水聲信號(hào)的非線性建模與預(yù)測方法

孫 妍, 李亞安, 陳 曉, 戴 淼, 高文娟

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水聲信號(hào)的非線性建模與預(yù)測方法

孫 妍, 李亞安, 陳 曉, 戴 淼, 高文娟

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院, 陜西 西安, 710072)

對(duì)水聲信號(hào)尤其是混響干擾和背景噪聲的預(yù)測和濾波, 是水下目標(biāo)信號(hào)檢測的基礎(chǔ), 在非平穩(wěn)、非高斯、非線性水聲信號(hào)處理中具有重要應(yīng)用。本文利用最小二乘估計(jì)和Volterra級(jí)數(shù)理論, 分別對(duì)水聲信號(hào)建立預(yù)測模型并進(jìn)行一步及多步預(yù)測, 通過分析預(yù)測結(jié)果, 選取最優(yōu)預(yù)測參數(shù)。仿真結(jié)果表明, 基于奇異值分解的Volterra級(jí)數(shù)模型的預(yù)測相對(duì)誤差較最小二乘估計(jì)小一個(gè)數(shù)量級(jí), 預(yù)測結(jié)果更加逼近真實(shí)值。

水聲信號(hào); 混響干擾; Volterra級(jí)數(shù); 最小二乘估計(jì); 非線性建模; 多步預(yù)測

0 引言

近年來, 隨著水聲研究的重點(diǎn)向近岸淺海海域的轉(zhuǎn)移, 有關(guān)海洋噪聲的非線性研究越來越受到人們的高度重視。水聲信號(hào)處理是信號(hào)處理的一大分支[1]。由于水聲信號(hào)的高度復(fù)雜性, 以傳統(tǒng)信號(hào)處理理論為基礎(chǔ)的水聲信號(hào)處理, 立足于水聲信號(hào)的平穩(wěn)性、隨機(jī)性和線性, 而忽略了水聲信號(hào)的非平穩(wěn)性和非線性。Volterra級(jí)數(shù)是泛函數(shù)的一種[2], 多年眾多學(xué)者的理論研究和工程實(shí)踐表明, Volterra級(jí)數(shù)模型是一種工程應(yīng)用價(jià)值很高的非線性模型, 可應(yīng)用于大多數(shù)非線性系統(tǒng)。

本文首先采用經(jīng)典的線性方法建立系統(tǒng)的線性模型, 然后重點(diǎn)采用Volterra級(jí)數(shù)模型的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行非線性建模, 并在此基礎(chǔ)上對(duì)目標(biāo)信號(hào)分別實(shí)現(xiàn)一步及多步預(yù)測, 并對(duì)預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較分析。預(yù)測結(jié)果表明, Volterra級(jí)數(shù)模型結(jié)合了水聲信號(hào)的線性及非線性特性, 預(yù)測效果優(yōu)于最小二乘估計(jì)。

1 線性模型

線性預(yù)測是根據(jù)已有的數(shù)據(jù)序列, 按照線性函數(shù)來計(jì)算未來某一時(shí)刻的數(shù)據(jù)信號(hào)的數(shù)學(xué)方法。最常見的表示形式為

線性最小二乘估計(jì), 是以誤差的平方和最小為準(zhǔn)則, 根據(jù)觀測數(shù)據(jù)線性模型中位置參數(shù)的一種基本參數(shù)估計(jì)法。1794年, 德國數(shù)學(xué)家C.F.高斯在解決行星軌道預(yù)測問題上首先提出最小二乘法。它的基本思路是選擇估計(jì)量使預(yù)測值與真實(shí)值之差的平方和達(dá)到最小。線性最小二乘法是應(yīng)用最廣泛的參數(shù)估計(jì)方法。本文采用最小二乘估計(jì)作為線性預(yù)測的模型。

利用得到的核函數(shù)及測試樣本序列, 進(jìn)行線性最小二乘法預(yù)測。

2 非線性模型

2.1 Volterra濾波器模型

由式(5)得, Volterra濾波器實(shí)質(zhì)是非線性FIR濾波器, 濾波器的輸入信號(hào)矢量和核函數(shù)分別為

則式(3)可表示為

2.2 奇異值分解Volterra濾波器模型

在此基礎(chǔ)上, 本文采用奇異值分解Volterra濾波器[4-5](SVD-Volterra)的方法計(jì)算非線性系統(tǒng)的核函數(shù)。

其中:

。并有, , 當(dāng)時(shí), 矩陣方程(9)有最小二乘解。根據(jù)奇異值分解, 存在正交矩陣, 使得

3 預(yù)測原理

設(shè)輸入矢量為

3.1 Volterra濾波器一步預(yù)測

3.2 Volterra濾波器多步預(yù)測

4 預(yù)測仿真結(jié)果與討論

本文選用Lorenz信號(hào)、Duffing信號(hào)及海洋試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為仿真信號(hào), 以Lorenz和Duffing信號(hào)訓(xùn)練預(yù)測模型, 在此基礎(chǔ)上, 展開基于線性最小二乘法、非線性奇異值分解Volterra自適應(yīng)濾波的一步及多步預(yù)測。

首先對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行歸一化處理

然后取仿真信號(hào)的1000個(gè)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測模型的訓(xùn)練, 取該仿真信號(hào)中不同于訓(xùn)練序列樣本的500個(gè)點(diǎn)作為測試序列, 并以預(yù)測相對(duì)誤差作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。定義相對(duì)誤差為

表1、2分別為Lorenz序列和Duffing序列不同預(yù)測步長的相對(duì)誤差比較。對(duì)于相同信號(hào), 3階Volterra自適應(yīng)濾波器的預(yù)測性能要優(yōu)于線性最小二乘估計(jì)。對(duì)于不同的信號(hào), 3階Volterra自適應(yīng)濾波器的有效預(yù)測步長也不盡相同。在此基礎(chǔ)上, 本文選擇3階Volterra自適應(yīng)濾波器, 實(shí)現(xiàn)對(duì)海洋噪聲和艦船噪聲的一步及多步預(yù)測, 多步預(yù)測的有效步長均可達(dá)25步, 預(yù)測結(jié)果見圖3和圖4。

圖1 Lorenz流x分量預(yù)測

圖2 Duffing流x分量預(yù)測

圖3 海洋噪聲Volterra預(yù)測

圖4 艦船噪聲Volterra預(yù)測

表1 Lorenz序列預(yù)測相對(duì)誤差

表2 Duffing序列預(yù)測相對(duì)誤差

5 結(jié)束語

本文選用Volterra級(jí)數(shù)和線性最小二乘的方法, 分別對(duì)混沌序列建立預(yù)測模型, 在Volterra級(jí)數(shù)建模中采用基于奇異值分解的自適應(yīng)算法, 在此基礎(chǔ)上展開一步預(yù)測和多步預(yù)測的研究。仿真結(jié)果表明, 采用基于奇異值分解的Volterra自適應(yīng)濾波器實(shí)現(xiàn)多步預(yù)測, 結(jié)果優(yōu)于線性最小二乘估計(jì), 原因在于Volterra級(jí)數(shù)不僅包含了信號(hào)的線性特性, 更包含了信號(hào)的非線性特性, 能夠更逼近真實(shí)的信號(hào)。此外, 對(duì)于不同的信號(hào), Volterra自適應(yīng)濾波器的有效預(yù)測步長也不盡相同。這對(duì)利用Volterra自適應(yīng)濾波器開展針對(duì)水聲信號(hào), 尤其是混響干擾和背景噪聲的濾波及預(yù)測研究, 及如何提高預(yù)測模型精度和有效預(yù)測步長的研究, 具有重要意義。本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于, 通過比較線性最小二乘估計(jì)和非線性Volterra級(jí)數(shù)模型的預(yù)測結(jié)果, 說明Volterra級(jí)數(shù)模型能夠結(jié)合水聲信號(hào)的線性及非線性特性, 具有更好的預(yù)測性能, 對(duì)水聲信號(hào)處理的進(jìn)一步研究提供理論依據(jù)。

[1] 朱昀. 水聲信號(hào)非線性分析方法研究[D]. 西安: 西北工業(yè)大學(xué), 2002.

[2] 張秀梅. Volterra濾波器的自適應(yīng)算法研究[D]. 杭州: 杭州電子科技大學(xué), 2009.

[3] 張家樹, 肖先賜. 混沌時(shí)間序列的Volterra自適應(yīng)預(yù)測[J]. 物理學(xué)報(bào), 2000, 49(3): 403-408.

Zhang Jia-shu, Xiao Xian-ci. Predicting Low-Dimensi-onal Chaotic Time Series Using Volterra Adaptive Filter[J]. Acta Physica Sinca, 2000, 49(3): 403-408.

[4] 陸振波, 蔡志明, 姜可宇. 基于奇異值分解的混沌時(shí)間序列Volterra預(yù)測[J]. 武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 31(4): 672-675.

Lu Zhen-Bo, Cai Zhi-ming, Jiang Ke-yu. Prediction of Chaotic Time Series Using Singular Value Decomposition Volterra Filter[J]. Journal of Wuhan University of Technology, 2007, 31(4): 672-675.

[5] 房媛媛, 李亞安, 崔琳, 等. 基于Volterra級(jí)數(shù)的自適應(yīng)水聲信號(hào)預(yù)測方法研究[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2013, 34(9): 1173-1179.

Fang Yuan-yuan, Li Ya-an, Cui Lin, et al. Research on Pr- ediction of Underwater Acoustic Signals Based on Volt- erra Adaptive Filter[J]. Acat Armamentarii, 2013, 34(9): 1173-1179.

[6] 雷亞輝, 宋春云, 丁士圻. 基于Volterra自適應(yīng)濾波的水中混響非線性預(yù)測[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 28(10): 1127-1130.

Lei Ya-hui, Song Chun-yun, Ding Shi-qi. Nonlinear Pred- iction of Underwater Reverberation Based on a Volterra Adaptive Filter[J]. Journal of Harbin Engineering Univ- ersity, 2007, 28(10): 1127-1130.

[7] Boné R, Crucianu M. Multi-step-ahead Prediction with Neural Networks a Review[J]. Approches Connexionni-stes en Sciences éconemiques et en Gestion, 2002(11): 97-106.

(責(zé)任編輯: 楊力軍)

Nonlinear Modeling and Prediction of Underwater Acoustic Signal

SUN YanLI Ya-anCHEN XiaoDAI MiaoGAO Wen-juan

(School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

The prediction and filtering of underwater acoustic signals, especially of reverberation interference and background noise, lay the foundation of underwater target signal detection and processing of non-stationary, non-Gaussian and nonlinear underwater acoustic signals. In this paper, based on the linear theory of least square estimation and the Volterra series theory, two prediction models of target signal are established to conduct one-step and multi-step predictions. Thus, the optimal prediction parameters are obtained by comparing and analyzing the prediction results. Simulations show that the prediction model based on singular value decomposition of Volterra series achieves more accurate results in predicting the underwater acoustic signal, and its relative error of prediction is one-order of magnitude smaller, compared with the model based on least square estimation.

underwater acoustic signal; reverberation interference; Volterra series; least square estimation; nonlinear modeling; multi-step prediction

TB566; TN911.7

A

1673-1948(2014)05-0341-06

2014-04-10;

2014-07-02.

國家自然科學(xué)基金(51179157).

孫 妍(1987-), 女, 在讀碩士, 主要研究方向?yàn)樗曅盘?hào)處理.