去變元t，得到方程B滿足：

即B為Gk連續(xù)拼接曲面。

2 兩圓柱拼接G0連續(xù)存在的最低次條件

若fi是二次主曲面，hi是一次輔助曲面，由以上定理可知拼接曲面滿足G0（即k=0時）連續(xù)時，tdeg（fi。上述定理是針對曲面拼接的一般情況得到的，即三次拼接曲面總是存在的且當結式不能夠進行因式分解時該結式就是拼接曲面。是否存在次數(shù)更低的拼接曲面。因為在工程實踐中拼接曲面的次數(shù)越小，越容易實現(xiàn)。因此，我們研究在什么情況下，可以使拼接曲面B的次數(shù)盡可能的降低。

首先考慮的一種情況，主曲面是兩圓柱面且兩軸垂直時，在與軸垂直的平面截口處G0光滑拼接時滿足的條件：給定兩個軸垂直且半徑分別為r1，r2的圓柱

兩輔助曲面分別為：

其中：d1，d2分別為截距。由式（2）可以得到G0連續(xù)時的拼接曲面表達式為：

將（3），（4）式代入（5）式得到

其中：m，n，a，a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3，d0均為參數(shù)，將式（6）與式（7）的系數(shù)對比，可以得到20個關于系數(shù)的方程，分別求解系數(shù)方程，得到兩個與r1，r2，d1，d2有關的等式即：和d1=d2，從而進一步推出r1=r2。

即可以得出結論，兩圓柱面且兩軸垂直時，G0連續(xù)時要得到最低拼接曲面，則必須滿足如下條件：d1= d2，且r1=r2。

3 兩圓柱拼接G1連續(xù)時存在的最低次條件

同樣還是兩圓柱曲面，設表達式與（3），（4）一樣，若要滿足G1（即k=1）次光滑連續(xù)，則根據(jù)式（2），此時的拼接曲面應為：

由上式可知tdeg（B）≤4，故此處可假設B是可以分解因式的，先假設B可被分解成一個一次多項式與一個三次多項式相乘，即：

將式（9）因式分解，分別與式（8）的系數(shù)做比較，可得出如下關系：

討論情形1，當d1≠0時，由④，⑤，?，?可分別將1，a2分別用m表示出來，再代入?式中，得

綜合上述可知，d1≠0時，由?和?可知，存在三次拼接曲面，當且僅當：

情形2，當d1=0時，則d2=0，且r1=r2，求出相關的系數(shù)，將得到的各式子代入原式（9）的展開式中得到：

由上式可看出當r1=r2=r時可分解為

定理2[10]如果所得結式B可以分解為若干個因式的乘積，則其中必有一項B′是f1，f2分別沿曲線B（f1，h1），B（f2，h2）Gk連續(xù)的拼接曲面。

故根據(jù)上述定理可以判斷式（12）中的x2+y2+z2-r2即為拼接曲面，從而達到了降次的效果。由上式推導得出的結論我們可以推廣到一般情形，得出如下定理：

推論1：當二次曲面（橢圓面，拋物面，雙曲面，各曲面的系數(shù)相等）軸線垂直時，在各項系數(shù)都相等情況下，與軸垂直的平面截口處G1光滑拼接能得到的三次拼接曲面條件為：

存在二次拼接曲面條件為：

其中：d1，d2為截面的截距，m1，m2分別為y，z前的系數(shù)，r1，r2分別為二次曲面的常數(shù)。

證明：設二次曲面可表示為：

將式（13），（14）代入式（2）中，得

因為第二行只含y，z要想上式可分解，則只能考慮是關于y，z的因子，故此處必有a1=a2=a，c1=c2= c，r1=r2=r，又因為第二行的z2，y2的系數(shù)為±1，則此時要想可分解，則必有d1=d2，且第一行中b1=b2，m1=m2，故可提出公因式（z-y），可把式子表示成如下形式：

由式（16）可以看出，提出公因式后第一列的式子均只剩下一次項，而第二列是二次多項式，交叉相乘后tdeg（B*）=3，由定理2可知tdeg（B）=tdeg（B*）= 3，得到最低次拼接曲面為三次。同樣，在d1=-d2時，存在m=0的情況下得到公因式（x+y），并得到最低次為三次拼接曲面。

那么要得到最低次拼接曲面為二次時，同樣可用上述方法分析得出，當m=0，d=0，時，得到

可以得出tdeg（B′）=tdeg（B）=2

4 實例

例1：兩不相交圓柱G0光滑拼接

拼接曲面為：

兩圓柱G0光滑拼接時存在的二次拼接條件滿足所討論的即：d1=d2且r1=r2，得到的拼接圖形如圖1所示，圖（a）為式Res（沒有去除多余因子時）效果圖，（b）圖是式B（即去除多余因式后）的拼接效果圖，從圖中可以看出去除多余因子后不僅不會影響圖形拼接效果，而且還能達到降低次數(shù)的效果。

圖1 兩不相交圓柱G0光滑拼接

例2：兩相交圓柱G1光滑拼接

拼接曲面為：

滿足上述討論的情形2，即當d1=d2=0且r1=r2，可以得到最低次曲面拼接方程，拼接效果如下圖2所示，（a）圖為未除去多余因子時的效果圖，因為兩圓柱面相交，存在重合部分，不好看，為了美化圖形，取值時分別取圓柱的一半從而消去中間重合的部分，形成所示的水管的洼槽形式如圖2（b）圖所示。

例3：兩拋物面G1光滑拼接

圖2 兩相交圓柱G1光滑拼接

兩拋物面拼接G1光滑拼接時，滿足推論1，即tdeg（Res）=4時，d1=d2且r1=r2存在三次拼接曲面如圖3所示：

圖3 兩拋物線G1光滑拼接

例4：兩雙曲面G1光滑拼接

同樣兩雙曲面拼接時，也滿足推論1，此處只取雙曲面的半頁進行拼接得到的拼接圖如圖4所示：

圖4 兩雙曲面G1光滑拼接

5 總結

本文討論了基于結式曲面拼接情況下，尋找兩垂直圓柱在與軸垂直的平面截口處Gk光滑拼接時得到最低次拼接面的條件，可以看出，若要滿足G0次光滑拼接時的最低曲面只能是二次曲面，即在兩圓柱的半徑和輔助曲面的截距均相等時存在最低次為二次的拼接曲面；若要滿足G1次光滑拼接時，存在最低次為二次的拼接曲面當且僅當兩截距均為零且兩圓柱的半徑相等時；存在最低次為三次拼接曲面時的條件為兩圓柱的半徑相等，且輔助曲面的截距的平方相等。并通過了大量的實驗證明了該方法的正確性。并且將其推廣到一般情況下的兩個二次曲面拼接，得到G1光滑拼接曲面滿足的低次拼接（二次或三次多項式）推論形式。并證明其正確性，目前僅考慮了被拼接圖形是同類型的圖形且截面垂直情況下，對于其它一般不同二次形的曲面拼接以及截面不垂直情況下尋找最低次將是以后要研究的重點。

［1］ Joe Warren.Blending algebraic surfaces[J].ACM Transactions on Graphics，263-278.1989.

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［6］ 婁文平，馮玉瑜，陳發(fā)來，等.構造代數(shù)Blending曲面的Grobner基方法[J].計算機學報，2002，Vol.25（6）：599-605.

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［8］ 吳文俊，王定康.CAGD中代數(shù)曲面擬合問題[J].數(shù)學的實踐與認識，1994，6（3）：26-31.

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［12］李云東.二次與三次隱式代數(shù)曲面沿平面截口光滑拼接[D].四川：西南交通大學，2006.

［13］李耀輝，宣兆成，武志峰.二次代數(shù)曲面拼接中的光順處理[J].計算機應用，2014，34（7）：2054-2057.

［14］郭明浩.含參代數(shù)曲面族的光滑拼接及有理參數(shù)化[D].吉林：吉林大學，2012.

Computing the Lowest Degree Condition for Blending Surface by Using Sylvester Resultant

SUN Yuan，LI Yao-hui
（Department of Computer Science，Tianjin University of Education and Technology，Tianjin 300222）

Constructing blending equations on algebraic surfaces and their auxillary surface by using the homotopy mapping method which containing the unit interval variables first.Then eliminate the variable with the Sylvester resultant method，so we can get the blending surface expression.According to the Sylvester elimination method of reverse assuming the expressions can be factorization，analysis and discussion auxiliary surface S（hi）should satisfy the conditions of the minimum number of surfaces when G0and G1smooth connection.Then judge the factored polynomial by Grobner base whether or not in the ideal.So we can get the low degree blending surface meets the conditions.

Homotopy；Sylvester resultant；Surface blending；Factorization；Ideal

TP391.7

A

2095－0926（2014）04－0001－04

2014-00-00

孫 原（1989—），女，碩士，主要研究領域為符號計算,結式理論及應用；李耀輝（1964—），男，教授，博士，主要研究符號計算，計算機輔助幾何設計，結式理論及應用.