探索積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的不同階段

朱裕華

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)之一。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)存在于任一課型、任一教學(xué)內(nèi)容的課堂教學(xué)中。筆者通過課堂教學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，是一個(gè)由少積多不斷提升的過程，有時(shí)還需要借助知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)不斷優(yōu)化。

幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教師的作用至關(guān)重要。本文嘗試通過三個(gè)教學(xué)片段，立足課堂觀察，透過案例分析，探索學(xué)生積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)所必須經(jīng)歷的三個(gè)不同階段。

一、從茫然無序到有效操作，看數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的激活

案例分析：“三角形三邊關(guān)系”教學(xué)思考。

【課堂點(diǎn)擊】

我所教學(xué)的兩個(gè)平行班，四（1）班先上。

師：剛才同學(xué)們認(rèn)識(shí)了三角形（指上一環(huán)節(jié)的教學(xué)內(nèi)容），下面請(qǐng)大家拿出準(zhǔn)備好的長(zhǎng)度分別為10厘米、6厘米、5厘米、4厘米的小棒，任選其中的三根小棒圍一圍，看看能否圍成三角形，試一試！

（待學(xué)生明確操作要求后，我放手讓學(xué)生四人小組活動(dòng)，要求邊活動(dòng)邊記錄操作結(jié)果。）

可學(xué)生的表現(xiàn)與我預(yù)設(shè)的全然不同：組內(nèi)缺少合理的分工，各拼各的，一旦一個(gè)同學(xué)拼成一個(gè)三角形，就興奮不已，并認(rèn)為已經(jīng)完成任務(wù)了；不會(huì)合理地記錄，也沒有全局的考慮，鮮有將所有情況一一嘗試拼完的；匯報(bào)操作結(jié)果時(shí)，學(xué)生的發(fā)言是零散的，觀察是片面的，結(jié)論是不完全的。為使學(xué)生較好地理解這一知識(shí)，我不得不重新指導(dǎo)操作。

四（2）班后上，我吸取四（1）班的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，調(diào)整了活動(dòng)組織方式。

師：剛才同學(xué)們認(rèn)識(shí)了三角形（指上一環(huán)節(jié)的教學(xué)內(nèi)容），下面請(qǐng)大家拿出準(zhǔn)備好的長(zhǎng)度分別為10厘米、6厘米、5厘米、4厘米的小棒，任選其中的三根小棒圍一圍，看看能否圍成三角形，同桌合作，一人操作，一人記錄。

師：先請(qǐng)同學(xué)們拿出10厘米、6厘米、5厘米這三根小棒圍圍看。（學(xué)生操作，發(fā)現(xiàn)能夠圍成一個(gè)三角形。）

師：我們可以把這一操作結(jié)果記錄下來，板書示范——10厘米、6厘米、5厘米√。

師啟發(fā)：還可以取哪三根圍一圍？（指名交流，學(xué)生列舉）

師：下面請(qǐng)同桌繼續(xù)合作，任選三根小棒圍一圍，像剛才那樣一人操作，一人記錄，把你得到的結(jié)果一一記錄下來。

隨后的操作過程，呈現(xiàn)出了與前一節(jié)課完全不同的一面：課堂不嘈雜了，學(xué)生的操作有秩序了，學(xué)會(huì)記錄了，之后的交流自然全面了，結(jié)論也變得清晰了。

【教學(xué)感悟】

有感于這兩次不同的教學(xué)，從茫然無序到有效操作，我覺得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。就如同本案例中，在此前的學(xué)習(xí)過程中學(xué)生雖然已經(jīng)經(jīng)歷過一定的操作探索過程，但有經(jīng)歷不一定有經(jīng)驗(yàn)。

第一次教學(xué)之所以失敗，就在于我主觀地、簡(jiǎn)單地認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)具備了小組合作的操作探索經(jīng)驗(yàn)。但事實(shí)上是在四年級(jí)這樣的學(xué)齡階段，學(xué)生對(duì)小組合作、操作探索的活動(dòng)形式已經(jīng)有了一定的接觸，但還沒真正形成自主地合理分工、有序操作探索的經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生遇到困難或沒有頭緒時(shí)，還需要教師及時(shí)地介入和引領(lǐng)，直接放手只會(huì)導(dǎo)致活動(dòng)的盲目。另外，四年級(jí)的孩子雖已具備了一定的自控能力，但好奇心還是比較強(qiáng)的，所以當(dāng)他們拼成一個(gè)三角形后，會(huì)不由自主地興奮，并且被這種情緒占據(jù)主導(dǎo)地位，漸漸失去了繼續(xù)操作探究的理性。所以，看似課堂鬧騰了，學(xué)生在活動(dòng)中表現(xiàn)得忙碌不已，實(shí)則，這樣的操作探索是低效甚至無效的。

所以在這樣一個(gè)學(xué)情背景之下，第二次的教學(xué)組織才是適合學(xué)生發(fā)展的。首先在半扶半放中指導(dǎo)學(xué)生合作的技巧、操作的步驟、記錄的方法，從而激活原來的經(jīng)驗(yàn)，然后再放手讓學(xué)生在獨(dú)立操作的活動(dòng)過程中運(yùn)用和強(qiáng)化這一經(jīng)驗(yàn)。我想在幾次這樣的帶領(lǐng)和指導(dǎo)下，讓學(xué)生學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)操作、學(xué)會(huì)傾聽、學(xué)會(huì)思考，讓課堂靜下來，讓手、腦動(dòng)起來，那么操作探索才會(huì)真實(shí)有效起來。也只有在這樣的反復(fù)刺激下，學(xué)生才能真正獲得操作探索的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、從單一活動(dòng)到多重體驗(yàn)，看數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提升

案例分析：“相遇問題”教學(xué)思考。

【課堂點(diǎn)擊】

教師出示問題：小明和小芳同時(shí)從家里出發(fā)走向?qū)W校，經(jīng)過4分鐘后兩人在校門口相遇。他們兩家相距多少米？

1.演一演。

（學(xué)生讀題后）師：誰愿意來給大家表演一下兩位同學(xué)是怎么走的？

請(qǐng)兩名學(xué)生上前演一演，一人扮演小明，一人扮演小芳，其余同學(xué)指揮，指示他們各自的站立地點(diǎn)（分別站在教室的兩頭）、站立方向（面對(duì)面站立）、怎么行走（同時(shí)向講臺(tái)走去）、何時(shí)停下（兩人碰到的時(shí)候）。

2.圈一圈。

師：通過剛才的演示，請(qǐng)學(xué)生們?nèi)Τ鲱}目中能夠反映表演過程的重點(diǎn)字詞。（交流并圈出：同時(shí)、從家里出發(fā)、走向?qū)W校、相遇。）

師指導(dǎo)提煉出如下詞語，并板書：同時(shí)、兩地、相向而行、相遇。

3.比劃比劃。

師：你能用手勢(shì)比劃出這樣的行走過程嗎？

教師和學(xué)生一起伸出雙手在身前比劃：兩手分開（兩地）→掌心相對(duì)（相向）→同時(shí)向中間移動(dòng)靠攏（同時(shí)相向而行）→最后掌心相碰合在一起（相遇）。如此反復(fù)多次，并在完成每一次動(dòng)作后說說這一動(dòng)作所代表的題意。

4.畫一畫。

師：小明和小芳經(jīng)過幾分鐘在校門口相遇了？（4分鐘）你是怎么理解這個(gè)4分鐘的？（小明從家到學(xué)校走了4分鐘，小芳從家到學(xué)校也走了4分鐘。）

師：根據(jù)我們剛才的演示和分析，你會(huì)畫圖表示出題目的已有條件和問題嗎？

學(xué)生嘗試作圖后，展示學(xué)生的作品，并結(jié)合課件演示進(jìn)一步指導(dǎo)畫線段圖的方法和步驟，形成下圖。

5.算一算。

方法一：70×4+60×4

=280+240

=520（米）

方法二：（70+60）×4

=130×4

=520（米）

對(duì)照線段圖說說這兩種解題思路，并對(duì)比兩個(gè)算式的聯(lián)系（符合乘法分配律），提煉兩種解題思路。方法一：小明4分鐘走的路程+小芳4分鐘走的路程=總路程，方法二：（速度和）×?xí)r間=總路程。

【教學(xué)感悟】

四年級(jí)下冊(cè)“解決問題的策略”第二課時(shí)，主要教學(xué)用畫圖的策略整理相遇問題的條件，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，理解數(shù)量關(guān)系，形成解決問題的方法。在此之前學(xué)生已有了一定的關(guān)于行程問題的解題經(jīng)驗(yàn)，知道了速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系，但“相遇問題”更為特殊更為復(fù)雜，參與對(duì)象由一個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè)，不同的運(yùn)動(dòng)方式還會(huì)產(chǎn)生不同的解決問題的方法。因此，要將簡(jiǎn)單行程問題的解題經(jīng)驗(yàn)提升為相遇問題的解題經(jīng)驗(yàn)，如果單就教材意圖，直接引導(dǎo)學(xué)生畫圖整理?xiàng)l件，這樣的活動(dòng)過程我個(gè)人覺得略顯單薄，不利于學(xué)生形成對(duì)相遇問題的深刻認(rèn)識(shí)。

所以我嘗試組織了多重體驗(yàn)活動(dòng)，期待等到學(xué)生在解決上述（或變式）問題時(shí)，具有豐富的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)積淀，綜合分析問題和解題問題的能力更強(qiáng)。通過“演一演”讓學(xué)生直觀地感知小明和小芳的行走方式，把讀題過程變成快樂活動(dòng)的過程。通過“圈一圈”呼應(yīng)之前的表演過程，提煉相遇問題中經(jīng)常出現(xiàn)的專有名詞，則是數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程，為學(xué)生精練、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)問題情境打下基礎(chǔ)。通過“比劃比劃”，讓每個(gè)學(xué)生都參與進(jìn)來，親身體會(huì)這一運(yùn)動(dòng)過程，將提煉出的運(yùn)動(dòng)名詞簡(jiǎn)潔、直觀地呈現(xiàn)出來，進(jìn)一步加深對(duì)相遇問題運(yùn)動(dòng)方式的理解。這三次活動(dòng)，為學(xué)生積累了有關(guān)運(yùn)動(dòng)方式的豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，但要想簡(jiǎn)化一些非數(shù)學(xué)成分，同時(shí)表示出運(yùn)動(dòng)中的速度和時(shí)間，線段圖則是最合適的方法。隨后結(jié)合線段圖呈現(xiàn)的信息，分析解題思路，形成解題方法，讓學(xué)生在“算一算”“比一比”的活動(dòng)中感受策略價(jià)值：畫圖解決問題的策略能簡(jiǎn)要地呈現(xiàn)題中的各種信息，是遇到陌生問題“再分析、再創(chuàng)造”的有效途徑。

充分的數(shù)學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)識(shí)從模糊趨向清晰，從形象趨向抽象，從單一趨向多元，以此提升數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在這樣的多重體驗(yàn)下，學(xué)生原有的解題經(jīng)驗(yàn)得以綜合與提升，即使下次換一種運(yùn)動(dòng)方式，學(xué)生也能主動(dòng)提取相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，觸類旁通地解決問題。

三、從相同模式到認(rèn)知突破，看數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化

案例分析：“乘法分配律”教學(xué)思考。

【課堂點(diǎn)擊】

師生通過解決三個(gè)問題，得到了三組等式：（32+18）×5=32×5+18×5，（9+5）×8=9×8+5×8，（4+6）×3=4×3+6×3。

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這些算式，有什么相同和不同的地方？

生：我發(fā)現(xiàn)左邊的算式都是加小括號(hào)的，右邊的都是沒有加小括號(hào)的。

師：這真是一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)。（順勢(shì)引導(dǎo)）加小括號(hào)是什么意思呀？

生：加小括號(hào)就是先算小括號(hào)里的。

師引導(dǎo)全班交流：那你們能說清等式左右兩邊算式的運(yùn)算順序嗎？

生：左邊的算式都是先算小括號(hào)里的加法，再算括號(hào)外面的乘法；右邊的算式都是先算兩個(gè)乘法，再算加法。

生：這兩個(gè)式子左右兩邊雖然形式不同，但結(jié)果都是相等的。

師（肯定）：對(duì)，這些都是等式！

生：兩邊的數(shù)都是一樣的，像第一個(gè)算式里左邊有32、18、5這些數(shù)，右邊也是這些數(shù)。

師（啟發(fā)）：那這些數(shù)是怎樣進(jìn)行運(yùn)算的？

生：都是把括號(hào)里的數(shù)分別去乘了括號(hào)外面的數(shù)。

師投以贊許的目光。

生：兩邊的符號(hào)也都是一樣的，左邊都是+×，右邊都是×+×。（再次說說不同的符號(hào)說明的運(yùn)算順序）

師：同學(xué)們的表現(xiàn)真不錯(cuò)，發(fā)現(xiàn)了這些算式中的這么多規(guī)律。那具有這些特點(diǎn)的式子你還能寫嗎？是不是所有符合這樣特點(diǎn)的式子計(jì)算結(jié)果都相等呢？（學(xué)生舉出類似的等式，驗(yàn)證剛才的發(fā)現(xiàn)。）

師：這樣的式子能寫完嗎？（不能）寫不完怎么辦？（添上省略號(hào)）

師：如果要用一個(gè)式子概括出所有具有這樣特征的式子，你有什么辦法？（用字母表示）

學(xué)生交流。

師：我們用a、b、c三個(gè)字母表示三個(gè)數(shù)，（a+b）×c=a×c+b×c?？粗@個(gè)字母式子，你能再說說這類算式的特點(diǎn)嗎？

學(xué)生反思、交流，逐步概括出：兩個(gè)數(shù)的和乘第三個(gè)數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別與第三個(gè)數(shù)相乘，再把它們的積相加。

【教學(xué)感悟】

課堂鏈接：教學(xué)“加法交換律”。

師生通過一系列教學(xué)環(huán)節(jié)得到了如下算式：8+7=7+8，19+5=5+19，21+36=36+21。

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這些等式，你發(fā)現(xiàn)這些算式有什么共同的特點(diǎn)嗎？

生：把相加的兩個(gè)數(shù)交換之后，它們的結(jié)果相等。

師：交換了什么？加法中的結(jié)果可以說成——和。誰來再說一下？

生：交換加數(shù)的位置，它們的和不變。

師：說得真好，兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。具有這樣規(guī)律的等式你們還能寫嗎？能寫出多少個(gè)？

生：能寫，可以寫無數(shù)個(gè)。（生舉例驗(yàn)證剛才的發(fā)現(xiàn)）

師：既然這樣的等式有無數(shù)個(gè)，就需要用一些簡(jiǎn)便的符號(hào)、圖畫或字母等來表示這種規(guī)律。能用自己喜歡的方法表示出這一發(fā)現(xiàn)嗎？（指名不同學(xué)生板演）

揭示一般表示方法：a+b=b+a。

我們看到：學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律之前，已經(jīng)通過學(xué)習(xí)加法交換律和結(jié)合律、乘法交換律和結(jié)合律，積累了一定的探索、觀察、發(fā)現(xiàn)、概括規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)。雖然兩個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容以不同的數(shù)學(xué)情境為載體，但探究這些規(guī)律具有相同的思維模式，探究過程是那樣的相似：?jiǎn)栴}解決—得到等式—觀察發(fā)現(xiàn)—驗(yàn)證規(guī)律—得出結(jié)論。

學(xué)生對(duì)乘法分配律意義的認(rèn)識(shí)和概括，是類似探究經(jīng)驗(yàn)的再現(xiàn)。但又由于乘法分配律含有乘加兩級(jí)運(yùn)算，變化形式更為復(fù)雜，原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)已不足以支撐現(xiàn)在的學(xué)習(xí)，需觀察得更為細(xì)致，探究得更為深入，需新思想、新發(fā)現(xiàn)的植入。而且乘法分配律這類算式的特點(diǎn)，一向是學(xué)生表達(dá)敘述的難點(diǎn)，要讓學(xué)生清晰、完整地理解乘法分配律的意義，需要學(xué)生群體的智慧。只有通過組織學(xué)生開展充分的交流活動(dòng)，抓住新舊知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，巧妙地引領(lǐng)學(xué)生以發(fā)現(xiàn)啟示發(fā)現(xiàn)，以思維啟迪思維，才能達(dá)到新知的突破，實(shí)現(xiàn)原有探究經(jīng)驗(yàn)的優(yōu)化。正是看到了這一點(diǎn)，我在引導(dǎo)學(xué)生交流時(shí)，反復(fù)強(qiáng)調(diào)“左右兩邊算式的運(yùn)算順序”，以此作為學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)的突破口、概括總結(jié)的著力點(diǎn)、新知學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，使學(xué)生的原認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)在被多次調(diào)用、反思后，得以改造和優(yōu)化，從而順利地概括出乘法分配律的意義，抽象出乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，完成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)更高層次的生長(zhǎng)。

教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)一方面在于積累，另一方面也需要提升和優(yōu)化，只有這樣，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)才能成為學(xué)習(xí)的內(nèi)在支撐。教師要通過研讀教材，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在親歷中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中積累，讓經(jīng)驗(yàn)的“根”長(zhǎng)得更深。