一道數(shù)學(xué)題引發(fā)的思考

王恒川

摘要：以學(xué)生鞏固案中一道作業(yè)引起的思考為明線，分析學(xué)生的思維過(guò)程，反思作業(yè)錯(cuò)誤生成的原因。經(jīng)反思，我們發(fā)現(xiàn)有學(xué)生學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣的原因，也有教師課堂教學(xué)的原因。本文以幾何語(yǔ)言的課堂學(xué)習(xí)為暗線，揭示幾何語(yǔ)言在學(xué)習(xí)幾何學(xué)中的重要地位，并介紹了筆者在課堂教學(xué)中的兩點(diǎn)做法。

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué)；學(xué)生作業(yè)；幾何語(yǔ)言

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）01-0079

作業(yè)是檢驗(yàn)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果的有效方式之一，同時(shí)學(xué)生作業(yè)中的得與失也能反映出教師的課堂教學(xué)效果。

一、案例呈現(xiàn)

筆者今年擔(dān)任九年級(jí)數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，九上第一章是圖形與證明（二）。在第一節(jié)課后學(xué)生鞏固案有一道題目：等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，求它一腰上的高與底邊所夾的角的度數(shù)。學(xué)生的答案大致分為三類：第一類，能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確畫(huà)出圖形，得到正確答案為35°、20°；第二類，只得到一個(gè)答案的35°或20°的；第三類，不會(huì)做，而且人數(shù)較多。為何有這么多學(xué)生出錯(cuò)或不會(huì)呢？通過(guò)了解得知，不會(huì)做的同學(xué)基本上是不能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確畫(huà)出圖形，或者根本沒(méi)想到先畫(huà)圖再進(jìn)行解題，渴望通過(guò)觀察、思考得到答案。

學(xué)生為何想不到通過(guò)畫(huà)圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題呢？

二、問(wèn)題思考

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！睌?shù)形結(jié)合可以把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。此題學(xué)生如能準(zhǔn)確出畫(huà)圖形，運(yùn)用本節(jié)課知識(shí)很容易解決，為什么畫(huà)圖會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)呢？

1. 從學(xué)生側(cè)面來(lái)看

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生對(duì)問(wèn)題采取的態(tài)度與方法，與其學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣有關(guān)系。

（1）學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，自主探究積極主動(dòng)，合作交流不足。對(duì)于案例中的問(wèn)題，問(wèn)題本身難度并不是太高，完全可以通過(guò)學(xué)生間的合作交流順利解決。所以在課堂教學(xué)中，營(yíng)造民主、科學(xué)的合作交流學(xué)習(xí)環(huán)境，不但可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能助于培養(yǎng)學(xué)生尋求解決問(wèn)題的途徑與方法，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

（2）學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中，善于專注思考，缺少動(dòng)手操作。在談話了解過(guò)程中得知，部分同學(xué)喜歡做帶有圖形的幾何題，對(duì)于沒(méi)有圖形的幾何題很少主動(dòng)去畫(huà)，奢望通過(guò)觀察、思考來(lái)解決問(wèn)題。也有部分同學(xué)想到借助幾何圖形來(lái)解決問(wèn)題，但心有余而力不足不能準(zhǔn)確把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化幾何圖形語(yǔ)言。學(xué)習(xí)好幾何要掌握好三種語(yǔ)言之間的互化，即文字語(yǔ)言、幾何語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言的互化。在解決問(wèn)題時(shí)不僅要用腦積極思考，而且善于動(dòng)手操作（如畫(huà)圖）、嘗試（如試驗(yàn)）尋求更寬、更廣的解決問(wèn)題的途徑。

2. 從教師側(cè)面來(lái)看

從學(xué)生作業(yè)得到的反饋信息，可以作為教師課堂教學(xué)的一面鏡子。有如此多的學(xué)生不能順利解決此題，全是學(xué)生的問(wèn)題嗎？

（1）課堂教學(xué)放不開(kāi)，學(xué)生學(xué)習(xí)主體不能得到充分體現(xiàn)。課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要陣地，教師是學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的主導(dǎo)，但在實(shí)際教學(xué)中教師對(duì)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)仍不夠放心，時(shí)常全全包辦。包辦的課堂教學(xué)束縛了學(xué)生手腳，學(xué)習(xí)和積極性、主動(dòng)性與創(chuàng)造性不能得到有效的發(fā)揮。包辦的課堂學(xué)生缺少了活動(dòng)的機(jī)會(huì)，包辦的課堂學(xué)生缺少了合作交流的可能，包辦的課堂束縛了學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，因?yàn)檫@樣的課堂模仿多于創(chuàng)新。當(dāng)學(xué)生遇到新的問(wèn)題，運(yùn)用模仿而獲得的知識(shí)解決不了問(wèn)題時(shí)，往往不會(huì)再想其他的辦法。

（2）課堂教學(xué)束縛于學(xué)案，淡化學(xué)生能力培養(yǎng)。目前學(xué)案在許多學(xué)校廣泛使用，學(xué)案特點(diǎn)之一是容量大，教師為了完成學(xué)案內(nèi)容，不愿擠出更多的時(shí)間來(lái)對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)。案例的背景是九年級(jí)圖形與證明的第一課時(shí)，教學(xué)目標(biāo)要讓學(xué)生經(jīng)歷思考、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)，并能對(duì)操作活動(dòng)的合理性進(jìn)行證明，感受合情推理和演繹推理的重要性；培養(yǎng)學(xué)生靈活轉(zhuǎn)換幾何三種語(yǔ)言的能力。課堂教學(xué)中，淡化了該種能力的培養(yǎng)，所以在遇到案例中問(wèn)題時(shí)，學(xué)生沒(méi)有意識(shí)、沒(méi)有能力想到把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成幾何語(yǔ)言來(lái)解題。

3. 從知識(shí)內(nèi)容本身來(lái)看

筆者認(rèn)為案例所帶來(lái)最大思考是學(xué)生不擅長(zhǎng)把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言。等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，此處有懸疑，具體是哪個(gè)角為呢？要進(jìn)行分類討論，頂角可以為70°，底角也可以為70°。當(dāng)頂角為70°或底角為時(shí)70°，圖形該如何畫(huà)呢？此時(shí)需要學(xué)生從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，調(diào)用出幾何圖形的畫(huà)法這部分知識(shí)。畫(huà)圖過(guò)程中，要關(guān)注題設(shè)中的兩個(gè)關(guān)鍵詞，“腰上的高”與“與底邊的夾角”，只有準(zhǔn)確理解這兩個(gè)關(guān)鍵詞，圖形就不難得出了。分析學(xué)生不能畫(huà)圖原因有二：一是沒(méi)有深刻理解題設(shè)的中關(guān)鍵詞所代表的含義；二是缺少動(dòng)手操作嘗試的膽量與經(jīng)驗(yàn)，所以不敢或不愿動(dòng)手嘗試。

其實(shí)幾何語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換教材中已有滲透，如教材后面的練習(xí)中有幾道證明定理或結(jié)論的題目。如“證明：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60°”、“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”等。解決此類題目要把命題即文字語(yǔ)言運(yùn)用幾何語(yǔ)言表述出來(lái)，并準(zhǔn)確畫(huà)出圖形，再進(jìn)行證明。

幾何語(yǔ)言在幾何學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的地位，在教學(xué)中采用什么辦法可以鞏固、提高學(xué)生的幾何語(yǔ)言應(yīng)用能力呢？

三、嘗試實(shí)踐

幾何語(yǔ)言的學(xué)習(xí)，教師示范作用是重要的，在例題的講解、習(xí)題的思路分析過(guò)程中，教師都可以潛移默化地滲透幾何語(yǔ)言的教學(xué)。為了有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生對(duì)幾何語(yǔ)言的關(guān)注程度，發(fā)揮其課堂學(xué)習(xí)的主體地位，筆者大膽采用“以兵教兵”的方法來(lái)鞏固、提高幾何語(yǔ)言的學(xué)習(xí)。

1. 改“講題”為“說(shuō)題”——運(yùn)用幾何語(yǔ)言“說(shuō)思路”

筆者所在學(xué)校教學(xué)模式是以“建構(gòu)式生態(tài)課堂”為指導(dǎo)，結(jié)合本校實(shí)際，新授課多以學(xué)生展示為主。展示方法大概是小組先抽簽，再安排學(xué)生進(jìn)行講解所抽到的內(nèi)容。學(xué)生講解水平大都仍停留在“讀答案”或“背答案”的層次上。為了促進(jìn)對(duì)幾何語(yǔ)言的學(xué)習(xí)，改“講題”為“說(shuō)題”，說(shuō)一說(shuō)自己做這一題的過(guò)程。

一說(shuō)，遇到此題后是如何想的？

二說(shuō)，遇到哪些困難？

三說(shuō)，如何克服這些困難的？

四說(shuō)，解決此題的關(guān)鍵是什么？

五說(shuō)，解完此題有何收獲（感受）？

這五個(gè)方面不必要面面具到，針對(duì)具體問(wèn)題有選擇地說(shuō)其中幾個(gè)方面。在說(shuō)的過(guò)程中，會(huì)用到生活用語(yǔ)，題設(shè)中文字語(yǔ)言，幾何語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。每節(jié)課，每道題，每個(gè)展示的學(xué)生，每天都在重復(fù)如此的訓(xùn)練，首先從心理上和熟練程度上，學(xué)生都能運(yùn)用的自如、灑脫，不會(huì)出現(xiàn)無(wú)話可說(shuō)的現(xiàn)象。給出一個(gè)命題學(xué)生可以輕松地寫(xiě)出條件、結(jié)論，能準(zhǔn)確在畫(huà)出圖形，并可以運(yùn)用幾何語(yǔ)言進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析與講解。

2. 改“板書(shū)”為“思維導(dǎo)圖”——運(yùn)用框圖“規(guī)范證明過(guò)程”

板書(shū)的主要作用示范，給學(xué)生直觀、清晰的印象。幾何題的證明與推理重在思路的探尋，為了增強(qiáng)學(xué)生證明、推理的方法，明析解題思路，把原來(lái)“板書(shū)”部分內(nèi)容變?yōu)樗季S導(dǎo)圖，借助思維框圖規(guī)范證明過(guò)程。

如，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC。你能說(shuō)明BE與DF相等嗎？

分析：CE⊥AB，CF⊥AD

AC平分∠BAD

∠CFD=∠CEB=90°

BC=DC

思維導(dǎo)圖特點(diǎn)：滿足哪些條件，得到怎樣的結(jié)論，證明思路清晰；思維導(dǎo)圖使用方法：學(xué)生對(duì)照導(dǎo)圖，運(yùn)用幾何語(yǔ)言表述證明過(guò)程。在導(dǎo)圖的指引下學(xué)生的敘述更具有條理性，證明過(guò)程更加規(guī)范、簡(jiǎn)明。

從學(xué)生的“說(shuō)題”到“思維導(dǎo)圖”的使用，都是以學(xué)生的展示為主體，教師進(jìn)行必要的指點(diǎn)，這種“以兵教兵”的方法大大提高學(xué)生活動(dòng)的積極性，活躍課堂氛圍，有效培養(yǎng)學(xué)生幾何語(yǔ)言的應(yīng)用能力。

總之，數(shù)學(xué)作業(yè)是課堂學(xué)習(xí)的延續(xù)，是學(xué)生獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)的活動(dòng)形式。細(xì)心觀察、謹(jǐn)慎分析學(xué)生作業(yè)的反饋信息，可以得到許多有用信息，這些信息不僅可以檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，而且有利于教師及時(shí)反思課堂教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[2] 李淑文.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M]北京.中央廣播電視大學(xué)出版社，2008.

（作者單位：江蘇省連云港市東海外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 222300）