基于Delphi的螺旋錐齒輪齒廓實(shí)體建模關(guān)鍵算法研究

王英杰，趙 巍，胡德計(jì)，潘 鑫

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市高速切削與精密加工重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222）

基于Delphi的螺旋錐齒輪齒廓實(shí)體建模關(guān)鍵算法研究

王英杰，趙 巍，胡德計(jì)，潘 鑫

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市高速切削與精密加工重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222）

根據(jù)成形法銑削螺旋錐齒輪切齒原理，推導(dǎo)出螺旋錐齒輪齒槽曲面的一元四次方程，通過(guò)求解一元四次方程得到齒槽上的關(guān)鍵點(diǎn)。為在Delphi+OpenGL環(huán)境下，利用所求得的關(guān)鍵點(diǎn)完成齒坯模型的建立，為仿真銑削過(guò)程的建立提供數(shù)據(jù)點(diǎn)。本文對(duì)比了在Delphi和Matlab下求解一元四次方程的不同，同時(shí)驗(yàn)證了本文算法的正確性。

一元四次方程；關(guān)鍵點(diǎn)；Delphi+OpenGL；Matlab

螺旋錐齒輪因其傳動(dòng)具有承載高、重疊系數(shù)大、傳動(dòng)平穩(wěn)、傳動(dòng)效率高、噪聲低以及安裝誤差對(duì)其的影響減小等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于礦山、石油、煤礦機(jī)械、機(jī)床、鐵路機(jī)車(chē)等機(jī)械工程領(lǐng)域。但作為一種局部點(diǎn)接觸的不完全共軛的齒輪副，設(shè)計(jì)和加工過(guò)程非常復(fù)雜。在正式生產(chǎn)前往往需要通過(guò)調(diào)整、試切來(lái)初步驗(yàn)證所使用的加工調(diào)整參數(shù)的合理性，延長(zhǎng)了生產(chǎn)周期、增加了生產(chǎn)成本、造成資源的浪費(fèi)。采用虛擬仿真將很好地解決上述問(wèn)題，然而目前對(duì)于錐齒輪的建模主要是在現(xiàn)有的商業(yè)工程軟件基礎(chǔ)上進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，在三維軟件中，通過(guò)齒面方程得到齒面上的離散點(diǎn)，最后擬合成螺旋錐齒輪曲面，這種開(kāi)發(fā)方式需要高昂的商業(yè)工程軟件支持，不具備自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)而且重用性差，一旦改變參數(shù)就必須從頭開(kāi)始。本文即針對(duì)上述問(wèn)題，利用Delphi+OpenGL面向?qū)ο蟮拈_(kāi)發(fā)軟件，基于半滾切法加工的齒輪，建立了推導(dǎo)弧齒錐齒輪齒廓曲面關(guān)鍵點(diǎn)的一元四次方程，并在Delphi里求解其關(guān)鍵點(diǎn)。為實(shí)體建模奠定基礎(chǔ)。

1 錐齒輪齒坯結(jié)構(gòu)及參數(shù)確定

基于成形法加工的大輪，建立弧齒錐齒輪齒廓曲面關(guān)鍵點(diǎn)的方程，刀具、機(jī)床和工件的坐標(biāo)系如圖1所示。

1）在機(jī)床坐標(biāo)系0M-xMyMzM下的背錐面方程：

2）在機(jī)床坐標(biāo)系0M-xMyMzM下的面錐方程：

其中：KM為齒面寬，aj為節(jié)錐角。

3）內(nèi)外刀面在0M-xMyMzM坐標(biāo)系下方程：

H、V分別為刀盤(pán)中心到機(jī)床坐標(biāo)原點(diǎn)的水平距離和垂直距離，a1為外刀齒形角，a2為內(nèi)刀齒形角，R為刀具的公稱(chēng)半徑，W為刀錯(cuò)距。

圖1 切齒坐標(biāo)系

4）求出交點(diǎn)

分別將方程（1）、（2）與（3）聯(lián)立求出背錐、面錐與內(nèi)（外）刀面的交點(diǎn)，即為一個(gè)一元四次方程，簡(jiǎn)記為：

2 Delphi下求解一元四次方程

求解一元四次方程有數(shù)值迭代法求解和解析法求解兩類(lèi)方法，數(shù)值迭代法需要對(duì)區(qū)間進(jìn)行搜索，計(jì)算量比較大也比較浪費(fèi)時(shí)間[1]。解析法求解一般有兩種方法，分別是笛卡爾算法[2]和費(fèi)拉里解法[3-5]。通過(guò)比較計(jì)算精度和穩(wěn)定性，本文采用費(fèi)拉里解法。在Delphi下編寫(xiě)求解一元四次方程的程序，并通過(guò)離散點(diǎn)數(shù)，最終可以得到齒槽上一系列的點(diǎn)，通過(guò)建立點(diǎn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)齒坯的實(shí)體建模。

首先將一元四次方程兩邊同時(shí)除以最高項(xiàng)系數(shù)，然后移項(xiàng)得

式中：y是一參數(shù)，不論取什么值，（6）式總成立。特別地，若所取值使等式右邊關(guān)于的二次三項(xiàng)式也能變成一個(gè)完全平方式，則對(duì)式（6）兩邊同時(shí)開(kāi)方可以得到次數(shù)較低的方程。為使（6）式右邊關(guān)于的二次三項(xiàng)式也能變成一個(gè)完全平方式，使它的判別式為0，即

這是一個(gè)關(guān)于y的一元三次方程，利用一元三次方程的求根公式解出值，代入式（6）后兩邊開(kāi)方，即可將四次方程降次成為一元二次方程，再通過(guò)一元二次方程的求根公式求解，最終能解出此一元四次方程的四個(gè)根，再根據(jù)系統(tǒng)需要對(duì)根進(jìn)行取舍。Delphi下求解根流程圖如圖2所示。

圖2 求解過(guò)程流程圖

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過(guò)運(yùn)行程序可以解出一元四次方程的解，由于每個(gè)齒槽有4條線(xiàn)組成，分別是內(nèi)外刀面與面錐和根錐的交線(xiàn)，在 Delphi下求得的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1.90989236825379e+2，-3.48033964838081e+1，-1.67596083394905e+1）。本文在每條交線(xiàn)上取20個(gè)離散點(diǎn)。在Matlab里解非線(xiàn)性方程組的方法通常是牛頓迭代法，需要初值。結(jié)果表明，不論初值多少，在機(jī)床坐標(biāo)系下求得的交點(diǎn)均為（1.909912e+2，-3.47978e+ 1，-1.67460e+1），與Delphi里求解結(jié)果一致，即驗(yàn)證了在Delphi下求解的正確性。表1列出2種算法的計(jì)算結(jié)果。

表1 Matlab與Delphi求得交點(diǎn)分析

求出齒槽上的關(guān)鍵點(diǎn)后，建立點(diǎn)鏈表和輔助鏈表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過(guò)三角片的連接原理和機(jī)床刀具的調(diào)整參數(shù)（表2）最終完成齒坯的實(shí)體造型如圖3所示。

表2 加工調(diào)整參數(shù)

圖3 大輪與刀盤(pán)嚙合

4 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)成形法加工螺旋錐齒輪的切齒原理，建立了螺旋錐齒輪及銑齒刀內(nèi)、外刀面的數(shù)學(xué)模型，在Delphi下通過(guò)求解一元四次方程，得到了建模所需的關(guān)鍵坐標(biāo)點(diǎn)，并在Matlab里驗(yàn)證了該方法的正確性，基于Delphi+Opengl建立了仿真銑削的界面和仿真模型，實(shí)現(xiàn)了仿真切削，為后續(xù)的螺旋錐齒輪數(shù)字化加工奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

［1］ 周志宏.一元四次方程2種根式求解算法的精度分析[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，6（3）：5-6.

［2］ 郭敏.一元四次方程公式解的求根溯源[J].數(shù)學(xué)之友，2011（12）：72-73.

［3］ 智海章.一元四次方程求解方法的思考與研究[J].甘肅高師學(xué)報(bào)，2001，6（2）：25-26.

［4］ 王躍華.淺談三次方程與四次方程的解法[J].沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，22（6）：8-10.

［5］ 馬飛龍，胡德計(jì)，趙巍，等.弧齒錐齒輪成形法數(shù)控加工仿真建模與實(shí)現(xiàn)技術(shù)[J].機(jī)械工程與自動(dòng)化，2011，（1）：20-22.

［6］ 李兆文，王勇，萬(wàn)金領(lǐng).基于實(shí)際切齒方法的弧齒錐齒輪建模與仿真[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2008（6）：26-30.

［7］ 熊越東，王太勇，張威.螺旋錐齒輪數(shù)控加工參數(shù)轉(zhuǎn)換計(jì)算方法[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2006（8）：5-9.

［8］ 丁撼，阿達(dá)依·謝爾亞孜旦.新型螺旋錐齒輪數(shù)控銑齒機(jī)的結(jié)構(gòu)模型設(shè)計(jì)[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2013（10）：28-31.

［9］ 胡芳芳，吳國(guó)星，胡德計(jì).數(shù)控系統(tǒng)圓柱車(chē)削的虛擬仿真實(shí)現(xiàn)[J].現(xiàn)代制造工程，2005，（8）：17-19.

［10］王太勇，邢元，李琳，等.螺旋錐齒輪虛擬加工過(guò)程算法[J].天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，45（2）：116-120.

The study on the key algorithm of spiral bevel gear tooth profile modeling based on Delphi

WANG Ying-jie，ZHAO Wei，HU De-ji，PAN Xin
（Tianjin Key Laboratory of High Speed Cutting&Precision Machining，Tianjin University of Technology and Education Tianjin300222，China）

According to the principle of forming milling spiral bevel gear teeth，a yuan quartic equation of the spiral bevel gear tooth surface is derived and the key points on the tooth are got by solving a quartic equation.The Gear blank model is established by using the obtained key points Under Delphi+OpenGL circumstance，providing data points for the establishment of the simulation of milling process.This article compares the differences to solve equation of four times a yuan under Delphi and Matlab，at the same time，the algorithm in this paper proved to be correct.

a yuan quartic equation；key points；Delphi+OpenGL；Matlab

TH132；TP311

A

2095－0926（2014）04－0001－04

2014-07-10

天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前沿技術(shù)研究計(jì)劃項(xiàng)目：跨平臺(tái)數(shù)控系統(tǒng)運(yùn)行機(jī)理及結(jié)構(gòu)研究（10JCYBJC06900）

王英杰（1988—），女，河南商丘人，碩士，研究方向?yàn)槁菪F齒輪仿真算法；趙 ?。?976—），女，副教授，博士，研究方向?yàn)閿?shù)字化制造。