數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗：一種不可或缺的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

周衛(wèi)東

《數(shù)學(xué)課程標準》（2011年版）在落實“雙基”的基礎(chǔ)上，又增加了“兩基”（數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗、數(shù)學(xué)基本思想方法），提出了“四基”的要求，其中把學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗也作為課堂教學(xué)的目標之一。學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)生個人經(jīng)驗中的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)之一，它的產(chǎn)生和形成過程實質(zhì)上是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動、得到深度體驗的過程。回顧、反思日常的課堂教學(xué)，我們相對忽視了對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程本身的重視，忽略了促使學(xué)生生動活潑地學(xué)習(xí)和發(fā)展的長效性目標，學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗主要被解題經(jīng)驗所替代，學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗單一和不足已是一個不爭的事實，探尋根源，可能有如下原因。

一是知識和技能的雙重擠壓。長期以來，以“雙基”教學(xué)為主要特征的課堂教學(xué)理念深深扎根在教師心中。分數(shù)至上的教學(xué)觀，讓老師不愿把時間浪費在“積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”這種對提高考試成績幫助不大的低效行為上。他們更多地注重對學(xué)習(xí)結(jié)果的關(guān)注，相對忽視了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程本身的重視。在考試指揮棒的影響下，檢測的都是顯性的知識點，新的“雙基”沒法考或很少考，因此不去關(guān)心什么是基本活動經(jīng)驗、怎樣去實施活動經(jīng)驗的教學(xué)。如教學(xué)“推導(dǎo)圓的面積公式”時，在常態(tài)課中往往是學(xué)生眼巴巴地看老師（或課件）演示剪拼圓，有的甚至直接出示面積公式，這樣大大減少甚至取消了活動時間。得出結(jié)論后，通過大量的鞏固、變式及提高練習(xí)，提高解題技能。

二是教師專業(yè)素養(yǎng)的缺失。教師對基本活動經(jīng)驗的認識不足、理解不透，心有余而力不足，無法真正將其作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的目標。因此，往往是手握“舊船票登上新客船”，學(xué)生的“偽經(jīng)歷”“被經(jīng)歷”現(xiàn)象時有存在，浮華的形式主義做法屢見不鮮。學(xué)生模仿了“經(jīng)歷”的“形”，未真正領(lǐng)略其“神”，沒有真正的經(jīng)歷，缺乏積累活動經(jīng)驗的時機，丟失了積累活動經(jīng)驗的熱情。另外，課程目標的變化讓一部分有惰性的教師措手不及，對于新課程提出的基本活動經(jīng)驗還很陌生，更談不上在平時的教學(xué)中去關(guān)注了。

杜威認為“一盎司經(jīng)驗勝過一噸理論”，《數(shù)學(xué)課程標準》的修訂，改“兩基”為“四基”，把“積累基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”作為教育目標提出，是基于動態(tài)的數(shù)學(xué)觀，把數(shù)學(xué)看成是人類的一種活動，是一種充滿情感、富有思考的經(jīng)歷體驗和探索活動。

什么是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?zāi)?？?shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗可以這樣理解：指在數(shù)學(xué)目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，形成和積累的過程性知識。

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗有三個要素。第一，是數(shù)學(xué)的。所從事的活動要有明確的數(shù)學(xué)目標。第二，是經(jīng)驗的。經(jīng)驗包含雙重意義，一是經(jīng)驗的事物，二是經(jīng)驗的過程。第三，是活動的。主要指對數(shù)學(xué)材料的具體操作和探究活動。

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗有兩個層面。從靜態(tài)上看，它是一種從屬于學(xué)生自己的主觀性知識，是學(xué)生經(jīng)過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后對整個數(shù)學(xué)活動過程產(chǎn)生的認識，包括體驗、感悟、經(jīng)驗等，雖然這只是學(xué)習(xí)個體主觀上粗淺的、感性的認識，或者是不那么嚴格的隱性認識，但這種經(jīng)驗是有意義和價值的。從動態(tài)上看，它是過程，是經(jīng)歷。“數(shù)學(xué)的智慧并不表現(xiàn)在經(jīng)驗的結(jié)果上，也不表現(xiàn)在思考的結(jié)果上，而表現(xiàn)在經(jīng)驗的過程上，表現(xiàn)在思考的過程上?！狈e累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗更關(guān)注過程的教學(xué)，“經(jīng)歷過程”不僅僅是讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程、知識的呈現(xiàn)方式，而且更是指探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預(yù)測的過程、推理的過程、反思的過程等，從而積累觀察、操作、猜想、歸納推廣等活動經(jīng)驗。

在新課程背景下如何開展有效的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在真正的經(jīng)歷中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中亟待研究與解決的問題。

世界上的很多經(jīng)驗是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷。如包餃子，你不親手包是不可能會包的；蓋房子，不論怎么講，你不親自參與是不可能會蓋房子的。所以必須讓學(xué)生親自參與，在這個過程中最重要的是幫助孩子理清如何去提出問題，如何去思考、分析問題，如何去反思，幫助學(xué)生逐漸積累這方面的經(jīng)驗。

一、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷充分的、多樣化的體驗，積累探究性經(jīng)驗

探究性學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)體驗從何而來？是教師啟發(fā)、誘導(dǎo)就能得到的嗎？筆者以為，體驗是置身特定情境下的感受，它一定是學(xué)生真切的、發(fā)自內(nèi)心的感受。積累探究經(jīng)驗不是通過簡單的活動和思考就可以完成的，它更強調(diào)的是一種嚴謹?shù)淖非蟆⒇S富的體驗和真切的感受。因此，創(chuàng)設(shè)的特定情境應(yīng)該“大氣”，學(xué)生經(jīng)歷的活動應(yīng)該“開放”。在這開放性的活動中，學(xué)生打開視野，拓寬思路，多方位、多角度地獲取多樣化的信息，才能積累豐富的探究經(jīng)驗。如教學(xué)“三角形面積計算”時，每桌學(xué)生準備兩個信封，一個信封里裝有四個不同的三角形（等腰和不等腰的銳角三角形各一個，直角三角形、鈍角三角形各一個），另一個信封里裝有兩個完全一樣的三角形（或銳角三角形，或直角三角形，或鈍角三角形）。然后圍繞“利用信封中的這些材料剪拼、加工成一個我們學(xué)過的圖形”的要求，自由操作，自主探究，開放的環(huán)節(jié)贏得了豐富的課堂回報。生1：把三角形沿著兩邊的中點剪開，然后再拼成一個平行四邊形。生2：先找到三角形兩邊的中點，然后沿兩個中點分別作底邊的垂線，再沿垂線剪下兩個小的直角三角形，然后補在上面的三角形上就成了一個長方形。生3：把兩個相同的銳角三角形拼成一個平行四邊形。生4：把兩個相同的直角三角形拼成一個長方形。生5：把兩個相同的鈍角三角形拼成一個平行四邊形。

從這個單元的教材編排體系來看，這節(jié)課具有承上啟下的作用，“承上”就是鞏固從一個圖形上（上一節(jié)課教學(xué)的是平行四邊形的面積計算）割補的方法，“啟下”是要學(xué)習(xí)用兩個圖形拼成一個學(xué)過的圖形的推導(dǎo)方法（下一節(jié)課將學(xué)習(xí)梯形的面積計算）。其次，從學(xué)生的思維角度來看，這是兩種完全不同的思維方式，它可以培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度思考問題。材料的豐滿、豐富，使得學(xué)生的探究更具價值，學(xué)生經(jīng)歷了如何割、拼圖形，獲取了怎樣轉(zhuǎn)化的活動經(jīng)驗，積累了探究活動“拒絕特殊”、要有一般性的經(jīng)驗。

探究經(jīng)驗的獲得應(yīng)該是一個不斷猜想、驗證、思辨的過程。學(xué)生在探究中多次嘗試、思考、追問，體會越來越深，所積累的活動經(jīng)驗更科學(xué)、更豐富。

二、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)對接生活的過程，把生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)經(jīng)驗

學(xué)生在上學(xué)前、在校外已經(jīng)接觸、遇到過數(shù)學(xué)，積累了一些原始、初步的經(jīng)驗。他們對于新知識的認識和理解，有時需要溝通生活中已有的活動經(jīng)驗，需要有豐富的生活經(jīng)驗作背景，讓生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)經(jīng)驗有效對接，使得日常生活經(jīng)驗數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗生活化。因此，我們要善于捕捉生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，挖掘數(shù)學(xué)知識的生活內(nèi)涵，將數(shù)學(xué)與生活密切聯(lián)系，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程，使學(xué)生充分積累數(shù)學(xué)化的活動經(jīng)驗。

學(xué)生有著很多日常數(shù)學(xué)或生活數(shù)學(xué)的體驗，所以我們要基于學(xué)生的生活現(xiàn)實，基于學(xué)生的生活經(jīng)驗，把這些生活經(jīng)驗直接拿來或通過類比對接進行數(shù)學(xué)化處理，把生活經(jīng)驗作為促進學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考的催化劑，以生成新的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。生活經(jīng)驗用于幫助經(jīng)歷、體驗新知識的形成過程，不僅簡單、明了，而且生動形象，促進學(xué)生的經(jīng)驗從一個水平上升到更高水平，實現(xiàn)經(jīng)驗改造或重組。

三、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作與思考的過程，積累有效操作的活動經(jīng)驗

“智慧自動作發(fā)端”，動手操作是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要途徑和方法，通過動手操作把抽象的知識轉(zhuǎn)變成看得見、講得清的現(xiàn)象。學(xué)生動手、動腦、動口參與到獲取知識的全過程，使操作、思維、語言有機結(jié)合，學(xué)生的體驗才會深刻、牢固，獲得的操作經(jīng)驗才會積極、有效。

比如，教學(xué)“平行四邊形的面積計算”，在探索平行四邊形的面積計算公式時，傳統(tǒng)教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生動手操作，沿平行四邊形的高剪下一個三角形或梯形，移到另一側(cè)，拼成長方形，再引導(dǎo)觀察、比較，推導(dǎo)出公式。其實，對于五年級學(xué)生而言，這樣的操作似乎太順利，太平實了。學(xué)生在中年級已學(xué)習(xí)了平移、平行四邊形的認識、用七巧板拼平行四邊形，并且在學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積計算”之前，教材有目的地安排了準備課“面積是多少”（蘇教版教材第十冊第10頁），此時學(xué)生已有了相應(yīng)的圖形認知和平移、割補的活動經(jīng)驗，所以對于轉(zhuǎn)化平行四邊形并不陌生。如果一開始就讓學(xué)生動手剪拼平行四邊形，就弱化了學(xué)生的想象能力，也缺乏挑戰(zhàn)性。實際教學(xué)中，先讓學(xué)生在這一過程中進行動態(tài)的想象，借助表象在頭腦中進行剪和拼的操作，再用手比劃出剪移后的樣子，試著用語言描述出長方形和原先的平行四邊形之間的關(guān)系，接下來再把頭腦中的思維過程通過實際操作外顯出來，進行驗證確認，如發(fā)現(xiàn)錯誤再進行糾正。

此案例中，在有了清晰可調(diào)度的表象積累后，學(xué)生再開展豐富的想象活動，進行表象操作，在更高層次上體驗知識的形成過程。學(xué)生在這富有挑戰(zhàn)性的活動中，所積累的遷移的經(jīng)驗、證明的經(jīng)驗、想象的經(jīng)驗也因個體的強烈感受而充滿了活力，更具考驗性、前瞻性。

在教學(xué)實踐中，許多操作是為操作而操作，學(xué)生沒有進行深刻的體驗和深入的探究，缺少數(shù)學(xué)思考，就不會獲得豐富、深刻的經(jīng)驗。因此，學(xué)生的動手操作不僅僅是直觀、形象的“手指運動”，而且是充滿著豐富、生動的思維活動，學(xué)生經(jīng)歷著具體問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題具體化的過程，使得操作經(jīng)驗與思考經(jīng)驗、策略性經(jīng)驗有機融合，從實踐與創(chuàng)新的過程中積累活動經(jīng)驗。

四、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象概括的過程，積累建立數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗

抽象概括是形成概念、得出規(guī)律的關(guān)鍵性手段，也是建立數(shù)學(xué)模型最為重要的思維方法。學(xué)生充分地觀察、思考、比較、發(fā)現(xiàn)后，獲取了豐富的感性經(jīng)驗，再引導(dǎo)從許多數(shù)學(xué)事實或數(shù)學(xué)現(xiàn)象中舍去個別的、非本質(zhì)的屬性，而抽象出共同的本質(zhì)屬性，構(gòu)建現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生經(jīng)歷了抽象概括的過程，積累了如何建立數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗。

抽象概括，舍去了與數(shù)無關(guān)的具體情節(jié)，把反映數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征抽取出來，用關(guān)系式概括，形成數(shù)學(xué)模型。其實，許多數(shù)學(xué)問題貌似不同的數(shù)學(xué)情景的背后，往往具有相同的思維模型。因此，抽象、概括可以加深學(xué)生對事物本質(zhì)的把握，形成一般化的認識，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，積累了具體問題抽象化、形式化的經(jīng)驗。

五、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷反思推廣的過程，積累情感、思想性經(jīng)驗

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是屬于學(xué)生自己的，帶有明顯的個性特征；就學(xué)習(xí)群體而言，活動經(jīng)驗又具有多樣性。因此，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累需要學(xué)生的自我反思、交流、總結(jié)，幫助學(xué)生經(jīng)驗顯化，變“隱而不露”為“顯山露水”。在反思中，感悟思考、探究的經(jīng)驗以及具體操作經(jīng)驗，并設(shè)置新的沖突，促進認知的觸角不斷拓展，這種經(jīng)歷促使學(xué)生形成善于推廣、舉一反三的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，讓學(xué)生獲得一種思想的熏陶。同時總結(jié)自己在活動中成功或失敗的經(jīng)歷，交流對數(shù)學(xué)的嚴謹性、數(shù)學(xué)美的感受，能有效促進情緒體驗的發(fā)展。

比如，教學(xué)“平行四邊形的面積計算”時，在課的總結(jié)環(huán)節(jié)，教師可以這樣引導(dǎo)：這節(jié)課我們研究了平行四邊形的面積計算，回憶一下，我們是怎樣研究的，中間你有沒有遇到什么困難，又是怎樣克服的？（學(xué)生反思、交流）學(xué)生紛紛發(fā)言：生1：我一開始是用數(shù)方格的方法計算面積，但太繁了，后來就覺得應(yīng)該研究更簡便的方法。生2：我一眼就看出了從平行四邊形中剪下一個三角形，平移到另一邊，就轉(zhuǎn)化成了長方形。這樣通過長方形面積得出平行四邊形面積就方便多了。生3：只要沿著高剪開就能轉(zhuǎn)化為長方形，所以不一定是剪三角形，也可以剪梯形。生4：我把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，在比較兩個圖形的聯(lián)系時，誤以為長方形的長和寬分別相當(dāng)于平行四邊形的兩條邊，后來在同桌的幫助下發(fā)現(xiàn)錯了，看來以后學(xué)習(xí)中還是要細心觀察。

接著課件再次回顧將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的過程?！跋鹿?jié)課我們學(xué)習(xí)三角形的面積計算，你準備怎么研究？”問題的提出將本節(jié)課學(xué)生積累的活動經(jīng)驗進行提煉，推廣運用到以后的學(xué)習(xí)中去。

我們的教學(xué)目標不能僅限于一節(jié)課，而應(yīng)有長遠的眼光，立足使學(xué)生終身受益。在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生檢查自己的思維活動，反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)、解決問題的，運用了哪些基本的思考方法、技能技巧，有什么好的經(jīng)驗和方法……使學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解從量的積累到質(zhì)的飛躍，這種經(jīng)歷生成的思想經(jīng)驗才是最具價值的。同時，越是復(fù)雜的數(shù)學(xué)活動越需要積極的情感意志相伴，這種體驗性成分也是學(xué)生基本活動經(jīng)驗不可或缺的組成部分，它對于良好人格的塑造具有不可替代的作用。

“世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷，你只能讓學(xué)生在實際操作中磨煉，自己去感悟，去積累、反思?！狈_我們的數(shù)學(xué)課本，無處不在地體現(xiàn)了“經(jīng)歷”這一指導(dǎo)思想，走進我們的數(shù)學(xué)課堂，無時不有地蘊含了基本活動經(jīng)驗的積累。課堂教學(xué)需要學(xué)生有內(nèi)涵的親身經(jīng)歷，從而獲得最具數(shù)學(xué)本質(zhì)的、最具價值的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。著名教育家陶行知作了這樣一個比喻：我們要有自己的經(jīng)驗做根，以這經(jīng)驗所發(fā)生的知識做枝，然后別人的知識才能接得上去，別人的知識方才成為我們知識的一個有機體部分。因此，學(xué)生在親歷中體驗，在體驗中累積，才能讓經(jīng)驗的“根”更深、讓智慧的“葉”更茂。