克拉默法則的幾何直觀教學(xué)探討

王秋平鄭瑞楠

（1.昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100；2.新疆農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院工程學(xué)院 新疆 昌吉 831100）

克拉默法則的幾何直觀教學(xué)探討

王秋平1鄭瑞楠2

（1.昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100；2.新疆農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院工程學(xué)院 新疆 昌吉 831100）

本文從向量的觀點來看線性方程組，使其具有直觀的幾何意義，再借助二維圖直觀輕松地得到二元方程組的克拉默法則，并將之推廣到n維的情形，不僅使得克拉默法則具有幾何直觀的背景，而且使克拉默法則易學(xué)易懂。

線性方程組；克拉默法則；幾何直觀教學(xué)

1 引 言

解線性方程組是線性代數(shù)中主要的任務(wù)之一[1-2]，而克拉默法則是解決方程組的個數(shù)和自變量個數(shù)相同的線性方程組的解的問題。但是由于其抽象性，往往讓學(xué)生很難輕松的學(xué)習(xí)和掌握。笛卡爾曾說：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此用這種方式來表達(dá)事物是非常有意義的?！憋@然，幾何直觀教學(xué)對數(shù)學(xué)教學(xué)意義重大，尤其是線性代數(shù)極為顯著。因此在線性代數(shù)的教學(xué)中應(yīng)對一些定義定理給出適當(dāng)?shù)膸缀谓忉尯蛶缀螆D形，配合計算和推導(dǎo)，能夠使學(xué)生輕松而迅速的理解掌握線性代數(shù)的基本概念和幾何本質(zhì)，建立感性認(rèn)識，從而具備理解復(fù)雜和抽象數(shù)學(xué)的能力。近幾年的線性代數(shù)課程改革中，有很多文獻(xiàn)中也提到了幾何直觀教學(xué)的重要性，如文獻(xiàn)[3]給出了行列式、正交變換、線性方程組與直線、平面的位置關(guān)系的幾何解釋；文獻(xiàn)[4]中指出以行列式和二次型為例，講解低維的幾何解釋進(jìn)而推出高維的幾何解釋，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；文獻(xiàn)[5]則是從行列式的幾何意義入手，通過幾何直觀引出克拉默法則的代數(shù)證明過程，而本文試圖從向量的觀點重新審視線性方程組，使其具有直觀的幾何意義，再借助二維圖直觀輕松地得到二元方程組的克拉默法則，并將之推廣到n維的情形。

2 克拉默法則的幾何直觀教學(xué)

下面以求解方程組為例，說明如何通過向量的觀點來看行列式、線性方程組，使得原本解決線性方程組的問題有了直觀的幾何意義，從而讓學(xué)生在直觀背景下更好的理解克拉默法則。為了更直觀的表達(dá)向量，在此僅以二階線性方程組為例來說明，高階的線性方程組可以自然類推。假設(shè)有二階線性方程組，

則上述方程組可以表示為：

首先，由向量混合積幾何意義及行列式的幾何意義表示可知，向量構(gòu)成的平行四邊形的面積可以表示為或者，向量構(gòu)成的平行四邊形的面積可以表示為或者向量構(gòu)成的平行四邊形的面積可以表示為或者

同理，可得

把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂袔缀沃庇^的問題，更容易理解。

同時在此過程中，我們對向量的變化僅僅是伸縮、旋轉(zhuǎn)和切變等，只是對向量的大小和方向改變，沒有對向量進(jìn)行彎曲和扭曲變化，從而更加加深學(xué)生理解線性變化的本質(zhì)含義。

我們可以進(jìn)一步推廣，當(dāng)線性方程組的未知數(shù)為3個時，由克拉默法則所得解的幾何意義是相應(yīng)六面體的體積比；當(dāng)線性方程組未知數(shù)的個數(shù)推廣到n個時，由克拉默法則所得解的幾何意義則是相應(yīng)平行多面體的體積比。

3 結(jié)束語

通過上述幾何方法推導(dǎo)出克拉默法則，學(xué)生就容易理解并掌握克拉默法則，也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)代數(shù)學(xué)家徐利治曾說：“無論從事數(shù)學(xué)教學(xué)或研究，我是喜歡直觀的。學(xué)習(xí)一條定理及其證明，當(dāng)我能把定理的直觀含義和證明的直觀思路弄明白了，我才認(rèn)為真正懂了?！睅缀螆D形就具有這樣的作用，它以生動的形象將抽象的東西具體化，給人以直觀感受，所以對于理論深刻、內(nèi)容零散且計算復(fù)雜的線性代數(shù)課程來說，幾何直觀教學(xué)相當(dāng)重要，值得每一位線性代數(shù)教師去挖掘和實現(xiàn)這種教學(xué)手段。

［1］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社,2009:1-155.

［2］David C.Lay,Linear Algebra and Its Application（Third Edition）［M］.New Jersey:Addison-Wesley,Pearson Education, Inc.,2006:1-586.

［3］章曉.線性代數(shù)與解析幾何結(jié)合教學(xué)探析［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報,2008,23（3）:132-133.

［4］陳建華,蔡傳仁.幾何直觀在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.工科數(shù)學(xué),2002,18（1）:87-90.

［5］謝琳,張靜.從幾何直觀理解行列式與Cramer法則［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2009,12（1）:61-62.

O151.1;G642.1

A

1671-6469（2014）06-0065-03

2014-04-16

王秋平（1986—），女，吉林榆樹人，昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系，研究方向：高等數(shù)學(xué)及貝葉斯統(tǒng)計。