灰色理論用于遙測數(shù)據(jù)中長期預(yù)測

任國恒，王 健，朱 海

周口師范學(xué)院計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 周口 466001

隨著在軌衛(wèi)星數(shù)量的增加和戰(zhàn)略意義的增強，維持衛(wèi)星安全穩(wěn)定運行變得越來越重要，在軌管理的難度也相應(yīng)加大[1].在軌衛(wèi)星運行期間，受各種空間環(huán)境因素的影響，反映其功能與性能的遙測參數(shù)會發(fā)生變化[2]，而這種變化是某點或短時間內(nèi)的遙測數(shù)據(jù)無法反映的.如果衛(wèi)星運行期間發(fā)生異常，相應(yīng)的遙測數(shù)據(jù)的變化趨勢也會隨之改變[3]，因此開展衛(wèi)星遙測數(shù)據(jù)中長期預(yù)測研究，對衛(wèi)星遙測數(shù)據(jù)的變化趨勢進行建模，預(yù)測未來時段的遙測數(shù)據(jù)變化趨勢，可以提前預(yù)測衛(wèi)星潛在的故障，增強診斷系統(tǒng)的故障早期發(fā)現(xiàn)能力，為指揮人員與控制中心進行實時決策提供有力的參考，對保障在軌衛(wèi)星的安全穩(wěn)定運行、開展衛(wèi)星性能研究等方面具有非常重要的意義.

常用的中長期預(yù)測方法有支持向量機法[4-5]、反向傳播(Back Propagation,以下簡稱：BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[6]、灰色預(yù)測法[7-9]等，其中灰色預(yù)測法是一種基于灰色系統(tǒng)理論的方法.灰色系統(tǒng)理論的主要研究對象是部分信息已知，部分信息未知的灰色系統(tǒng)[10].由于影響遙測數(shù)據(jù)變化的因素具有不確定性，表現(xiàn)似乎無規(guī)律，具有一定的模糊性和灰色不確定性，遙測數(shù)據(jù)系統(tǒng)恰好可以看作是一個灰色系統(tǒng)，因此利用灰色預(yù)測模型對遙測數(shù)據(jù)進行中長期預(yù)測是一種非常有效的方法.

1 灰色系統(tǒng)理論

灰色系統(tǒng)理論是由華中科技大學(xué)鄧聚龍教授于1982年提出的，以樣本小、信息少的不確定系統(tǒng)為主要研究對象，基于少量已知數(shù)據(jù)，對原始信息概念量化，通過構(gòu)建的模型來預(yù)測未知數(shù)據(jù).該理論由于需要的樣本數(shù)據(jù)少，建模原理簡單，預(yù)測精度高，計算方便，不需要考慮分布規(guī)律等優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用[11-12].對信息不完全的衛(wèi)星遙測數(shù)據(jù)采用灰色預(yù)測模型可實現(xiàn)對遙測數(shù)據(jù)變化趨勢、變化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)測.

1.1 灰色系統(tǒng)理論的基本方法

1.1.1累加生成 GM(1,1)模型是使用最多的灰色模型，其實質(zhì)是對原始數(shù)據(jù)序列做一次累加生成.累加生成作為灰色建模的基礎(chǔ)，灰色預(yù)測過程中可使數(shù)據(jù)由灰變白，是灰色系統(tǒng)中占有極為重要地位的理論.累加生成使灰量累積過程的發(fā)展趨勢變得明顯，它把任意波動的、非負(fù)的數(shù)據(jù)序列通過累加算法轉(zhuǎn)化為遞增的數(shù)據(jù)序列，累加生成后的數(shù)據(jù)序列其規(guī)律性更強.

累加過程如下:

有原始時間數(shù)列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)} ，?x(0)(i)∈R+,n∈N,對其做一次累加生成計算，即令：

(1)

從而可得新的生成數(shù)列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)} ，新的生成數(shù)列X(1)一般近似的服從指數(shù)規(guī)律，則稱X(1)為X(0)的一次累加生成，即如果有原始數(shù)據(jù)序列X(0)={3,5,6,2,8}，其一次累加生成序列為X(1)={3,8,14,16,24}.

1.1.2 累減還原 累減還原對累加生成起還原作用，主要作用是把通過累加生成進行建模預(yù)測后的數(shù)據(jù)進行還原.

設(shè)X(0)為原始序列,X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(n)} ，?x(0)(i)∈R+,n∈N，a(1)X(0)={a(1)X(0)(1),a(1)X(0)(2),…,a(1)X(0)(n)} ，其中：

a(1)X(0)=X(0)(k)-X(0)(k-1),

k=1,2,…,n,

(2)

則稱a(1)X(0)為X(0)的一次累減還原.

1.2 灰色GM(1,1)預(yù)測模型的構(gòu)建

灰色系統(tǒng)理論通過關(guān)聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念定義了灰導(dǎo)數(shù)和灰微分方程，用離散的數(shù)據(jù)序列來建立微分方程的動態(tài)模型. GM(1,1)模型是灰色問題建模使用最多的灰色模型.

灰色GM(1,1)預(yù)測模型建立步驟如下：

(2)根據(jù)均值序列建立灰色微分方程模型.令z(1)為x(1)的均值序列，z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))，z(1)的計算方式為z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)，k=2,3,…,n，建立白化方程:

(3)

將白化方程離散化，微分變差分，則GM(1,1)的灰色微分方程為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b.

(4)

灰色微分方程中的待定系數(shù)a、b分別為發(fā)展系數(shù)和灰作用量.

(3)參數(shù)a、b的求解.把k=2,3,…,n代入GM(1,1)的基本形式x(0)(k)+az(1)(k)中，有

x(0)(2)+az(1)(2)=b

x(0)(3)+az(1)(3)=b

?

x(0)(n)+az(1)(n)=b

上述方程組可轉(zhuǎn)化為下述矩陣方程：

yN=BP

(5)

yN=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T

稱矩陣B為數(shù)據(jù)矩陣，向量yN為數(shù)據(jù)向量，向量P為參數(shù)向量.

根據(jù)最小二乘法yN=BP的解為：

(6)

式(6)稱為GM(1,1)參數(shù)a，b的矩陣辨識算式，矩陣(BTB)-1BT是數(shù)據(jù)矩陣B的廣義逆矩陣.

(7)

GM(1,1)預(yù)測模型x(0)(k)+az(1)(k)=b相應(yīng)的時間序列為：

k=1,2,…,n.

(8)

(5)累減還原.還原后的預(yù)測值為：

k=1,2,…,n.

(9)

(6)誤差檢驗.GM(1,1)模型的誤差檢驗一般有殘差的檢驗、關(guān)聯(lián)度的檢驗和后驗差的檢驗這3種檢驗誤差方法.

(10)

(11)

(12)

記S1為原始數(shù)據(jù)序列方差，有

(13)

記S2為殘差的方差，有

(14)

2 遙測數(shù)據(jù)灰色GM(1,1)模型工程實例分析

2.1 預(yù)測數(shù)據(jù)樣本的選擇

鑒于灰色預(yù)測模型少樣本的特點，筆者選用了某地球同步衛(wèi)星配電器殼溫度2013年1月至12月的遙測數(shù)據(jù)值，共12組數(shù)據(jù).

原始數(shù)據(jù)序列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}為X(0)=(25.3,36.1,29.2,34.9,18.5,21.3,15.8,26.0,32.7,35.8,16.2,23.8).

2.2 一次累加生成

原始數(shù)據(jù)序列一次累加生成為X(1)=(25.3,61.4,90.6,125.5,144,165.3,181.1,207.1,239.8,275.6,291.8,315.6).

2.3 根據(jù)均值序列建立灰色微分方程模型

令z(1)為x(1)的均值序列，z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)，z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))=(43.35,76,108.05,134.75,154.65,173.2,194.1,223.45,257.7,283.7,303.7)，則GM(1,1)的灰色微分方程模型為：x(0)(k)+az(1)(k)=b，k=1,2,…,12.

2.4 求解參數(shù)a和b

通過把灰色微分方程組化為矩陣的形式，用最小二乘法得到參數(shù)a，b的值為：a=0.028 7，b=31.480 9.

2.5 白化方程

2.5 累減還原，得到預(yù)測值

圖1為溫度遙測數(shù)據(jù)原始曲線與灰色預(yù)測數(shù)據(jù)曲線、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測曲線比較圖，圖中橫坐標(biāo)為2013年的12個月份，單位為月，縱坐標(biāo)為溫度數(shù)值，單位為攝氏度.

圖1 溫度實測曲線與預(yù)測曲線對比圖Fig.1 Comparison of predicted and measured curve

2.6 預(yù)測效果評價

某衛(wèi)星配電器殼溫度遙測數(shù)據(jù)灰色預(yù)測結(jié)果和預(yù)測精度見表1，同時表1中也給出了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果.

表1 預(yù)測值與實測值比較Table 1 Comparison of predicted and measured values

表2 預(yù)測效果對比Table 2 Comparison of evaluation predicted

相對實際值的預(yù)測精度計算發(fā)現(xiàn)，灰色預(yù)測的精度優(yōu)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度.因此，灰色預(yù)測GM(1,1)模型對遙測數(shù)據(jù)的中長期預(yù)測結(jié)果與實際吻合效果較好，預(yù)測精度高，滿足衛(wèi)星遙測數(shù)據(jù)中長期變化趨勢預(yù)測分析需要.

3 結(jié) 語

在遙測數(shù)據(jù)短期預(yù)測的基礎(chǔ)上，根據(jù)遙測數(shù)據(jù)中長期預(yù)測的意義和目的，筆者基于灰色理論，采用灰色預(yù)測GM(1,1)模型對衛(wèi)星某器件溫度遙測數(shù)據(jù)進行了預(yù)測研究.基于遙測數(shù)據(jù)中長期預(yù)測目的，構(gòu)建了遙測數(shù)據(jù)灰色預(yù)測模型，并依據(jù)模型進行了實例分析驗證.通過后驗差比值、小誤差概率的計算，模型預(yù)測精度級別的判定，以及灰色預(yù)測GM(1,1)模型預(yù)測精度和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測精度的對比，說明灰色預(yù)測GM(1,1)模型符合衛(wèi)星遙測數(shù)據(jù)中長期工程預(yù)測的要求.基于預(yù)測結(jié)果能夠提前預(yù)測遙測數(shù)據(jù)的變化趨勢和潛在故障趨勢，為地面測控人員較早發(fā)現(xiàn)異常變化、有效避免可能出現(xiàn)的故障、降低在軌衛(wèi)星運行的風(fēng)險提供科學(xué)決策依據(jù).

致 謝

西安工業(yè)大學(xué)于帆教授在本研究開展、實驗驗證分析過程和論文撰寫過程中提出了很多寶貴的建議，謹(jǐn)致謝意.感謝國家自然科學(xué)基金委員會對本研究提供的資金支持.

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