基于母彈彈道諸元誤差值的自適應(yīng)開(kāi)艙方法

楊瑞偉，殷躍強(qiáng)，李東光，2，楊登紅

(1. 北京理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，北京100081;2. 北京理工大學(xué) 機(jī)電動(dòng)態(tài)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081)

0 引言

子母彈是以毀傷面目標(biāo)為主的常規(guī)彈藥，具有瞬時(shí)火力密集、覆蓋面積廣、毀傷效能大等特點(diǎn)，主要用于攻擊坦克群、裝甲戰(zhàn)車群、部隊(duì)集結(jié)地、機(jī)場(chǎng)跑道等大面積目標(biāo)。然而在母彈實(shí)際飛行過(guò)程中，由于受到發(fā)射初始彈道諸元誤差、氣象條件誤差等的干擾，使得母彈飛行的彈道會(huì)偏離預(yù)定的理想彈道，如果仍然采用定時(shí)開(kāi)艙，將導(dǎo)致子彈藥的落點(diǎn)散布中心出現(xiàn)偏差，從而降低了子母彈的毀傷效能。因此，提高子彈藥落點(diǎn)散布精度成為了子母彈研究的重點(diǎn)問(wèn)題之一。本文針對(duì)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定子母彈建立子彈藥的全彈道模型，對(duì)母彈彈道軌跡上預(yù)定開(kāi)艙點(diǎn)之前的某位置處彈道諸元實(shí)際值與理論值的誤差造成的子彈藥落點(diǎn)精度影響進(jìn)行仿真分析，提出了一種基于修正開(kāi)艙點(diǎn)的開(kāi)艙控制方法，以達(dá)到提高子彈藥落點(diǎn)精度的目的。

1 全彈道模型的建立

母彈外彈道模型采用文獻(xiàn)［1］的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈6 自由度的剛體彈道模型，拋撒方式則采用燃?xì)馔苿?dòng)活塞拋撒子彈藥后拋的方式［2］，在母彈到達(dá)開(kāi)艙點(diǎn)后，利用燃?xì)獾耐屏⒆訌椝帍哪笍椢膊恐饘油瞥?，并借助母彈高旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力作用讓子彈分散。

設(shè)子彈在母彈中的排列為nl層，每層有ns個(gè)子彈，圍繞中間的圓柱形支桿成環(huán)形緊密相接排布。如圖1 所示。

圖1 子彈藥在母彈中的排布Fig.1 Configuration of submunitions in shrapnel

由于在拋撒過(guò)程中，子彈只能相對(duì)母彈彈體沿彈軸方向滑動(dòng)。因此在彈軸坐標(biāo)系中對(duì)子彈運(yùn)動(dòng)狀況進(jìn)行分析，在母彈彈軸方向子彈藥運(yùn)動(dòng)方程為

式中:mk為第k 層所有子彈的質(zhì)量;Fg，e為重力Fg沿母彈彈軸方向分力;Fp，e為火藥推力Fp沿母彈彈軸方向分力;GM，e為子彈所愛(ài)的慣性力GM沿母彈彈軸方向分力;Rg為子彈受重力作用產(chǎn)生的摩擦力;Rs為母彈體內(nèi)所有子彈在離心慣性力作用下產(chǎn)生的軸向摩擦力;第i 層第j 顆子彈藥在離心慣性力作用下產(chǎn)生的軸向摩擦力;S 為母彈橫截面積;p 為火藥氣體產(chǎn)生的壓強(qiáng)。

該內(nèi)彈道模型充分考慮了子彈藥在母彈內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)主要的受力情況，并且能將每一層子彈藥在出母彈彈體時(shí)沿母彈軸向的速度分離出來(lái)，較為準(zhǔn)確地反映了母彈拋撒時(shí)的真實(shí)情況。

統(tǒng)一以地面坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系。其中母彈的速度vm由文獻(xiàn)［1］中母彈彈道運(yùn)動(dòng)方程解算得出。子彈的拋射速度vs始終沿彈體向后，即在彈軸坐標(biāo)系內(nèi)

將該速度向地面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換得到vs［3］.

對(duì)于第j 層、第i 個(gè)子彈來(lái)說(shuō)，由母彈旋轉(zhuǎn)引起的子彈切向速度voτ在彈軸坐標(biāo)系內(nèi)為

式中:vt為該時(shí)刻母彈旋轉(zhuǎn)的切向速度值，由母彈彈道方程求解得出;ε1為隨機(jī)值。

將以上各個(gè)速度向地面坐標(biāo)系中投影，最終得到子彈拋撒時(shí)的速度矢量為

通過(guò)該模型可以精確得到每一發(fā)子彈藥在離開(kāi)母彈彈體時(shí)的速度大小和方向，這樣便可以對(duì)所有子彈藥的落點(diǎn)進(jìn)行仿真計(jì)算，得到子彈藥群的落點(diǎn)分布情況。

2 子彈藥落點(diǎn)精度分析

取文獻(xiàn)［3］中旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定子母彈的一組初始諸元值(母彈出炮口時(shí)的飛行速度v0=685.3 m/s，轉(zhuǎn)速n0=175.48 r/s，初始射角為θ0=45°，子彈藥在母彈內(nèi)共有6 層，每層7 發(fā))作為理想值，母彈飛行過(guò)程氣象條件為標(biāo)準(zhǔn)條件，開(kāi)艙點(diǎn)為母彈彈道下降段離地面高度為2 000 m 的位置，此時(shí)的子彈藥落點(diǎn)散布為理想散布情況(見(jiàn)圖2 中的圓圈點(diǎn))。

圖2 母彈拋撒子彈藥落點(diǎn)散布圖Fig.2 Spread of submunitions dispersed from shrapnel

若設(shè)這些子彈藥落點(diǎn)的坐標(biāo)值分別為(x1，z1)、(x2，z2)、…、(xn，zn)，則任意一個(gè)點(diǎn)(pn，qn)，它與所有子彈藥落點(diǎn)坐標(biāo)值的距離sn［4-5］為

sn為一系列數(shù)的集合，若其中存在一個(gè)最小值sm，則將其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系中的點(diǎn)P0作為子彈藥落點(diǎn)散布的中心位置。P0(x)為該位置x 軸方向坐標(biāo)值，P0(z)為該位置z 軸方向坐標(biāo)值。如無(wú)特殊說(shuō)明，下文所提到的子彈藥落點(diǎn)散布中心位置皆為該方法確定的點(diǎn)。

然而實(shí)際發(fā)射中，子彈藥出母彈炮口時(shí)的初速、射角的實(shí)際值與理想值相比存在正態(tài)隨機(jī)誤差值。加上氣象實(shí)際條件與標(biāo)準(zhǔn)條件之間的誤差，使得每一發(fā)母彈在飛行過(guò)程中任意時(shí)刻的彈道諸元實(shí)際值與該時(shí)刻理想值都不相同。如果仍取原來(lái)的開(kāi)艙點(diǎn)，則子彈藥落點(diǎn)散布會(huì)偏離理想情況。

在上述理想初始諸元值的基礎(chǔ)上給初始速度與射角分別加上正態(tài)分布的誤差值，取4 組初始發(fā)射數(shù)據(jù)，其實(shí)際子彈藥落點(diǎn)散布見(jiàn)圖2 中的三角點(diǎn)。仿真結(jié)果圖能看出子彈藥落點(diǎn)的散布受誤差影響較大。因此，為提高子彈藥散布精度需要對(duì)開(kāi)艙點(diǎn)進(jìn)行修正。

在本文的研究方法中，設(shè)母彈彈道下降段2 000 m高度對(duì)應(yīng)的開(kāi)艙點(diǎn)為預(yù)定開(kāi)艙點(diǎn)，選取母彈彈道的下降段4 000 m 高度(未到達(dá)開(kāi)艙高度)處彈道諸元實(shí)際值(包括x 軸方向速度vx、y 軸方向速度vy、z 軸方向速度vz、x 軸方向位置x 以及z 軸方向位置z)與理論值的誤差，分析諸元誤差對(duì)子彈藥落點(diǎn)精度的影響，并依據(jù)該誤差值對(duì)開(kāi)艙點(diǎn)進(jìn)行修正。

給文獻(xiàn)［3］中的理想發(fā)射初始值分別加上滿足各自正態(tài)隨機(jī)誤差值變化范圍的最大誤差值以及2 m/s 的橫風(fēng)、縱風(fēng)值，得到母彈在下降段4 000 m處實(shí)際彈道諸元值的變化范圍如表1.

表1 4 000 m 高度對(duì)應(yīng)的彈道諸元理想值和實(shí)際值范圍Tab.1 The ideal and practical value ranges of trajectory data at 4 000 m height

2.1 x 軸方向速度誤差對(duì)子彈藥落點(diǎn)精度分析

根據(jù)表1 的各諸元值變化范圍，利用控制變量法對(duì)各參數(shù)進(jìn)行分析。取4 000 m 高度處理想彈道諸元值，將x 軸方向速度值加入微小擾動(dòng)值，得出的子彈藥落點(diǎn)位置如表2.

由表2 可以看出，x 軸速度越大，子彈藥落點(diǎn)的x 軸均值也越大，每1%的速度誤差造成的子彈藥落點(diǎn)誤差范圍在20 ～28 m 左右。z 軸落點(diǎn)值也有明顯的變化，每1%的速度誤差造成的子彈藥落點(diǎn)誤差范圍在10 ～20 m 之間。

表2 不同x 軸速度下子彈藥在x、z 軸落點(diǎn)均值比較Tab.2 Comparison of impact points of submunitions in x and z axes at different x-axis velocities

2.2 y 軸方向速度誤差對(duì)子彈藥落點(diǎn)精度分析

y 軸方向速度加上擾動(dòng)誤差后的子彈藥落點(diǎn)位置如表3. 由表中看出每1%的速度誤差使子彈藥x軸方向落點(diǎn)偏差約為7 ～12.5 m 左右，而對(duì)z 軸均值偏差約為2 ～4.5 m 左右?？梢?jiàn)y 軸速度對(duì)子彈藥落點(diǎn)的影響比較小。

表3 不同y 軸速度下子彈藥在x、z 軸落點(diǎn)均值比較Tab.3 Comparison of impact points of submunitions in x and z axes at different y-axis velocities

2.3 z 軸方向速度誤差對(duì)子彈藥落點(diǎn)精度分析

由表4 可知，每0.5 m/s 的初始z 軸速度偏差使子彈藥的x 軸落點(diǎn)偏離在3 m 以內(nèi)，即1%的速度誤差造成的子彈藥落點(diǎn)誤差范圍是1.5 m 左右。同時(shí)每1%的速度變化帶來(lái)的z 軸位置偏差1.2 m 左右。比x、y 軸誤差帶來(lái)的影響比重要小。

表4 不同z 軸速度下子彈藥在x、z 軸落點(diǎn)均值比較Tab.4 Comparison of impact points of submunitions in x and z axes at different z-axis velocities

2.4 x 軸方向位置誤差對(duì)子彈藥落點(diǎn)精度分析

表5 反映了不同x 軸位置下子彈藥落點(diǎn)位置坐標(biāo)。由表格數(shù)據(jù)計(jì)算得出每1%的x 軸方向位置偏差產(chǎn)生的子彈藥落點(diǎn)x 軸均值偏差約為100 m 左右，而z 軸均值偏差約為75 m 左右?？梢?jiàn)該因素是修正的主要因素之一。

表5 不同x 軸位置下子彈藥在x、z 軸落點(diǎn)均值比較Tab.5 Comparison of impact points of submunitions in x and y axes in different x-axis positions

2.5 z 軸方向位置誤差對(duì)子彈藥落點(diǎn)精度分析

z 軸方向位置加上誤差后的子彈藥落點(diǎn)位置如表6. 由表中看出每1%的z 軸位置誤差使子彈藥x軸方向落點(diǎn)偏差在40 m 左右，而對(duì)z 軸方向落點(diǎn)偏差約為20 m 左右。由此可見(jiàn)該誤差因素也是對(duì)子彈藥落點(diǎn)精度產(chǎn)生重要影響的因素之一。

表6 不同z 軸位置下子彈藥在x、z 軸落點(diǎn)均值比較Tab.6 Comparison of impact points of submunitions in x and z axes in different z-axis positions

3 開(kāi)艙點(diǎn)修正量算法

對(duì)于確定的子母彈系統(tǒng)而言，子彈藥落點(diǎn)中心位置P0只與母彈飛行過(guò)程中的某位置處(本文取母彈下降段飛行高度為4 000 m 處)彈道諸元(速度諸元vx、vy、vz，位置諸元x、z)以及開(kāi)艙點(diǎn)(因?yàn)槟笍椩谙陆刀伍_(kāi)艙點(diǎn)位置與所在高度值一一對(duì)應(yīng)，因此本文將修正開(kāi)艙點(diǎn)位置轉(zhuǎn)化為修正開(kāi)艙高度)有關(guān)。當(dāng)4 000 m 處理想彈道諸元(vx0、vy0、vz0、x0、z0)確定時(shí)，子彈落點(diǎn)中心位置便與理想開(kāi)艙高度h0對(duì)應(yīng)，它們的函數(shù)關(guān)系［6-8］為

在實(shí)際子母彈發(fā)射過(guò)程中，由于初始發(fā)射誤差、風(fēng)速等誤差因素的存在，使得每一發(fā)子母彈在4 000 m高度處彈道諸元實(shí)際值與理想值并不相同。若P1為實(shí)際子彈藥落點(diǎn)中心位置，那么存在一個(gè)開(kāi)艙高度差值Δh，使得修正后的P1離預(yù)定落點(diǎn)位置最近。即

式中:vx、vy、vz、x、z 為實(shí)際4 000 m 高度處母彈彈道諸元。

由于預(yù)定落點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的母彈飛行下降段4 000 m 高度彈道諸元值是固定的，所以(7)式中的開(kāi)艙高度的差值只與4 000 m 處彈道諸元值相關(guān)，即有

將(8)式在理想彈道諸元值附近按泰勒公式展開(kāi)得［9］

(9)式中c0值為0，表示當(dāng)所有彈道諸元值都為理想值時(shí)，不用修正開(kāi)艙高度。由(9)式可知，只需要分別求出每一個(gè)母彈下降段4 000 m 處彈道諸元值與理論值的誤差值對(duì)開(kāi)艙點(diǎn)修正量的大小，再將這些修正函數(shù)相加即可得到總的修正量。修正函數(shù)的系數(shù)可由大量的仿真數(shù)據(jù)擬合所得。

仍以第2 節(jié)提到的子母彈理想發(fā)射初始條件對(duì)應(yīng)的4 000 m 高度處理想彈道諸元值(詳細(xì)數(shù)值見(jiàn)表1)為例，在保持其他諸元誤差值不變的情況下，對(duì)x 軸方向坐標(biāo)值x=14 894.4 m 加上誤差值，通過(guò)仿真找到對(duì)應(yīng)落點(diǎn)偏差量最小的開(kāi)艙高度，得到的結(jié)果如表7.

表7 x 軸位置誤差對(duì)應(yīng)的最佳開(kāi)艙高度Tab.7 The best dispersing altitudes corresponding to different x-axis positions

由開(kāi)艙高度修正值Δh 與其對(duì)應(yīng)的x 軸方向坐標(biāo)偏差值Δx，利用函數(shù)擬合得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系為

擬合結(jié)果如圖3.

圖3 P0(x)偏差值與高度修正值擬合圖Fig.3 Fitting chart of corrected altitude values and x-axis deviation values

保持其他彈道諸元值不變，z 軸位置z = -848 m加上誤差值，仿真得到的結(jié)果如表8.

表8 z 軸位置誤差對(duì)應(yīng)的最佳開(kāi)艙高度Tab.8 The best dispersing altitudes corresponding to different z-axis positions

由開(kāi)艙高度修正值與其對(duì)應(yīng)的z 軸方向坐標(biāo)偏差值，利用函數(shù)擬合得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系為

擬合結(jié)果如圖4.

圖4 P0(z)偏差值與高度修正值函數(shù)擬合圖Fig.4 Fitting chart of corrected attitude values and Z-axis deviation values

用同樣的方法分別求得4 000 m 高度處x、y、z軸方向上速度大小誤差值與修正高度的關(guān)系，分別為

將(10)式～(14)式簡(jiǎn)單相加，得到所求的修正公式

此外在修正過(guò)程中，還需要考慮到子彈藥散布情況，散布范圍過(guò)大或者過(guò)小都會(huì)降低子彈藥的毀傷效率，因此對(duì)應(yīng)的修正后開(kāi)艙點(diǎn)也應(yīng)該有個(gè)最大最小的范圍。以本文為例，對(duì)于(15)式需要加上條件限制［10-11］

式中:Δhmax、Δhmin值視具體需要的子彈藥散布效果而定;Δh 為最終的開(kāi)艙點(diǎn)修正量。

為驗(yàn)證修正方案的準(zhǔn)確性，以第2 節(jié)的理想發(fā)射初始諸元為例，給初始速度和射角分別加上合理的服從正態(tài)分布的誤差值正態(tài)隨機(jī)變量，并在母彈飛行過(guò)程中加上合理的風(fēng)速隨機(jī)變化值，利用(15)式的修正方法，對(duì)7 發(fā)子母彈的開(kāi)艙點(diǎn)進(jìn)行修正，得到的未修正前子彈藥散布中心位置分布與修正后子彈藥散布中心位置分布見(jiàn)圖5.

圖5 修正前后子彈藥落點(diǎn)散布圖Fig.5 Distribution diagram of center positions of submunitions impact points before and after correction

圖中三角點(diǎn)表示未修正的子彈藥散布位置，圓圈點(diǎn)表示修正后的子彈藥散布位置。由仿真結(jié)果計(jì)算可得未修正的子彈藥落點(diǎn)的橫向密集度為縱向密集度為修正后的子彈藥落點(diǎn)的橫向密集度為縱向密集度為則修正后橫向密集度提高的百分比為

縱向密集度提高的百分比為

4 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)子母彈飛行過(guò)程的動(dòng)力學(xué)分析，建立了從母彈飛行到開(kāi)艙拋撒子彈藥再到子彈藥飛行的全彈道模型，并采用該模型對(duì)子彈藥落點(diǎn)進(jìn)行了仿真分析。通過(guò)母彈彈道開(kāi)艙點(diǎn)前某位置處諸元誤差值對(duì)子彈藥落點(diǎn)精度影響的分析，得出了各個(gè)諸元差值對(duì)子彈藥落點(diǎn)精度的影響情況，并提出了一種高旋轉(zhuǎn)子母彈的自適應(yīng)開(kāi)艙方案，通過(guò)實(shí)例仿真計(jì)算得出了適用于該類子母彈的高度修正公式。結(jié)果表明修正后的橫向密集度提高了26.3%，縱向密集度提高了53.8%.

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