初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的思考

朱紅萍

“曹沖秤象”“阿基米德測(cè)王冠”的故事已成為千古美談。故事中，曹沖根據(jù)浮力原理，把秤大象的重量轉(zhuǎn)化為秤船上石塊的重量，阿基米德用王冠排開水的體積測(cè)王冠的體積。這兩個(gè)故事中的曹沖和阿基米德都利用了數(shù)學(xué)中一個(gè)極為重要的思想：轉(zhuǎn)化思想。即把有待解決的問(wèn)題通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒?，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或已經(jīng)知道其解決方法的問(wèn)題。這種轉(zhuǎn)化思想，在數(shù)學(xué)中比比皆是。由此，探究一下初中數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想很重要，也很必要。

所謂轉(zhuǎn)化思想，通常是指將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法，這種轉(zhuǎn)化思想也常常發(fā)生在不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題之間互相轉(zhuǎn)化之中。

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不在，它是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的有效途徑，它包含了數(shù)學(xué)特有的數(shù)、式、形的相互轉(zhuǎn)換，也包含了心理達(dá)標(biāo)的轉(zhuǎn)換。在數(shù)學(xué)中，很多問(wèn)題能化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化未知為已知，化部分為整體，化一般為特殊……從某種意義上講，數(shù)學(xué)證明或數(shù)學(xué)計(jì)算中的每一步都是一種轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的一種思想方法。

一、轉(zhuǎn)化思想在教材中的體現(xiàn)

轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法。實(shí)際上，我們?cè)趥魇跀?shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常、反復(fù)地應(yīng)用這一重要的思想方法，只是沒(méi)有單獨(dú)地、明顯地把它提出來(lái)而已。《九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)》教材處處貫穿了這一基本思想。從它的編排順序和教材體系來(lái)看，往往前面的知識(shí)是為傳授后面的新知識(shí)做準(zhǔn)備，后面的新知識(shí)通常轉(zhuǎn)化為前面的舊知識(shí)來(lái)解決。

代數(shù)教材中“有理數(shù)”一章，在學(xué)了有理數(shù)加法和相反數(shù)后，有理數(shù)的減法就可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的加法來(lái)進(jìn)行；學(xué)了有理數(shù)乘法和倒數(shù)的概念之后，有理數(shù)的除法，又可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法來(lái)進(jìn)行了；而“方程”這一知識(shí)板塊，環(huán)環(huán)相扣，由舊知引新知，把新知轉(zhuǎn)化為舊知，轉(zhuǎn)化思想更是淋漓盡致貫穿始終：分式方程整式化，通過(guò)去分母、換元法轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程；無(wú)理方程有理化，通過(guò)方程兩邊平方、換元法轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程；二元二次方程組降次化，通過(guò)降次轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進(jìn)而通過(guò)代入或加減消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程；二元二次方程組消元化，通過(guò)代入消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程，一元二次方程又通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為一元一次方程，一元二次方程的開平方法可以直接利用八年級(jí)代數(shù)求平方要的問(wèn)題來(lái)解決，而配方法實(shí)際上是利用七年級(jí)代數(shù)的乘法公式對(duì)一元二次方程進(jìn)行配方，然后轉(zhuǎn)化為開平方來(lái)解決等。

幾何教材中：把圓分割成n個(gè)全等的扇形，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，求圓的面積就可以轉(zhuǎn)化為求矩形的面積；學(xué)習(xí)了三角形這一章知識(shí)后，四邊形和多邊形的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決，如多邊形的內(nèi)角和可以轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)三角形內(nèi)角和之和；圖形中的線段比轉(zhuǎn)化為面積比，面積比又可以轉(zhuǎn)化為線段比，復(fù)雜圖形的面積計(jì)算又可以用“割”“補(bǔ)”的方法轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形的面積問(wèn)題……

可以說(shuō)，轉(zhuǎn)化的思想貫穿了整個(gè)初中數(shù)學(xué)教材。

二、轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化思想是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一個(gè)基本思想，不少其他數(shù)學(xué)思想都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。就解題的本質(zhì)而言，解題既意味著轉(zhuǎn)化，既把生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，把順向問(wèn)題轉(zhuǎn)化為逆向問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題等，因此，學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。

1.把生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題

生疏問(wèn)題向熟悉問(wèn)題轉(zhuǎn)化是解題中常用的思考方法。解題能力實(shí)際上是一種創(chuàng)造性的思維能力，而這種能力的關(guān)鍵是能否細(xì)心觀察，運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，將生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題。因此，教師更應(yīng)深刻挖掘量變因素，將教材的抽象程度，加工到使學(xué)生通過(guò)努力能夠接受的水平上來(lái)，縮小接觸新內(nèi)容的陌生度，避免因研究對(duì)象的變化而產(chǎn)生的心理障礙，這樣做?？傻玫绞掳牍Ρ兜男Ч?/p>

2.把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題

許多初中學(xué)生碰到一些抽象問(wèn)題時(shí)，往往遇到數(shù)學(xué)知識(shí)理解難、語(yǔ)言表達(dá)不順暢的問(wèn)題，我根據(jù)學(xué)生的不同智力情況，通過(guò)抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，來(lái)達(dá)到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的簡(jiǎn)單化。初中學(xué)生智力發(fā)展處于由具體的形象思維向抽象的邏輯思維的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，初中學(xué)生容易接受具體形象的知識(shí)，基于這一特點(diǎn)，數(shù)學(xué)老師對(duì)于一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，更要善于將其具體化。其中，教具的合理使用，PPT的靈活呈現(xiàn)，數(shù)形的有機(jī)結(jié)合等都是達(dá)到轉(zhuǎn)化目的的有效方法。

3.把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題

數(shù)學(xué)解題的過(guò)程是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，對(duì)于較難（繁）的問(wèn)題，通過(guò)分析將其轉(zhuǎn)化成幾個(gè)難度適合學(xué)生的思維水平的小問(wèn)題，再根據(jù)這幾個(gè)小問(wèn)題之間的相互聯(lián)系，以局部為整體服務(wù)，從而找到解題的思路。

復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化是數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用最普遍的一種思考方法。一個(gè)難以直接解決的問(wèn)題，通過(guò)深入觀察和研究，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題迅速求解。同時(shí)，要注意提出的問(wèn)題應(yīng)該有一個(gè)適當(dāng)?shù)亩龋瑔?wèn)題與問(wèn)題之間存在逐步推進(jìn)的梯度，這樣有利于啟發(fā)學(xué)生的思維。

4.把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題

特殊數(shù)，特殊式，特殊公式，特殊圖形（包括圖像）等雖然特殊，但也蘊(yùn)含著一般的內(nèi)在性質(zhì)，因而有些一般數(shù)學(xué)問(wèn)題表面上雖然沒(méi)有突破口、入手之處，但只要我們認(rèn)真分析找出題中隱蔽條件，轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，就會(huì)使問(wèn)題迎刃而解。

5.把順向問(wèn)題轉(zhuǎn)化為逆向問(wèn)題

許多學(xué)生之所以處于低層次的學(xué)習(xí)水平，有一個(gè)重要因素，即逆向思維能力薄弱，習(xí)慣于順向思維，即順向?qū)W習(xí)公式、定理等并加以死板套用，缺乏觀察能力、分析能力、創(chuàng)造能力和開拓精神。數(shù)學(xué)中的逆向思維方式隨處可見(jiàn)，無(wú)論是概念、定義的學(xué)習(xí)，公式、法則的運(yùn)用，還是定理、定律及性質(zhì)的理解，解題的思維方法等都蘊(yùn)含逆向思維。因此，教師應(yīng)充分重視順逆這個(gè)問(wèn)題，發(fā)掘教材中互逆因素，有機(jī)訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維來(lái)解決問(wèn)題，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維。endprint

6.把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題

數(shù)學(xué)來(lái)自于生活和生產(chǎn)實(shí)踐，反過(guò)來(lái)，數(shù)學(xué)也是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具，它能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計(jì)算、推理和證明。其中數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象。重視數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，是《新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)之一。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，教師要重在分析，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最活躍，最實(shí)用的思想方法。除了上述六個(gè)方面問(wèn)題外，數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化問(wèn)題還有很多，如，不規(guī)則與規(guī)則，運(yùn)動(dòng)與靜止，空間與平面，變量與常量，圖形與符號(hào)等，凡此種種，不一而足。我們?cè)诮虒W(xué)中還應(yīng)合理組織教學(xué)活動(dòng)，加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，摒棄“題海戰(zhàn)術(shù)”的教學(xué)模式，重視解題思路的概括解題，這對(duì)學(xué)生各種思維能力（包括數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力）的提高是極其有益的。

三、轉(zhuǎn)化思想在教學(xué)中的滲透

轉(zhuǎn)化思想極其重要，其不僅表現(xiàn)在學(xué)習(xí)中，也表現(xiàn)在生活中，這種解決問(wèn)題的策略性有利于發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神。因此，我們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體的內(nèi)容，以轉(zhuǎn)化思想為主旋律，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用“轉(zhuǎn)化”思想解決問(wèn)題，從而提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

1.在知識(shí)的發(fā)生過(guò)程中，適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可分為兩個(gè)層次：一個(gè)稱為表層知識(shí)，包含概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等基本內(nèi)容；另一個(gè)稱為深層知識(shí)，主要指數(shù)學(xué)思想和方法。表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，具有較強(qiáng)的操作性，學(xué)生只有通過(guò)對(duì)教材的學(xué)習(xí)，在掌握與理解了一定的表層知識(shí)后，才能進(jìn)一步學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識(shí)。而數(shù)學(xué)思想方法又是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，蘊(yùn)涵于表層知識(shí)之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)率著表層知識(shí)。因而教師在講授概念、性質(zhì)、公式的過(guò)程中，應(yīng)不斷滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，又能領(lǐng)悟到深層知識(shí)，從而使學(xué)生思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。

在計(jì)算有理數(shù)乘除混合運(yùn)算時(shí)，把除以變?yōu)槌艘裕箖煞N運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一種運(yùn)算，這是多種運(yùn)算向統(tǒng)一運(yùn)算轉(zhuǎn)化的體現(xiàn)、在二元、三元一次方程組的解法教學(xué)中，消元的思想就成為轉(zhuǎn)化的指導(dǎo)思想，而代入法、加減法是這一指導(dǎo)思想產(chǎn)生的兩種必然方法。當(dāng)然，加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的滲透，并不是靠對(duì)幾個(gè)范例的分析就能解決的，而要靠在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中站在方法論的高度講出學(xué)生在課本里的字里行間看不出的奇珍異寶。

2.在問(wèn)題的探索過(guò)程中，著力揭示數(shù)學(xué)思想方法

我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)工作中一直存有這么一個(gè)難點(diǎn)：平時(shí)題目講得不少，可只要條件稍稍一變，一些學(xué)生就會(huì)不知所措，總是停留在模仿型解題的水平上，很難形成較強(qiáng)解決問(wèn)題的能力，更談不上創(chuàng)新能力的形成，而培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力又是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)。在教學(xué)過(guò)程中教師要善于引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)過(guò)程，搞清其中的因果關(guān)系，領(lǐng)悟它與其他知識(shí)的關(guān)系，讓學(xué)生親身體驗(yàn)創(chuàng)造性思維活動(dòng)中所經(jīng)歷和應(yīng)用到的轉(zhuǎn)化思想方法。若學(xué)生能在解決問(wèn)題的過(guò)程中充分發(fā)揮轉(zhuǎn)化思想方法的解題功能，不僅可少走彎路，而且還可大大提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與綜合素養(yǎng)。

當(dāng)學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅，他們的轉(zhuǎn)化意識(shí)也逐漸得到培養(yǎng)，從而增強(qiáng)了他們運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想解決新問(wèn)題的信心。

3.在教學(xué)的小結(jié)和復(fù)習(xí)中，強(qiáng)化提煉數(shù)學(xué)思想方法

轉(zhuǎn)化思想方法貫穿在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識(shí)點(diǎn)中，以內(nèi)隱的方式融于數(shù)學(xué)知識(shí)的體系中。要使學(xué)生把這種思想內(nèi)化成自己的觀點(diǎn)并應(yīng)用它來(lái)解決問(wèn)題，作為教師，在具體的授課活動(dòng)中，通過(guò)數(shù)學(xué)過(guò)程中的小結(jié)和復(fù)習(xí)，適時(shí)做出歸納和概括，將轉(zhuǎn)化思想方法加以揭示，并使之表層化，使學(xué)生達(dá)到真正意義上的領(lǐng)會(huì)和掌握，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用意識(shí)。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，以轉(zhuǎn)化為突破口滲透數(shù)學(xué)思想方法，可以走出就題論題，死套模式的怪圈，數(shù)學(xué)思想方法可以幫助我們加強(qiáng)思路分析，尋求已知和未知的聯(lián)系，提高分析解決問(wèn)題的能力，從而使思維品質(zhì)和能力有所提高。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，必須緊緊抓住數(shù)學(xué)思想方法這一重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的生命和靈魂，是數(shù)學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步的提煉和概括，是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的關(guān)鍵和動(dòng)力，更是提高數(shù)學(xué)解題能力的根本所在。因此在教學(xué)中除了重視轉(zhuǎn)化思想外，還要注意向?qū)W生滲透其他數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)。

（作者單位：上海市羅星中學(xué)）endprint