基于響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)疲勞壽命6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計*

賀新峰，于德介，肖枚清

(1.株洲時代新材料科技股份有限公司，株洲 412000；2.湖南大學(xué)，汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082；3.柳州乘龍專用車有限公司，柳州 545036)

前言

由于部件加工工藝、材料特性、幾何特性、載荷歷程和溫度等因素的影響，相同部件在同一應(yīng)力水平下的疲勞壽命也會很離散。為滿足部件的疲勞可靠性要求，工程上通常使疲勞壽命平均值遠大于結(jié)構(gòu)的設(shè)計壽命，從而造成材料的浪費和疲勞壽命的較大富余。因此，需要對結(jié)構(gòu)的疲勞壽命進行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計，使結(jié)構(gòu)疲勞壽命對隨機因素的變化靈敏度降到最低，即在結(jié)構(gòu)滿足疲勞可靠性的同時，疲勞壽命的平均值最小。

田口玄一博士于20世紀70年代末創(chuàng)立的三次設(shè)計法奠定了穩(wěn)健設(shè)計的理論基礎(chǔ)[1]。此后，穩(wěn)健設(shè)計受到了各發(fā)達工業(yè)國家的關(guān)注，并進行了一系列與田口思想相結(jié)合的研究與生產(chǎn)應(yīng)用活動。如文獻[2]中采用田口方法對設(shè)計參數(shù)進行優(yōu)化，為應(yīng)用遺傳算法對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化提供了穩(wěn)健的種群。隨著計算機技術(shù)、優(yōu)化設(shè)計理論和CAD技術(shù)的發(fā)展，逐漸形成了現(xiàn)代穩(wěn)健設(shè)計方法。

6σ穩(wěn)健性設(shè)計是結(jié)合蒙特卡洛分析、可靠性分析、田口穩(wěn)健設(shè)計法的要素，根據(jù)6σ設(shè)計理論建立的穩(wěn)健設(shè)計方法。它將可靠性設(shè)計和基于容差模型的穩(wěn)健設(shè)計相結(jié)合，在優(yōu)化過程中使響應(yīng)均值遠離約束，并減小響應(yīng)偏差，以提高設(shè)計結(jié)果的可靠性和穩(wěn)健性。文獻[3]中采用6σ穩(wěn)健設(shè)計方法對拼焊板車門進行了輕量化研究，在減輕車門質(zhì)量的同時，提高了響應(yīng)的穩(wěn)健性。

從現(xiàn)有文獻來看，對結(jié)構(gòu)疲勞壽命穩(wěn)健性的研究很少。文獻[4]中將結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計理論和隨機有限元法相結(jié)合，建立了一種結(jié)構(gòu)疲勞壽命穩(wěn)健優(yōu)化模型。本文中將響應(yīng)面法、6σ穩(wěn)健設(shè)計法與疲勞設(shè)計相結(jié)合，提出一種提高結(jié)構(gòu)疲勞壽命穩(wěn)健性且減輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量的方法。以某攪拌車副車架為研究對象，對其疲勞壽命進行了穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。在優(yōu)化過程中，先用拉丁超立方抽樣對設(shè)計參數(shù)進行采樣，并用MSC公司的有限元分析軟件MSC.Nastran計算攪拌車副車架疲勞關(guān)鍵點處的平均應(yīng)力和對稱應(yīng)力譜；再用Miner法求出結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點處的疲勞壽命；獲得疲勞壽命的仿真數(shù)據(jù)后，構(gòu)造疲勞壽命的響應(yīng)面模型；最后利用構(gòu)造的響應(yīng)面模型進行副車架疲勞壽命的6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。結(jié)果表明，該方法在保證副車架疲勞壽命可靠性和滿足設(shè)計要求的基礎(chǔ)上，有效提高了副車架疲勞壽命的穩(wěn)健性，減輕了副車架結(jié)構(gòu)質(zhì)量。

1 疲勞壽命估算

S-N曲線方程為

lgN=a+blgσ-1

(1)

式中：a、b為待定系數(shù)；N為疲勞壽命；σ-1為應(yīng)力幅值。

通過最小二乘法擬合得到的S-N曲線是標準光滑試樣在對稱循環(huán)應(yīng)力作用下得到的試樣疲勞性能曲線。但實際零件由于尺寸、形狀和表面情況的不同，不能通過標準試樣得到S-N曲線進行結(jié)構(gòu)疲勞設(shè)計，因此須對得到的S-N曲線進行修正。考慮尺寸、形狀和表面情況的影響時，對稱循環(huán)下零件疲勞強度降低系數(shù)為

KσD=Kσ/ε+1/β1-1

(2)

式中：Kσ為疲勞缺口系數(shù)；ε為尺寸系數(shù)；β1為表面加工系數(shù)。

修正后，零件某一疲勞壽命下的應(yīng)力幅值為

(3)

式中：KS為離散系數(shù)。

將式(3)代入式(1)，可得修正后的S-N曲線方程為

(4)

σD=σaσf/(σf-σm)

(5)

其中σf=σb+350

(6)

式中：σm為平均應(yīng)力；σa為沒有平均應(yīng)力作用時的應(yīng)力幅值；σf為真斷裂強度，MPa；σb為材料抗拉強度。

當結(jié)構(gòu)承受隨機載荷時，由Miner法則[6]可得某一載荷歷程循環(huán)一次的疲勞累積損傷為

(7)

式中：m為某一載荷歷程應(yīng)力幅值水平的級數(shù)；ni為一個載荷時間歷程中某一幅值載荷的循環(huán)次數(shù)；Ni為在相應(yīng)應(yīng)力幅值作用下部件達到破壞所需的循環(huán)次數(shù)。

假設(shè)D=k時，部件發(fā)生破壞，則結(jié)構(gòu)的疲勞壽命為

f=k/D

(8)

2 響應(yīng)面模型[7]的建立

系統(tǒng)響應(yīng)y與設(shè)計變量(x1,x2,…,xn)之間的關(guān)系可表示為

y=g(x1,x2,…,xn)

(9)

通過試驗設(shè)計，系統(tǒng)響應(yīng)與設(shè)計變量確定的函數(shù)關(guān)系表示為

y=f(x1,x2,…,xn)

(10)

式中f(x1,x2,…,xn)為多項式，f(x1,x2,…,xn)是對g(x1,x2,…,xn)的近似。f(x1,x2,…,xn)表示的曲面為響應(yīng)面。

采用二次多項式響應(yīng)面近似模型，其基本形式為

(11)

式中：n為設(shè)計變量數(shù)目；ai,aii,aij為多項式系數(shù)。

多項式系數(shù)是在拉丁方試驗設(shè)計[8]和有限元分析的基礎(chǔ)上，采用最小二乘法擬合得到。

為使響應(yīng)面能夠很好滿足結(jié)構(gòu)疲勞壽命穩(wěn)健設(shè)計的要求，在對結(jié)構(gòu)進行疲勞壽命6σ穩(wěn)健設(shè)計前須對響應(yīng)面模型進行精度檢驗，本文中采用F檢驗。在二次多項式響應(yīng)面模型中，若在置信水平α下有

則認為在α水平下該響應(yīng)面模型是顯著的，擬合精度好；反之則說明響應(yīng)面方程意義不大，須重新設(shè)計試驗，構(gòu)建新的響應(yīng)面方程。

3 疲勞壽命的6σ穩(wěn)健設(shè)計

疲勞壽命的6σ穩(wěn)健設(shè)計是采用6σ穩(wěn)健設(shè)計方法，使結(jié)構(gòu)疲勞壽命在滿足可靠性要求的條件下，疲勞壽命的平均值與方差最小。圖2為疲勞壽命穩(wěn)健優(yōu)化示意圖，假定疲勞壽命為單設(shè)計變量x的函數(shù)，設(shè)計變量的容差為Δ±x，這時穩(wěn)健設(shè)計的目的不在于尋找疲勞壽命y=y(x)的較大解xopt，而是在安全區(qū)內(nèi)選擇最接近目標值且其方差小的設(shè)計點xrobust。從圖2可以看出，設(shè)計變量在相同的變化范圍±x內(nèi)，當取xopt時，函數(shù)的最大波動范圍為Δfa，當取xrobust時，函數(shù)的最大波動范圍為Δfb，Δfb?Δfa。變量取xrobust時，系統(tǒng)穩(wěn)健性大大提高。

疲勞壽命6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型為

(12)

其中F(μlgy(xi),σlgy(xi))=

(13)

式中：F為目標函數(shù)；w1、w2為權(quán)因子；μxi和σxi分別為隨機變量xi的均值和標準差；μlgy和σlgy為疲勞壽命的對數(shù)均值和標準差；M為疲勞壽命對數(shù)均值的目標值；μgj和σgj分別為不同約束條件的均值和標準差；xL,i、xU,i分別為設(shè)計變量的最小值和最大值。

穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計須計算響應(yīng)和約束的均值和方差，目前常用的計算方法有解析法、矩法和蒙特卡洛模擬法[9]。解析法計算精確，但對于多變量、復(fù)雜非線性問題求解困難。蒙特卡洛模擬法通過統(tǒng)計模擬抽象來獲得隨機響應(yīng)分布特征值，方法簡單，適用于各種分布，但當模擬次數(shù)增多時，耗費時間長。矩法通過對響應(yīng)函數(shù)進行泰勒級數(shù)展開，計算展開式的均值和方差，求解容易，結(jié)果雖為近似解，卻具有足夠的精度。考慮以上各方法的特點，本文中采用矩法獲得多維隨機變量的均值和方差近似計算表達式。

設(shè)y=f(x1,x2,…,xn)為隨機變量x1,x2,…,xn的函數(shù)，已知這些隨機變量的均值分別為μ1,μ2,…,μn，將函數(shù)在點[x1,x2,…,xn]T=[μ1,μ2,…,μn]T處用泰勒級數(shù)展開，有

y=f(x1,x2,…,xn)=f(μ1,μ2,…,μn)+

(xi-μi)(xj-μj)+Rn

(14)

式中：Rn為余項。對式(14)取數(shù)學(xué)期望，變量x1,x2,…,xn相互獨立，得均值和方差的簡化表達式為

(15)

(16)

對常采用的二階響應(yīng)面模型，均值和方差的近似表達式分別為

(17)

(18)

式中:γ為待定系數(shù)。

遺傳算法能在較大的設(shè)計變量空間內(nèi)迅速尋優(yōu)，有較強的全局優(yōu)化性能[10]，本文中采用遺傳算法對結(jié)構(gòu)疲勞壽命穩(wěn)健性進行全局優(yōu)化。取設(shè)計變量x為遺傳算法群體，選擇遺傳算法的交叉概率為0.5，變異概率為0.01。

基于響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)疲勞壽命6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計流程如圖3所示。

4 應(yīng)用實例

4.1 有限元模型的建立

以某型攪拌車副車架為研究對象進行疲勞穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計。攪拌車主要由底盤、攪拌筒、前后支座和副車架構(gòu)成，攪拌筒、前后支座和副車架組裝在一起，統(tǒng)稱為攪拌車上裝。上裝與底盤橫梁通過連接塊連接。該攪拌車在實際使用過程中，由于連接塊位置、副車架結(jié)構(gòu)設(shè)計和梁厚度的選擇不合理，使有些攪拌車副車架在使用年限內(nèi)發(fā)生斷裂；而有些攪拌車的疲勞壽命卻遠遠超過設(shè)計要求的使用年限，故須對該攪拌車副車架進行疲勞穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。

為更真實地獲得攪拌車副車架的受力情況，用有限元軟件Altair.Hypermesh建立了某型攪拌車的有限元模型，模型采用殼單元來模擬各部件，最終建立有321 560個節(jié)點和314 250個單元的有限元模型，如圖4所示。副車架與底盤車架之間以GAP單元定義接觸。罐體、駕駛室和發(fā)動機的質(zhì)量以非結(jié)構(gòu)質(zhì)量的形式附加到與車架連接的部位上，輪胎和鋼板彈簧用具有一定動剛度的彈簧模擬。各單元厚度、鋼材的彈性模量、泊松比和密度按實際結(jié)構(gòu)確定。

4.2 輪胎與鋼板彈簧動剛度計算

輪胎與鋼板彈簧的動剛度因激振方式的不同有較大變化。當輪胎從靜止狀態(tài)轉(zhuǎn)入滾動狀態(tài)時，徑向剛度急劇變小，而后隨著速度的變大緩慢升高。當車速穩(wěn)定后，激振幅值的變化對動剛度的影響較小[11]。

本文中采用位移時間歷程對模型進行激勵，用恒定的剛度系數(shù)近似代替動剛度系數(shù)。彈性元件的阻尼系數(shù)通常較小，采用的阻尼系數(shù)為6N·s/mm[12]。

輪胎徑向剛度計算公式[13]為

(19)

K=15×10-3B0+0.42

(20)

式中：c1為與輪胎設(shè)計有關(guān)的參數(shù)，斜交輪胎的c1=1.15，子午線輪胎的c1=1.5；W為輪胎上的載荷，10N；D為輪胎直徑，cm；B0為輪胎寬度，cm；p1為輪胎充氣壓力，100kPa。

鋼板彈簧剛度的計算公式[14]為

k1=[(2+n′/n)Enbh3]/(6l3)

(21)

式中：n′為鋼板彈簧端部片數(shù)，后輪n′=3，前輪n′=2；n為鋼板彈簧總片數(shù)，后輪n=12，前輪n=8；b為鋼板彈簧單片寬度，前后輪均為b=90mm；h為鋼板彈簧單片厚度，后輪h=22mm，前輪h=8mm；E為鋼板彈簧鋼的彈性模量，E=206GPa；l為鋼板彈簧的半長。

通過式(19)和式(21)得到輪胎與鋼板彈簧的剛度系數(shù)，分析各輪胎之間和輪胎與鋼板彈簧的組合方式，得到前、后支撐彈簧總的剛度系數(shù)，如表1所示。

表1 彈性支撐參數(shù) N/mm

4.3 響應(yīng)面模型的建立和精度檢驗

采用Matlab軟件生成在時域內(nèi)表示的路面譜[15]，將路面譜加載到攪拌車車輪位置進行瞬態(tài)響應(yīng)分析，得到對稱應(yīng)力譜。瞬態(tài)響應(yīng)分析中，某時刻攪拌車上裝的應(yīng)力云圖如圖5所示，圖中圓圈為應(yīng)力較大的區(qū)域。在攪拌車自重的作用下進行靜態(tài)分析，得到平均應(yīng)力，靜態(tài)分析中的應(yīng)力云圖如圖6所示，圖中圓圈為應(yīng)力較大的區(qū)域。

由某攪拌車的有限元分析和實際使用情況可知，圖4所示響應(yīng)點10是副車架上最容易發(fā)生斷裂的地方，即點10為須通過優(yōu)化提高副車架疲勞壽命穩(wěn)健性的關(guān)鍵點。

疲勞壽命的離散性主要是由有效應(yīng)力集中系數(shù)、尺寸系數(shù)、表面加工系數(shù)和部件本身尺寸的離散性造成的。而有效應(yīng)力集中系數(shù)、尺寸系數(shù)、表面加工系數(shù)與部件本身的材料和加工方式等有關(guān)，通常只考慮它們的離散性對疲勞壽命穩(wěn)健性的影響，不對它們進行數(shù)值上的優(yōu)化。故本文中以4類梁的厚度為設(shè)計變量建立響應(yīng)面模型對副車架進行疲勞壽命的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計，4類梁如圖7所示。圖中x1，x2，x3，x4為副車架中4類梁的厚度。以表2所示設(shè)計變量范圍為設(shè)計空間，采用拉丁超立方試驗設(shè)計方法進行77次試驗，并計算每次試驗副車架關(guān)鍵點的平均應(yīng)力和對稱應(yīng)力譜，然后通過式(8)計算點10處的疲勞壽命，計算疲勞壽命的相關(guān)系數(shù)如表3所示。

表2 試驗設(shè)計空間 mm

表3 疲勞壽命相關(guān)系數(shù)

最終獲得點10處疲勞壽命的試驗仿真數(shù)據(jù)。

根據(jù)數(shù)值仿真試驗結(jié)果，采用最小二乘法構(gòu)造點10疲勞壽命的二次多項式響應(yīng)面模型為

(22)

式中：y為點10的疲勞壽命；ai為多項式系數(shù)；φi(x)為多項式基函數(shù)。多項式基函數(shù)及其對應(yīng)的系數(shù)分別如表4所示。

表4 響應(yīng)面模型系數(shù)

對副車架點10的疲勞壽命響應(yīng)面模型進行方差分析，得到F=557.25，而在顯著水平α=0.05有F>F0.05(14,62)≈1.84，表明所得到的響應(yīng)面模型在α=0.05的水平下是顯著的，可利用此響應(yīng)面近似模型對副車架的疲勞壽命進行穩(wěn)健優(yōu)化。

4.4 疲勞壽命的6σ穩(wěn)健優(yōu)化

攪拌車的使用期限通常是5年以上，工作3年左右會產(chǎn)生初始裂紋。假定每年工作200天，每天工作8h，可得攪拌車經(jīng)過5.76×105個載荷歷程的循環(huán)后產(chǎn)生初始裂紋，故設(shè)計壽命的對數(shù)值為5.76。優(yōu)化前后點10疲勞壽命的穩(wěn)健性參數(shù)如表5所示，結(jié)構(gòu)疲勞壽命的對數(shù)平均值為6.42，遠大于設(shè)計壽命，疲勞壽命的σ值也較高，故須對攪拌車副車架的疲勞壽命進行6σ穩(wěn)健優(yōu)化。

表5 點10疲勞壽命的穩(wěn)健設(shè)計參數(shù)

優(yōu)化中，以疲勞壽命的穩(wěn)健性為主要目標，采用式(17)和式(18)計算式(22)的對數(shù)均值和方差。6σ穩(wěn)健性優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為

(23)

由式(13)，分別取權(quán)因子W1=0.3；W2=0.7，并將M=5.76代入，得

(24)

4類梁厚度的初始值如表5所示，各梁厚度x1，x2，x3，x4的變異系數(shù)為0.01。在獲得疲勞壽命響應(yīng)面模型的基礎(chǔ)上，以設(shè)計壽命的對數(shù)值為約束，采用遺傳優(yōu)化算法對攪拌車副車架進行6σ穩(wěn)健優(yōu)化。優(yōu)化后，副車架疲勞壽命的參數(shù)如表5所示。

從表5可以看出，穩(wěn)健優(yōu)化后，副車架關(guān)鍵點的疲勞壽命在滿足可靠性的同時，其對數(shù)平均值由原來的6.42降低到5.88，減小了疲勞壽命裕度；對數(shù)疲勞壽命方差也降低了20%，提高了疲勞壽命穩(wěn)健性；并且副車架質(zhì)量減輕了30.7kg，降低了副車架的材料消耗，提高了經(jīng)濟性。

5 結(jié)論

(1) 針對結(jié)構(gòu)疲勞壽命離散性較大的問題，將6σ穩(wěn)健設(shè)計引入疲勞設(shè)計中。以疲勞壽命的對數(shù)平均值和對數(shù)方差為目標函數(shù)進行疲勞穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計，使結(jié)構(gòu)在滿足疲勞可靠性的條件下，達到提高疲勞穩(wěn)健性與減小疲勞壽命裕度的目的。

(2) 將響應(yīng)面法和結(jié)構(gòu)疲勞壽命的6σ穩(wěn)健設(shè)計相結(jié)合，提高了計算效率，縮短了產(chǎn)品設(shè)計周期，更有利于該方法在工程中的應(yīng)用。

(3) 通過對某攪拌車副車架關(guān)鍵點的疲勞壽命進行6σ穩(wěn)健性設(shè)計，疲勞壽命的對數(shù)方差值降低了20%，對數(shù)平均壽命與對數(shù)設(shè)計壽命的差值從0.66減小為0.12，減輕了副車架質(zhì)量，提高了經(jīng)濟性。

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