高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“舉一反三”

唐培杰

為適應(yīng)新課標(biāo)的理念，讓學(xué)生在高考中考出理想成績(jī)，作為現(xiàn)行教育制度下的高中數(shù)學(xué)教師，筆者認(rèn)為，合理地將知識(shí)分解、融會(huì)貫通并能運(yùn)用于解題中是教師們應(yīng)急切探究的出路。為此，在教學(xué)中進(jìn)行了“舉一反三”的嘗試后，筆者感受到它既能讓學(xué)生通過(guò)建模找到解題中的定式，又能激發(fā)學(xué)生探究的靈感，給筆者的教學(xué)帶來(lái)出乎想象的收獲。既要“舉一”，又要“反三”，筆者認(rèn)為應(yīng)該從以下方面來(lái)看待此問(wèn)題。

一題多解

一題多解，即一道題目有多種途徑可以解決。比如，在《立體幾何》中的證明問(wèn)題，可以用空間圖形解決，也可以用代數(shù)的方法即空間向量來(lái)解決。例一：如圖，已知ABCD為矩形，AD=2AB，F(xiàn)分別是線段BC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD。求證：DF⊥平面PAF。

方法一：要證明DF⊥平面PAF，只需證明DF⊥PA且DF⊥AF，易證PA⊥DF；而證明DF⊥AF，有兩種途徑可選：其一，可利用三角形勾股定理的逆定理（代數(shù)方法）；其二：可利用角的關(guān)系證明∠AFD=90°（幾何方法）。方法二：（空間向量坐標(biāo)法）可利用AB、AD、AP兩兩互相垂直，滿足建系的要求；設(shè)出AD的長(zhǎng)度，就可以寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積為零，可得直線間的相互垂直，從而得到線面垂直。

又如，證明三點(diǎn)共線的問(wèn)題，可以通過(guò)證直線斜率相等、向量相等、點(diǎn)在直線上等多個(gè)方法解決。例二：求證三點(diǎn)A（-1，0），B（3，8），C（-4，-6）共線。方法一：斜率法。易得KAB=2，KAC=2，又AB、AC有公共點(diǎn)A，所以三點(diǎn)共線；方法二：向量法。易得，所以共線，又AB與AC有公共點(diǎn)A，即A、B、C三點(diǎn)共線。方法三：點(diǎn)在直線上。易得直線AB的方程，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入驗(yàn)證即可。

一題多變

一題多變，即一道題目，多種變式，借題發(fā)揮。如在學(xué)習(xí)拋物線后，在習(xí)題中出現(xiàn)了以下一題。例三：過(guò)拋物線y2=2px焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-P2。（設(shè)線段AB為過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦）此題證明并不難，但其結(jié)論卻很有用，關(guān)鍵是運(yùn)用其結(jié)論。在布置此題給學(xué)生時(shí)，教師可以有針對(duì)性的演變，如變成以下3種證明。①證明：過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線與拋物線的準(zhǔn)線，三點(diǎn)共線。②證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)的連線，平行于拋物線的對(duì)稱軸。③證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)連結(jié)線段，等于焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的一半，并且被這條拋物線平分。

一題多答

一題多答，即一道題目，多人作答，多種切入點(diǎn)。每個(gè)學(xué)生都有自己獨(dú)特的思維方式，他們解決問(wèn)題的角度和順序均有不同，哪一種方法更適應(yīng)自身，那才是最好的解答方法。例如，在解絕對(duì)值不等式中，就有好多學(xué)生有不同的思路，切入點(diǎn)不同，但取得的效果都很棒。通過(guò)解題，讓學(xué)生們從不同角度認(rèn)識(shí)了絕對(duì)值不等式的真實(shí)含義。以下就是筆者在教學(xué)中遇到的一個(gè)實(shí)例。

例四：解不等式∣x+2∣+∣x-1∣>3。

學(xué)生甲：根據(jù)絕對(duì)值的定義，觀察數(shù)軸；如圖，實(shí)數(shù)x，-2，1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，可知：只有當(dāng)x不在（-2，1）的范圍內(nèi)，均能使得不等式成立。

學(xué)生乙：做出函數(shù)y=∣x+2∣+∣x-1∣圖像，觀察圖像得到解集；

學(xué)生丙：根據(jù)分類討論，用零點(diǎn)分段法。先討論函數(shù)y=∣x+2∣+∣x-1∣的零點(diǎn)，零點(diǎn)可以將整個(gè)定義域分為三個(gè)區(qū)間：（-∞，-2），（-2，1）和（1，+∞），因此函數(shù)可以改寫成分段函數(shù)：，即可分三類討論，最后求出并集即為解集。

一題多思

一題多思，即一道題目，多次反復(fù)思考，觸類旁通。顧名思義，所謂“一題多思”，就是在解好一道題后不能認(rèn)為一切任務(wù)均已完成，而是要對(duì)這道題再進(jìn)行多方向、多角度、多層次的思考和研究?？纯闯朔N解法外，是否有其它解法；想想若將本題推廣（或“收縮”）能得到什么結(jié)論；試試如把這題的題設(shè)、結(jié)論換一換，或是將題型變一變，又將得到什么結(jié)論。例如：試證以橢圓的焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必和橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線相離。證完這題后，可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析和思考：把題目中的條件“橢圓”改為“雙曲線”、改為“拋物線”，結(jié)論會(huì)又有何變化？學(xué)生在這三題的證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，在不同曲線下可得不同的結(jié)論，橢圓是相離，拋物線是相切，雙曲線是相交，看似不同的題目方法卻都是相同的，都根據(jù)圓錐曲線的定義來(lái)證。

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟第一中學(xué)）endprint

為適應(yīng)新課標(biāo)的理念，讓學(xué)生在高考中考出理想成績(jī)，作為現(xiàn)行教育制度下的高中數(shù)學(xué)教師，筆者認(rèn)為，合理地將知識(shí)分解、融會(huì)貫通并能運(yùn)用于解題中是教師們應(yīng)急切探究的出路。為此，在教學(xué)中進(jìn)行了“舉一反三”的嘗試后，筆者感受到它既能讓學(xué)生通過(guò)建模找到解題中的定式，又能激發(fā)學(xué)生探究的靈感，給筆者的教學(xué)帶來(lái)出乎想象的收獲。既要“舉一”，又要“反三”，筆者認(rèn)為應(yīng)該從以下方面來(lái)看待此問(wèn)題。

一題多解

一題多解，即一道題目有多種途徑可以解決。比如，在《立體幾何》中的證明問(wèn)題，可以用空間圖形解決，也可以用代數(shù)的方法即空間向量來(lái)解決。例一：如圖，已知ABCD為矩形，AD=2AB，F(xiàn)分別是線段BC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD。求證：DF⊥平面PAF。

方法一：要證明DF⊥平面PAF，只需證明DF⊥PA且DF⊥AF，易證PA⊥DF；而證明DF⊥AF，有兩種途徑可選：其一，可利用三角形勾股定理的逆定理（代數(shù)方法）；其二：可利用角的關(guān)系證明∠AFD=90°（幾何方法）。方法二：（空間向量坐標(biāo)法）可利用AB、AD、AP兩兩互相垂直，滿足建系的要求；設(shè)出AD的長(zhǎng)度，就可以寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積為零，可得直線間的相互垂直，從而得到線面垂直。

又如，證明三點(diǎn)共線的問(wèn)題，可以通過(guò)證直線斜率相等、向量相等、點(diǎn)在直線上等多個(gè)方法解決。例二：求證三點(diǎn)A（-1，0），B（3，8），C（-4，-6）共線。方法一：斜率法。易得KAB=2，KAC=2，又AB、AC有公共點(diǎn)A，所以三點(diǎn)共線；方法二：向量法。易得，所以共線，又AB與AC有公共點(diǎn)A，即A、B、C三點(diǎn)共線。方法三：點(diǎn)在直線上。易得直線AB的方程，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入驗(yàn)證即可。

一題多變

一題多變，即一道題目，多種變式，借題發(fā)揮。如在學(xué)習(xí)拋物線后，在習(xí)題中出現(xiàn)了以下一題。例三：過(guò)拋物線y2=2px焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-P2。（設(shè)線段AB為過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦）此題證明并不難，但其結(jié)論卻很有用，關(guān)鍵是運(yùn)用其結(jié)論。在布置此題給學(xué)生時(shí)，教師可以有針對(duì)性的演變，如變成以下3種證明。①證明：過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線與拋物線的準(zhǔn)線，三點(diǎn)共線。②證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)的連線，平行于拋物線的對(duì)稱軸。③證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)連結(jié)線段，等于焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的一半，并且被這條拋物線平分。

一題多答

一題多答，即一道題目，多人作答，多種切入點(diǎn)。每個(gè)學(xué)生都有自己獨(dú)特的思維方式，他們解決問(wèn)題的角度和順序均有不同，哪一種方法更適應(yīng)自身，那才是最好的解答方法。例如，在解絕對(duì)值不等式中，就有好多學(xué)生有不同的思路，切入點(diǎn)不同，但取得的效果都很棒。通過(guò)解題，讓學(xué)生們從不同角度認(rèn)識(shí)了絕對(duì)值不等式的真實(shí)含義。以下就是筆者在教學(xué)中遇到的一個(gè)實(shí)例。

例四：解不等式∣x+2∣+∣x-1∣>3。

學(xué)生甲：根據(jù)絕對(duì)值的定義，觀察數(shù)軸；如圖，實(shí)數(shù)x，-2，1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，可知：只有當(dāng)x不在（-2，1）的范圍內(nèi)，均能使得不等式成立。

學(xué)生乙：做出函數(shù)y=∣x+2∣+∣x-1∣圖像，觀察圖像得到解集；

學(xué)生丙：根據(jù)分類討論，用零點(diǎn)分段法。先討論函數(shù)y=∣x+2∣+∣x-1∣的零點(diǎn)，零點(diǎn)可以將整個(gè)定義域分為三個(gè)區(qū)間：（-∞，-2），（-2，1）和（1，+∞），因此函數(shù)可以改寫成分段函數(shù)：，即可分三類討論，最后求出并集即為解集。

一題多思

一題多思，即一道題目，多次反復(fù)思考，觸類旁通。顧名思義，所謂“一題多思”，就是在解好一道題后不能認(rèn)為一切任務(wù)均已完成，而是要對(duì)這道題再進(jìn)行多方向、多角度、多層次的思考和研究?？纯闯朔N解法外，是否有其它解法；想想若將本題推廣（或“收縮”）能得到什么結(jié)論；試試如把這題的題設(shè)、結(jié)論換一換，或是將題型變一變，又將得到什么結(jié)論。例如：試證以橢圓的焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必和橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線相離。證完這題后，可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析和思考：把題目中的條件“橢圓”改為“雙曲線”、改為“拋物線”，結(jié)論會(huì)又有何變化？學(xué)生在這三題的證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，在不同曲線下可得不同的結(jié)論，橢圓是相離，拋物線是相切，雙曲線是相交，看似不同的題目方法卻都是相同的，都根據(jù)圓錐曲線的定義來(lái)證。

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟第一中學(xué)）endprint

為適應(yīng)新課標(biāo)的理念，讓學(xué)生在高考中考出理想成績(jī)，作為現(xiàn)行教育制度下的高中數(shù)學(xué)教師，筆者認(rèn)為，合理地將知識(shí)分解、融會(huì)貫通并能運(yùn)用于解題中是教師們應(yīng)急切探究的出路。為此，在教學(xué)中進(jìn)行了“舉一反三”的嘗試后，筆者感受到它既能讓學(xué)生通過(guò)建模找到解題中的定式，又能激發(fā)學(xué)生探究的靈感，給筆者的教學(xué)帶來(lái)出乎想象的收獲。既要“舉一”，又要“反三”，筆者認(rèn)為應(yīng)該從以下方面來(lái)看待此問(wèn)題。

一題多解

一題多解，即一道題目有多種途徑可以解決。比如，在《立體幾何》中的證明問(wèn)題，可以用空間圖形解決，也可以用代數(shù)的方法即空間向量來(lái)解決。例一：如圖，已知ABCD為矩形，AD=2AB，F(xiàn)分別是線段BC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD。求證：DF⊥平面PAF。

方法一：要證明DF⊥平面PAF，只需證明DF⊥PA且DF⊥AF，易證PA⊥DF；而證明DF⊥AF，有兩種途徑可選：其一，可利用三角形勾股定理的逆定理（代數(shù)方法）；其二：可利用角的關(guān)系證明∠AFD=90°（幾何方法）。方法二：（空間向量坐標(biāo)法）可利用AB、AD、AP兩兩互相垂直，滿足建系的要求；設(shè)出AD的長(zhǎng)度，就可以寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積為零，可得直線間的相互垂直，從而得到線面垂直。

又如，證明三點(diǎn)共線的問(wèn)題，可以通過(guò)證直線斜率相等、向量相等、點(diǎn)在直線上等多個(gè)方法解決。例二：求證三點(diǎn)A（-1，0），B（3，8），C（-4，-6）共線。方法一：斜率法。易得KAB=2，KAC=2，又AB、AC有公共點(diǎn)A，所以三點(diǎn)共線；方法二：向量法。易得，所以共線，又AB與AC有公共點(diǎn)A，即A、B、C三點(diǎn)共線。方法三：點(diǎn)在直線上。易得直線AB的方程，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入驗(yàn)證即可。

一題多變

一題多變，即一道題目，多種變式，借題發(fā)揮。如在學(xué)習(xí)拋物線后，在習(xí)題中出現(xiàn)了以下一題。例三：過(guò)拋物線y2=2px焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-P2。（設(shè)線段AB為過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦）此題證明并不難，但其結(jié)論卻很有用，關(guān)鍵是運(yùn)用其結(jié)論。在布置此題給學(xué)生時(shí)，教師可以有針對(duì)性的演變，如變成以下3種證明。①證明：過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線與拋物線的準(zhǔn)線，三點(diǎn)共線。②證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)的連線，平行于拋物線的對(duì)稱軸。③證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)連結(jié)線段，等于焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的一半，并且被這條拋物線平分。

一題多答

一題多答，即一道題目，多人作答，多種切入點(diǎn)。每個(gè)學(xué)生都有自己獨(dú)特的思維方式，他們解決問(wèn)題的角度和順序均有不同，哪一種方法更適應(yīng)自身，那才是最好的解答方法。例如，在解絕對(duì)值不等式中，就有好多學(xué)生有不同的思路，切入點(diǎn)不同，但取得的效果都很棒。通過(guò)解題，讓學(xué)生們從不同角度認(rèn)識(shí)了絕對(duì)值不等式的真實(shí)含義。以下就是筆者在教學(xué)中遇到的一個(gè)實(shí)例。

例四：解不等式∣x+2∣+∣x-1∣>3。

學(xué)生甲：根據(jù)絕對(duì)值的定義，觀察數(shù)軸；如圖，實(shí)數(shù)x，-2，1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，可知：只有當(dāng)x不在（-2，1）的范圍內(nèi)，均能使得不等式成立。

學(xué)生乙：做出函數(shù)y=∣x+2∣+∣x-1∣圖像，觀察圖像得到解集；

學(xué)生丙：根據(jù)分類討論，用零點(diǎn)分段法。先討論函數(shù)y=∣x+2∣+∣x-1∣的零點(diǎn)，零點(diǎn)可以將整個(gè)定義域分為三個(gè)區(qū)間：（-∞，-2），（-2，1）和（1，+∞），因此函數(shù)可以改寫成分段函數(shù)：，即可分三類討論，最后求出并集即為解集。

一題多思

一題多思，即一道題目，多次反復(fù)思考，觸類旁通。顧名思義，所謂“一題多思”，就是在解好一道題后不能認(rèn)為一切任務(wù)均已完成，而是要對(duì)這道題再進(jìn)行多方向、多角度、多層次的思考和研究?？纯闯朔N解法外，是否有其它解法；想想若將本題推廣（或“收縮”）能得到什么結(jié)論；試試如把這題的題設(shè)、結(jié)論換一換，或是將題型變一變，又將得到什么結(jié)論。例如：試證以橢圓的焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必和橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線相離。證完這題后，可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析和思考：把題目中的條件“橢圓”改為“雙曲線”、改為“拋物線”，結(jié)論會(huì)又有何變化？學(xué)生在這三題的證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，在不同曲線下可得不同的結(jié)論，橢圓是相離，拋物線是相切，雙曲線是相交，看似不同的題目方法卻都是相同的，都根據(jù)圓錐曲線的定義來(lái)證。

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