分析課程中若干重要概念與定理的教學(xué)探究

虞志堅

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

分析課程中若干重要概念與定理的教學(xué)探究

虞志堅

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

對分析課程中導(dǎo)數(shù)與微分概念以及魯津定理與富比尼定理的教學(xué)作了若干探究。首先，我們強調(diào)要將一元函數(shù)、多元函數(shù)以及向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分納入統(tǒng)一的框架之中進行教學(xué)。其次，對于魯津定理我們要突出定理的關(guān)鍵是用連續(xù)函數(shù)逼近可測函數(shù)時不能破壞函數(shù)總體性質(zhì)。最后，關(guān)于富比尼定理我們指出定理的重點是先判斷被積函數(shù)的可積性。

導(dǎo)數(shù)；微分；魯津定理；富比尼定理；教學(xué)探究

微積分、數(shù)學(xué)分析、實變函數(shù)等分析課程是地方高校數(shù)學(xué)課程中十分重要的組成部分。對于這些課程中重要概念與定理的教學(xué)，無疑是值得探究的。任課教師通過自己的教學(xué)研究和實踐，明確教學(xué)這些重要概念與定理的關(guān)鍵所在，并在教學(xué)實踐中突出強調(diào)它們，才能使學(xué)生盡快理解并掌握這些重要的概念和定理，取得良好的課堂教學(xué)效果。本人從事微積分與實變函數(shù)的課程教學(xué)多年，積累了一定的教學(xué)經(jīng)驗。下面我們從微積分和數(shù)學(xué)分析中的導(dǎo)數(shù)與微分概念，以及實變函數(shù)中的魯津定理與富比尼定理出發(fā)，對這些概念與定理的教學(xué)做一些探究。

1 關(guān)于導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)與微分是微積分和數(shù)學(xué)分析中兩個最基本也是非常重要的概念。我們覺得不論是一元函數(shù)、多元函數(shù)，還是由多個函數(shù)組成的函數(shù)，對于有關(guān)它們的導(dǎo)數(shù)與微分的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)納入統(tǒng)一的框架之中，才能從更高的層次上理解并掌握它們。

我們知道，當(dāng)函數(shù)y=y（x）在x點可微時，其增量△y=y（x+△x）-y（x）的線性主部，即y（x）在x點的微分可以表示為A△x，其中線性映射A：就是函數(shù)y=y（x）在x點的導(dǎo)數(shù)，它只與x有關(guān)而與△x無關(guān)［1］。

若二元函數(shù)y=y（x1，x2）在點（x1，x2）可微，則其全增量的線性主部，即y=y（x1，x2）在點（x1，x2）的全微分可以表示為

其中線性映射A1，A2：分別是函數(shù)y=y（x1，x2）在點（x1，x2）處關(guān)于x1與x2的偏導(dǎo)數(shù)，它們與△x1，△x2無關(guān)而僅與x1，x2有關(guān)［2］。這里行向量）可以看作是函數(shù)y=y（x1，x2）在點（x1，x2）處的

“導(dǎo)數(shù)”。

且其中A1，A2，…，An與△x1，△x2，…，xn無關(guān)而僅與x1，x2，…，xn有關(guān)，則稱函數(shù)y=y（x1，x2，…，xn）在點（x1，x2，…，xn）可微，并稱全增量△y的線性主部

為函數(shù)y（x1，x2，…，xn）在點（x1，x2，…，xn）的全微分。其中A1，A2，…，An：Rn→R1都是線性映射，它們是y=y （x1，x2，…，xn）關(guān)于在點（x1，x2，…，xn）處關(guān)于x1，x2，…，xn的所有一階偏導(dǎo)數(shù)。這里行向量（A1，A2，…，An）=）可以看作是函數(shù)y=y（x1，x2，…，xn）在點（x1，x2，…，xn）處的“導(dǎo)數(shù)”.

綜上，函數(shù)的微分都是其增量的線性主部。對于一元函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)就是通常的一階導(dǎo)數(shù)；而對于多元函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是由該函數(shù)所有一階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的行向量。

若函數(shù)Y（x1，x2，…，xn）的增量可以表示為如下形式：

且其中A11，A12，…，Amn與△x1，△x2，…，△xn無關(guān)而僅與x1，x2，…，xn有關(guān)，則稱函數(shù)Y=Y（x1，x2，…，xn）在點（x1，x2，…，xn）“可微”，并稱

為函數(shù)Y（x1，x2，…，xn）在點（x1，x2，…，xn）處的“微分”。其中都是線性映射，它們是y1（x1，x2，…，xn），y2（x1，x2，…，xn），…，ym（x1，x2，…，xn）在點（x1，x2，…，xn）處關(guān)于x1，x2，…，xn的所有一階偏導(dǎo)數(shù)。這里m×n矩陣

可以看作是函數(shù)y=y（x1，x2，…，xn）在點（x1，x2，…，xn）處的“導(dǎo)數(shù)”，它就是著名的雅可比矩陣。因此，對于由多個函數(shù)組成的函數(shù)，其微分和導(dǎo)數(shù)是單個函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)的更一般的形式，即從低維向高維的推廣。

最后，對于無限維空間，我們同樣可以引入“微分”與“導(dǎo)數(shù)”的概念，方法類似。這種情形下，“導(dǎo)數(shù)”則是更一般的連續(xù)線性算子。

對于非數(shù)學(xué)系的學(xué)生，在講授了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，以及多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分后，就可以將一元函數(shù)與多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分統(tǒng)一到同一框架下了。而對于數(shù)學(xué)系的學(xué)生，在講授了向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分后，又可進一步將一元函數(shù)、多元函數(shù)以及向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分納入到同一框架，更進一步可以向?qū)W生介紹在無限維空間中也可以用類似的方法引入導(dǎo)數(shù)與微分。進而強調(diào)這些導(dǎo)數(shù)與微分概念都是可以納入同一框架下統(tǒng)一處理的。那樣就可以在更高的層次上理解導(dǎo)數(shù)與微分這兩個概念從而盡快掌握它們。所以，對于導(dǎo)數(shù)和微分這兩個最基本但卻非常重要的概念，我們要強調(diào)的是同一框架統(tǒng)一處理。這樣能在更高的層次上理解導(dǎo)數(shù)與微分這兩個最基本的概念。

2 關(guān)于魯津定理

在實變函數(shù)中，可測函數(shù)的構(gòu)造是很重要的內(nèi)容，我們以直線上的魯津定理為例：

定理［3］：設(shè)f（x）是可測集上的幾乎處處有限的可測函數(shù)，則對任意δ＞0，存在閉集F∪E以及整個上的連續(xù)函數(shù)g（x），使得在F上g（x）=f（x），且m（EF）＜δ.

魯津定理是關(guān)于可測函數(shù)用連續(xù)函數(shù)逼近的問題。用已知的函數(shù)來逼近新引入的函數(shù)如可測函數(shù)，是常用的方法。但是，用什么函數(shù)，以何種方式逼近卻是關(guān)鍵所在。連續(xù)函數(shù)是我們熟知的一類有著良好性質(zhì)的函數(shù)，考慮用連續(xù)函數(shù)逼近可測函數(shù)是很好的思路。然而更重要的是用怎樣的方式逼近可測函數(shù)。魯津定理告訴我們可以在不破壞函數(shù)總體的條件下用連續(xù)函數(shù)逼近可測函數(shù)。這是我們在教學(xué)的時候要特別強調(diào)的！它是數(shù)學(xué)家魯津在對可測函數(shù)有了深刻洞察后得到的結(jié)果，普通人沒有他那樣的水平。

3 關(guān)于富比尼定理

以數(shù)學(xué)家圭多·富比尼命名的富比尼定理，是分析中關(guān)于重積分的一個重要定理：

定理［4］：（1）設(shè)函數(shù)f（x，y）是（其中A，B分別是中的可測集）上的可測函數(shù)。若

其中積分是關(guān)于乘積空間A×B上乘積測度的積分，則

其中第一個積分是關(guān)于乘積空間A×B上乘積測度的積分，后兩個是在兩個測度空間上積分的迭代。

富比尼定理給出了使用逐次積分的方法計算二重積分的條件。在這些條件下，不僅能夠用逐次積分計算二重積分，而且交換逐次積分的順序時，積分結(jié)果不變。

在富比尼定理教學(xué)中不能僅限于對富比尼定理的文字?jǐn)⑹?，需要特別強調(diào)的是：富比尼定理的關(guān)鍵在于判斷是否可積，然后才是計算積分！而這恰恰是教學(xué)中容易被忽略的。因為可測函數(shù)的可積性與絕對可積性是等價的，所以要先判斷被積函數(shù)加了絕對之后是否可積（計算或估計），然后再運用富比尼定理計算積分。之所以要先對添了絕對值后的被積函數(shù)進行可積性判斷，是因為通常情況下，不加絕對值的被積函數(shù)很難判斷它是否可積甚至無法判斷其可積性！

綜上所述，對于導(dǎo)數(shù)與微分，我們要強調(diào)同一框架統(tǒng)一處理；對于魯津定理，我們強調(diào)定理的關(guān)鍵是逼近可測函數(shù)時不破壞函數(shù)的總體；對于富比尼定理，我們要強調(diào)定理的關(guān)鍵在于先判斷是否可積。我們認為這樣可以使學(xué)生能盡快理解并掌握這些概念與定理，從而取得良好的教學(xué)效果。

［1］陳傳璋,金福臨,朱學(xué)炎,等.數(shù)學(xué)分析（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，1983：148-149．

［2］陳傳璋,金福臨,朱學(xué)炎,等.數(shù)學(xué)分析（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，1983：144-145．

［3］程其襄,張奠宙,魏國強等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2010：88．

［4］程其襄,張奠宙,魏國強,等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2010：130．

Teaching Explorations on Some Important Concepts and Theorems in Analysis

YU Zhi-jian

（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China）

In this note,some teaching explorations on important concepts and theorems in analysis are done.Firstly, concerning the derivatives and differentials of single or several variable functions and vector-valuedfunctions,it is important that we should teach them in the same frame.Secondly,as for Lusin’s theorem it should be emphasized that we must keep the global properties of a measurable function when we use a continuous one to approximate it.Lastly,it must be pointed out that the key of Fubini’s theorem is that we have to check the integrability of the integrands first.

Derivatives;Differentials;Lusin’s Theorem;Fubini’s Theorem;Teaching Explorations

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2014.03.014

2014-04-02；

2014-05-12

虞志堅（1971- ），男，浙江臺州人，副教授。