凸函數(shù)在一些證明題中的應(yīng)用

尹紅然

（天津天獅學(xué)院 公共基礎(chǔ)教學(xué)部，天津 301700）

凸函數(shù)在一些證明題中的應(yīng)用

尹紅然

（天津天獅學(xué)院 公共基礎(chǔ)教學(xué)部，天津 301700）

本文介紹凸函數(shù)在證明詹森（Jensen）不等式、霍爾得（Holder）不等式、閔可夫斯基（Minkowski）不等式、哈達(dá)馬（Hadamard）定理的簡單應(yīng)用。

凸函數(shù)；不等式；Jensen不等式

凸函數(shù)是高等數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要概念。凸函數(shù)本身有著許多很好的性質(zhì)，掌握和利用好這些性質(zhì)，能是一些較復(fù)雜的問題簡單化。本文通過幾個(gè)實(shí)例來說明凸函數(shù)在數(shù)學(xué)分析的一些證明題種的應(yīng)用。凸函數(shù)的定義在不同版本定義有差別，本文采用的定義1：設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，f（x）在I上稱為凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：?x1，x2∈I，?λ∈（0，1）有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）.

一、利用凸函數(shù)證明詹森（Jensen）不等式

若f（x）為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對(duì)任意

證：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=2時(shí)，由定義1命題顯然成立。

這就證明了對(duì)任何正整數(shù)n（≥2），凸函數(shù)f（x）f總有不等式（1）成立。

二、利用凸函數(shù)證明霍爾得（Holder）不等式

由Jensen不等式知（4）式成立，從而結(jié)論成立。

三、閔可夫斯基（Minkowski）不等式

此不等號(hào)利用Holder不等式

此不等式又稱為距離不等式.當(dāng)p=2，n=3時(shí)此式表示三角形中任意一邊小于另兩邊之和，此又稱三角不等式。

四、利用凸函數(shù)證明哈達(dá)馬（Hadamard）定理

設(shè)f（x）為區(qū)間[a，b]上的連續(xù)凸函數(shù).試證：?x1，x2∈[a，b]，x1＜x2，有

值得注意的是Hadamard定理的幾何意義非常明顯：當(dāng)f（x）＞0時(shí)，曲線f（x）在[x1，x2]上的面積，不小于過點(diǎn)的任一直線在[x1，x2]的面積，不大于點(diǎn)（x1，f（x1））與點(diǎn)（x2，f（x2））間的弦在[x1，x2]的面積。

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G642.41

A

1674-9324（2014）04-0117-02

尹紅然（1982-），女，河北邢臺(tái)人，碩士，講師，主要從事張量分析研究。