Banach格上O-Dunford-Pettis算子的共軛性質(zhì)

韓霖, 陳滋利, 陳金喜

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610031)

Banach格上O-Dunford-Pettis算子的共軛性質(zhì)

韓霖, 陳滋利, 陳金喜

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610031)

主要對(duì)Banach格上O-Dunford-Pettis算子的共軛性質(zhì)進(jìn)行了研究, 探討如果一個(gè)算子為O-Dunford-Pettis算子,那么滿足什么條件時(shí)它的共軛算子也為O-Dunford-Pettis算子, 以及當(dāng)算子及其共軛算子都是O-Dunford-Pettis算子, 其空間具有什么性質(zhì).

Banach格; O-Dunford-Pettis算子; Dunford-Pettis集; 共軛算子

1 引言

設(shè)X是一個(gè)Banach空間,A?X , 若對(duì)共軛空間X′中的每個(gè)序列都有(x′n)在A上一致收斂于0, 即則稱A是Dunford-Pettis集. 在文獻(xiàn)[3]、[12]、[13]中對(duì)Dunford-Pettis集已進(jìn)行了深入的研究, 并且B.Aqzzou[z3]最近提出了O-Dunford-Pettis算子的概念. 設(shè)E、F為Banach格, T:E→F為連續(xù)算子, 若T將E中的序區(qū)間映為F中的Dunford-Pettis集, 則稱T為O-Dunford-Pettis算子.例如,Idc0是O-Dunford-Pettis算子.

由上面概念可以知道, 每個(gè)相對(duì)緊集是Dunford-Pettis集, 但Dunford-Pettis集不一定是相對(duì)緊集. 當(dāng)E自反或者E是離散的KB空間時(shí), Dunford-Pettis集和相對(duì)緊集是等價(jià)的. 因此可知, 緊算子是O-Dunford-Pettis算子,而O-Dunford-Pettis算子未必是緊算子.

對(duì)于相對(duì)弱緊集有Dunford-Pettis集一般不是相對(duì)弱緊集, 相對(duì)弱緊集也不是Dunford-Pettis集. 當(dāng)E是共軛的KB空間時(shí), 每個(gè)Dunford-Pettis集是相對(duì)弱緊集；如果E有Dunford-Pettis性則相對(duì)弱緊集是Dunford-Pettis集. 所以, 當(dāng)E有Dunford-Pettis性, 序弱緊算子是O-Dunford-Pettis算子.

在Banach格中O-Dunford-Pettis算子不滿足共軛性. 即存在O-Dunford-Pettis算子, 它的共軛算子不是O-Dunford-Pettis的. 例如Banach格?1的單位算子Id?1:?1→?1是O-Dunford-Pettis的, 而對(duì)于它的共軛算子Id?∞:?∞→?∞不是O-Dunford-Pettis算子. 因此探討在什么情況下O-Dunford-Pettis算子T的共軛算子T′也是O-Dunford-Pettis的是一個(gè)有趣的課題, 并且如果一個(gè)算子T和它的共軛算子T′都是O-Dunford-Pettis算子時(shí),空間又有什么性質(zhì)也是值得探討的.

本文中所涉及的未經(jīng)解釋的Banach格以及算子理論中的一些概念、符號(hào)及術(shù)語詳見本文文獻(xiàn)[1][2].

2 主要結(jié)論

由文獻(xiàn)[3]可知, Banach格上算子F E T→:是一個(gè)O-Dunford-Pettis算子當(dāng)且僅當(dāng)

回憶一下,E是一個(gè)Banach格, 對(duì)(x′n)?E′, 若則稱E′有序列連續(xù)格運(yùn)算；則稱E′有弱*序列連續(xù)格運(yùn)算；則稱E′有弱序列連續(xù)格運(yùn)算.

定理2.1E、F是Banach格,T:E →F 是正的線性算子, 如果滿足下面條件之一, 則T是O-Dunford-Pettis算子.

(1)E′有弱序列連續(xù)格運(yùn)算.

(2)F′有弱序列連續(xù)格運(yùn)算.

(3)E′有弱*序列連續(xù)格運(yùn)算.

(4)F′有弱*序列連續(xù)格運(yùn)算.

(5)F′有Schur性質(zhì).

證明:

推論2.2E、F是Banach格, 如果下列條件之一成立, 則每個(gè)線性算子T:E →F 是O-Dunford-Pettis算子.

(1)E有AM緊性.

(2)F有AM緊性.

(3)E′是離散的.

(4)F′是離散的.

注:上述推論的條件不是必要的, 如取E=F=L1[0,1],T:L1[0,1]→L1[0,1]是O-Dunford-Pettis算子, 但E′=F′=L∞[0,1]不是離散的.

定理2.3E、F是Banach格, 若E或F有序連續(xù)范數(shù)且F有Dunford-Pettis性, 則每個(gè)線性算子T:E→F是O-Dunford-Pettis算子.

證明:若E有序連續(xù)范數(shù), 則序區(qū)間[0,x]?E 是弱緊的,T[0,x]是弱緊的, 也是相對(duì)弱緊的, 又F有Dunford-Pettis性, 則T[0,x]是Dunford-Pettis集. 所以T是O-Dunford-Pettis算子. 同樣, 若F有序連續(xù)范數(shù), 則T[0,x]?F是相對(duì)弱緊的, 又F有Dunford-Pettis性, 則T[0,x]是Dunford-Pettis集. 所以T是O-Dunford-Pettis算子.

定理2.4設(shè)E、F是自反的Banach格, 正則線性算子T:E →F 是O-Dunford-Pettis算子?T′是O-Dunford-Pettis算子.

證明:因?yàn)門是O-Dunford-Pettis算子, 則對(duì)于x∈E+有T[0,x]是Dunford-Pettis集. 而F自反, 所以T[0,x]是F中的范數(shù)相對(duì)緊集, 則在|σ|(F,F′)中是相對(duì)緊的, 由定理1.3[9],T′[0,f]在|σ|(E′,E)中是相對(duì)緊的, 其中[0,f]?F′. 又因E自反,E′有序連續(xù)范數(shù), 由定理1.4[9],|σ|(E′,E)和E′的范數(shù)拓?fù)湓谛蛴?/p>

界子集上相同, 所以,T′[0,f]在E′上是范數(shù)相對(duì)緊的, 所以T′[0,f]是Dunford-Pettis集. 因此,T′是O-Dunford-Pettis算子.

反過來, 因T′是O-Dunford-Pettis算子, 所以T′[0,f]是Dunford-Pettis集, 又由于E是自反的, 因此T′[0,f]是E′中的范數(shù)相對(duì)緊集, 則在|σ|(E′,E)中是相對(duì)緊的. 又因F是自反的, 所以T[0,x]在F上是范數(shù)相對(duì)緊的, 所以T[0,x]是Dunford-Pettis集, 因此T是O-Dunford-Pettis算子.

定理2.5E、F是Banach格,T:E →F 是正的O-Dunford-Pettis算子, 如果有下面條件之一成立, 則T′是O-Dunford-Pettis算子.

(1)E和E′有序連續(xù)范數(shù)且F是離散的KB空間.

(2)E有單位,E′有Dunford-Pettis性且F是共軛的KB空間.

(3)E自反且F是離散的KB空間.

證明:(1)因?yàn)镋有序連續(xù)范數(shù), 所以[0,x]?E 是相對(duì)弱緊的, 又T是O-Dunford-Pettis算子, 所以T[0,x]是Dunford-Pettis集. 又F是離散的KB空間, 所以T[0,x]是相對(duì)緊的, 所以T是Dunford-Pettis算子. 由定理2.8[10]可知,T是緊的, 所以T′是緊的, 因此T′是O-Dunford-Pettis的.

(2)因?yàn)镋有單位且F是共軛的KB空間,T又是O-Dunford-Pettis算子, 所以T是弱緊的,T′也是弱緊的,又E′有Dunford-Pettis性, 所以T′是O-Dunford-Pettis的.

(3)由(1)中證明可知,T是Dunford-Pettis算子, 又因E自反, 所以E′有序連續(xù)范數(shù), 則對(duì)任意ε＞0, 存在y∈F+, 使得

T(BE∩E+)?εBF+T[0,y]?εBF+[0,T(y)],

由F是離散的KB空間, 所以[0,T(y)]是緊的, 所以T是緊的,T′是緊的, 因此是O-Dunford-Pettis的.

定理2.6E、F是Banach格,T′:F′→E′是正的O-Dunford-Pettis算子, 如果有下列條件之一成立, 則T是O-Dunford-Pettis的.

(1)F′和F″有序連續(xù)范數(shù)且E′是離等散：的川西KB獐牙空菜間多.糖的提取及含量測(cè)定

(2)F′有單位,F有Dunford-Pettis性且E′是共軛的KB空間.

(3)F自反且E′是離散的KB空間.

證明:

(1)由F′有序連續(xù)范數(shù), 可知[0,f]?F′是弱緊的,T′是O-Dunford-Pettis算子, 所以T′[0,f]是Dunford-Pettis集. 而E′是離散的KB空間, 可知T′[0,f]是緊的, 所以T′是Dunford-Pettis算子. 又F″有序連續(xù)范數(shù), 所以T′是緊的, 所以T是緊的, 因此T是O-Dunford-Pettis算子.

(2)F′有單位且E′是共軛的KB空間, 又T′是O-Dunford-Pettis算子, 所以T′是弱緊的, 所以T是弱緊的,又因?yàn)镕有Dunford-Pettis性, 因此T是O-Dunford-Pettis算子.

(3)因?yàn)镕自反, 則F′有序連續(xù)范數(shù), 又E′是離散的KB空間, 由(1)中證明可知,T′是Dunford-Pettis算子.又F′′有序連續(xù)范數(shù), 則對(duì)任意ε＞0, 存在y′∈(F′)+, 使得

T′(BF′∩(F′)+)?εBE′+T′[0,y′],

又因T′是正的, 所以

T′(BF′∩(F′)+)?εBE′+[0,T′(y′)].

又E′是離散的且有序連續(xù)范數(shù), 則[0,T′(y′)]是緊的, 所以T′是緊的,T是緊的, 因此T是O-Dunford-Pettis算子.

定理2.7E、F是兩個(gè)Banach格, 如果對(duì)每個(gè)O-Dunford-Pettis算子T:E →F , 它的共軛算子T′:F′→E′是O-Dunford-Pettis的, 則E′有序連續(xù)范數(shù)或F′有序連續(xù)范數(shù).

證明:假設(shè)E′和F′不具有序連續(xù)范數(shù), 由文獻(xiàn)[1]定理4.69,E(或F)包含一個(gè)與?1同構(gòu)的子格, 并且存在正投影P1:E→?1(或P:F→?1). 令i:?1→E是?1到E的典范映射；i2:?1→F的典范映射.

考慮算子i2?P1:E→?1→F. 因i2?P1=i2?Id?1?P1,Id?1是O-Dunford-Pettis算子, 所以i2?P1是O-Dunford-Pettis算子, 而P1′?i′2不是O-Dunford-Pettis的. 假若P1′?i′2是O-Dunford-Pettis的, 則i1′?P1′?i2′:F′→?∞是O-Dunford-Pettis的, 把它限制到?∞上是Id?∞即?∞的單位算子, 也是O-Dunford-Pettis的,顯然不正確, 因此原命題成立.

定理2.8E、F是序-σ完備的Banach格, 如果T′:F′→E′是O-Dunford-Pettis算子,T:E →F 也是O-Dunford-Pettis的, 則E有序連續(xù)范數(shù)或F有序連續(xù)范數(shù).

證明:假設(shè)E和F不具有序連續(xù)范數(shù), 因E、F是序-σ完備的, 則由文獻(xiàn)[1]定理4.51,E(或F)包含一個(gè)與?∞同構(gòu)的子格, 且存在正投影:P1:E→?∞(或P2:F→?∞). 令i:?∞→F是?∞到F的典范映射.

考慮算子T=i?P1:E→?∞→F. 因(?∞)′的范數(shù)是序連續(xù)的, 并且它有Dunford-Pettis性, 所以可知Id(?∞)′:(?∞)′→(?∞)′是O-Dunford-Pettis算子. 因此我們有

是O-Dunford-Pettis的. 但T=i ?P1不是O-Dunford-Pettis的. 假若它是, 則P2?i?P1:E→?∞也是O-Dunford-Pettis的, 它限制到?∞上是?∞的單位算子, 也是O-Dunford-Pettis的, 顯然不對(duì), 所以原命題成立.

推論2.9E是Banach格, 如果每個(gè)正的O-Dunford-Pettis算子T:E →E 的共軛算子T′:E′→E′是O-Dunford-Pettis算子, 則T2:E →E 是AM緊的. 若E有單位, 則T2是緊的.

證明:因?yàn)門和T′是O-Dunford-Pettis算子, 由定理2.9可知E′有序連續(xù)范數(shù). 所以T′:E′→E′是弱緊的,所以T:E →E 是弱緊的. 又因T是O-Dunford-Pettis的, 所以對(duì)任意x∈E+, 有T([-x,x])是Dunford-Pettis集,而T又是弱緊的, 所以T2([-x,x])是范數(shù)相對(duì)緊的, 所以T2是AM緊的. 若E有單位, 則E中序區(qū)間為它的閉單位球, 所以T2是緊的.

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The duality properties of O-Dunford-Pettis operators on Banach lattices

HAN Lin, CHEN Zi-li, CHEN Jin-xi
(School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, P.R.C.)

This paper mainly studies the duality properties of the O-Dunford-Pettis operators on Banach lattices. It proves how its dual operator is also O-Dunford-Pettis if an operator is O-Dunford-Pettis. Then it talks about the properties of the space if an operator and its dual operator are both O-Dunford-Pettis operators.

Banach lattice; Dunford-Pettis set; O-Dunford-Pettis operator; dual operator

O153.1

A

1003-4271(2014)01-0083-04

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.01.17

2013-10-30

韓霖(1988-), 女, 碩士研究生, 研究方向?yàn)榉汉治? 陳滋利(1961-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師, 研究方向: 泛函分析, 線性算子理論; 陳金喜(1971-), 男, 副教授, 研究方向: 泛函分析，Banach格與正算子理論.